1、“心有所依”模型心有所依模型适用圆锥、侧棱相等的棱锥等几何体，可得球心必在圆锥的高所在的直线上，或者在棱锥一个底面的高所在直线上，由此可把相关信息转嫁到某一个直角三角形内，利用勾股定理求解.【典例 1】（2018 届四川泸州一中一诊）已知圆锥的高为 5，底面圆的半径为 ，它5的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D4364824【解析】设球的半径为 ，由于圆锥的高为 5，底面圆的半径为 ，R5所以 ，解得 ，2225R3所以该球的表面积为 .故选 B46【试题点评】本题是两个旋转体的组合，其中圆锥的轴线所在直线垂直于其底面圆，结合球与圆锥的有关性质，球心必在
2、圆锥的高所在的直线上，应用数学建模的素养，建立“心有所依”模型，将有关信息嫁接到如图所示的 中，1RtOAV利用勾股定理求解.【典例 2】（2018 届山东省实验中学一诊）在三棱锥 PBC中， AP，且 ，则该三棱锥外接球的表面积为_.26,4PCABACB【解析】设顶点 在底面中的射影为 ，由于P1O，所以 ，即点 是底面1的外心，ABC又 ，所以 为 的中点，1BC因为 ，所以P26,4A，1142,4BCAO设外接球的球心为 ，半径为 ，则 必在 上， ，RO1P4RBP1OO1CBA在 中， ，解得 ，所以 .1RtOA224R3R22436SR【试题点评】此类问题的解决可以灵活地应用
3、“心有所依”模型，顶点在底面内的摄影是底面多边形的外心，如图所示，将有关信息嫁接到如图所示的 中，tOHAV利用勾股定理求解.本题直角三角形斜边上的中点到直角三角形各顶点的距离相等，只需在过斜边中点与三角形所在平面的垂线上探求球心解决问题. 【典例 3】 已知四棱锥的 的侧棱长均为PABCD，底面是两邻边长分别为 和 的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为 （ 3023）A. B. C. D.183648【解析】因为底面是矩形，所以矩形的对角线 为截面圆的直径.AC由题意知该四棱锥外接球的球心 在截面O中的射影为 的中点 ，此时BH，221352AH在 中，由勾股定理得PC，解得 .22305PH
4、设该四棱锥外接球的半径为 ，则 ，所以在 中，由勾股R5,ORCOCH定理得 ，解得 ，所以外接球的表面积为 .故22R32436SR选 C.【试题点评】球心与球的截面圆的圆心的连线垂直于该截面圆，而截面圆的圆心是其内接多边形的外心球心与球面上任意一点所连的线段都是球的半径，这些性质是解决球的接、切问题过程中化空间为平面的根本所在.APBCDHO【典例 4】（2018 届云南昆明一中一检）体积为 的正三棱锥 的每个顶183ABCD点都在半径为 的球 的球面上，球心 在此三棱锥内部，且 ，点 为RO:2:3RE的中点，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是 .BDE【解析】设 ，则 ，因
5、为体积为 的正三棱锥 的每20t3BCt18个顶点都在半径为 的球 的球面上，所以 ，解得 .R234th24ht由 ，得 或2223htt（舍），所以 .34t 4由题意知点 为 的中点，在 中，EBDOB，解得 ，,6OD7所以当截面垂直于 时，截面圆的半径为，1673故截面圆面积的最小值是 .9【试题点评】过球内一个定点作截面圆可作无数多个，只有球心与定点的连线垂直于截面圆时，截面圆的面积最小.2.汉堡模型【典例 5】（2018 届湖北襄阳一模）已知直三棱柱 中，1ABC，侧面 的面积为 ，则直三棱柱 外接球的半径的最小09BAC1BC4值为 【解析】由于直三棱柱 中，1A，所以 的外接
6、圆的圆心分别09BAC,BC是 的中点 ，外接球的球心 就是 的中1,1DO1D点，1CC1BBAADODABCDEOH设直三棱柱的高为 ，由于侧面 的面积为 ，则 ，所以h1BC4BCh，当且仅当 时取等号，故直三棱柱 外接球的半2hR21A径的最小值为 .【试题点评】对于直棱柱，应用数学建模的素养，结合球与直棱柱的有关性质，建立“汉堡”模型，上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心，球心到各个顶点的距离都等于球的半径， 如图所示，将有关信息嫁接到如图所示的中，利用勾股定理求解.RtOHAV【典例 6】（2018 届湖北武汉高三模考）如图，三棱锥内接于球 ， 平面 ，SBCSA,2,1BCSA
7、，则球 的体积为 .30Ao【解析】由 平面 ，则三棱锥 为直三棱锥，将其放在直三棱柱中，设三棱柱上下两个底面的外心分别为 ，连接 ，则线段 的中点即为球心，,MNMN设 外接圆的半径为 ，直三棱柱的高为 ，由ABCrh正弦定理得 ， ，12sin30ro2O设外接球的半径 ，故球 的2hRr体积为 .348V【试题点评】采取割补法，将不规则图形转化为规则图形，将棱锥转化为直棱柱，再应用“汉堡”模型解决问题，本题棱锥的外接球亦即直棱柱的外接球，上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心.3.墙角模型BSCABSCAMNO【典例 7】已知三棱锥 ，满足 两SABC,SC两垂直，且 ， 是三棱锥 外2
