1、第一讲 一 不等式3三个正数的算术几何平均不等式一、选择题1若 a，b，c0，且 3a4b5c6，则 a3b2c 的最大值为 ( )A. B. 14 15C. D.120 110解析：因为 63a4b5caaa2b2b5c6 ，所以 a3b2c ，当620a3b2c120且仅当 a2b5c ，即 a1，b ，c 时，等号成立所以 a3b2c 的最大值为 .12 15 120答案：C2如果圆柱的轴截面周长 l 为定值，那么圆柱的体积最大值是( )A. 3 B. 3 C. 3 D. 3(l6) (l3) (l4) 14(l4)解析：l4r2h，即 2rh ，l2Vr 2h 3 3.(r r h3
2、) (l6)答案：A3若 a，b，c 为正数，且 abc1，则 的最小值为( )1a 1b 1cA9 B8 C3 D.13解析：因为 a，b，c 为正数，且 abc1，所以 abc3