8、SAQAB接球上一动点，则点 到平面 的距离的最大值为 .【解析】如图，三棱锥 满足SABC两两垂直，由 ，则,SABC2，如图，将三棱锥放入正方体2中，则正方体的棱长为 2，正方体对角线即为正方体的外接球亦即三棱锥外接球的直径，而 ，所以23R球的半径为 ，3R因为 是三棱锥 外接球上一动点，所以点 到平面 的距离的最大值为QSABCQABC.43【试题点评】本题具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征，应用数学建模素养，构建“两两垂直垂直”模型，亦即“墙角”模型，如图所示，将三棱锥放入伴随长方体中，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，这是处理此类问题的简捷的途径.
9、【典例 8】四面体 中，ABCD，则四面体 外接球的表面10,234,241ABCDABCD积为 （ ）A 5B C 0D 30BSCBSC【解析】如图，将四面体 放入长方体中，则四面体的外接球亦即长方体的外ABCD接球，设 长方体的 长、宽、 高为,xyz，则22224103zx，解得 1086xyz，因为长方体对角线即为长方体的外接球亦即四面体外接球的直径，而 ，所210R以球的半径为 ，故四面体 的外接球的表面积为 .52RABCD4S【试题点评】本题四面体 的对棱两两相等，也可灵活地应用“墙角”模型，将它放入伴随长方体中，所有的棱都是伴随长方体表面的对角线，易得四面体 外ABCD接球亦
10、即伴随长方体的外接球.如果将正四面体纳入正方体中得到其伴随正方体，正四面体的外接球和其伴随正方体的外接球是同一个球，利用这种伴随关系可以简化求正四面体的有关问题. 【典例 9】（2018 届成都一诊）在三棱锥 ， 平面 ，PABCABC， ，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表120BACo2PABC面积为A B C D318093【解析】法一 该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥 ， ，PABC120o，所以该三棱锥的外接球即为该六2PC棱柱的外接球，因为六棱柱的外接球的直径为， ，所以该球的表面积245RR为 。0CDBBACDACBP法二 取该三棱锥的底边 的中点为 ，连接 ，则 ，
11、以点 为坐标BCEAEBC原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，则xyz，0,3,3,01,02BCAP设球心为 ，于是有 ， 则MxyzMBC，2222222131zxyzxyz解得 ，所以 ，10xyz,0M所以外接球的半径为 ,表面215A积为 .240R【试题点评】本题通过两种方法求解：方法一采用补形法，可以灵活应用“墙角”模型，把三棱锥补成正六棱柱，三棱锥的外接球和正六棱柱的外接球是同一个球，可转化为求该六棱柱的外接球的表面积；方法二是坐标法计算，关键是找出两两垂直的三条直线建坐标系，设出球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径，求解球心坐标，即可解决问题.显然补形法比较快捷
12、、易于理解.4.由三视图还原几何体【典例 10】四棱锥 ABCDP的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A 581 B 20 C 51 D 201【解析】如图，由三视图知识可知，几何体即为四棱锥 ，其中平面 平面 ，且PDPAB，取 的中点 ，4,2,3G，GCzACBPyxE设四棱锥的外接球的球心为 ，半径为 ，底面 的外接圆圆心为 ，平面ORABCDH的外接圆圆心为 ，则 平面PCDKH， 平面 ，ABOPCD由几何、三角知识可得，13955,20Hr，21OKGC所以 ，250RH故该四棱锥的外接球的表面积 .214SR【试题点评】本题有两个表面具有面面垂直的特征，属于“面
13、面垂直”模型，此类问题的解决关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，达到空间问题平面化的目的 【典例 11】如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是A. 25 B. 425 C. 9 D. 9【解析】如图，由三视图知识可知，几何体即为三棱锥 ，其中 平面 ，ABCDABCD，1,5,2设 的外接圆 的圆心 ，半径为 ，Her由几何、三角知识可得， 经过 的中点，且BC， 152sin4BHrDKAPBCDHOGCBADHO设该
14、三棱锥的外接球的球心为 ，半径为 ，则 平面 ，ORHBCD，12OHAB所以 ，251944R故该三棱锥的外接球的表面积是 .294SR【试题点评】本题具有某棱垂直与一个表面的特征，应用数学建模素养，借助于“棱面垂直”模型，如图所示，点是 的外心，将有关信息嫁接到如图所示的HABCV中，利用勾股定理求解.RtOD【典例 12】下图中，小方格是边长为 1 的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A 32 B 48 C. 50 D 64【解析】如图，由三视图知识可知，几何体即为四棱锥 ，其中平面 平面 ，PCDPAB设外接球的
15、球心为 ， 与 的外心分O别为 ，则 分别为 与 的外接,HG,CD圆的半径， ，在 中， ，应用正、余PCD25,4弦定理可得 ，cos所以 ，2515in,sin2PCPCHD所以外接球 的表面积为 .O2 24450SROHP【试题点评】多面体间的“接”的问题，要善于应用相互垂直的平面，过各自的中心且与它们垂直的直线的交点即为球心.5.坐标法的妙用【典例 13】某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）BPCDAHGOA 1 B 2 C 13 D 4解析：如图，在长、宽、高分别为 的长方体中，2,为所在棱的中点，由三视图知识可知，几何体即为三,D棱锥 ，以 为坐标原点，建立
16、空间直角坐标系如ABC图所示，则 ， ，0,1,01,0,CD设球心为 ，Mxyz，于是有ABDR，222 222221zxyzxy解得 ，所以 ，123xyz13,2M所以外接球的半径为 ,表面积为 .22131A241R点评：用坐标法求解，要善于借助于长方体.将几何体纳入长方体后，各个顶点的坐标容易求出，设出球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径，求解球心坐标，进而求解问题.类型二 多面体的内切球【典例 14】四棱锥 的底面 是边长为 6 的正方形，且PABCDPAB，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ）A6 B5 C. 92 D 94【解析】由于
17、四棱锥 的底面PABC是正方形，且 ，CD所以四棱锥 是正四棱锥， APBCDHOGMBACDzxy设四棱锥的内切球球心为 ，与底面切于点 ，与侧面切于点 ，则点 是底面的OHGH中心，点 在侧面 的中线 上， ，易知 ，GPBCM1G1tan3OM所以 ，3tantan24H又 ，所以 .h9【试题点评】球与多面体间的“切”的问题，关键突破口是作出过它们的“切”的切点且与轴截面重合的一个截面，将空间问题转化为平面问题解决，在计算过程中要抓住球半径这个主要元素，再利用平面几何、三角函数知识求解.【典例 15】在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥 MAB
18、CD为阳马，侧棱 MA底面 BCD，且2ABC，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 【解析】因为侧棱 底面 ，且底面为长方形，所以内切球 在侧面 内的正视1O图为 的内切圆 ，设 的半径为 ，根ADYer据圆的切线长定理得，所以内切球 的2Mr1半径为 ；设该阳马的外接球半径为 ，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直R径，所以 ，2213RABDM所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为 . 243612Rr【试题点评】由于“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比球的轴截面是大圆，它几乎含有球的全部元素，所以有关球的计算，往可以作出球的一个大圆，化
19、“球”为“圆”来解决问题，把空间问题转化为平面问题. 【典例 16】（2018 届湖南常德二模）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑，侧棱 底面 ，PABCPABC，且 ，则该鳖臑的2,3,4ABCDXYZ1OAPBC内切球的半径为 【解析】由鳖臑的性质可知， ，PCB，13,5,29PCAB所以 ，4,6,3,213,CABCPABPCPCAVSSSS VVVV故 .2713614r【试题点评】求解三棱锥的内切球的半径也可以应用等体积法：先求出四个表面的面积和整个三棱锥的体积，再设出内切球的半径 ，建立等式r，利用棱锥的体OPABCOPABCPAVVV积公式可得 .3PABPABCrSSVV
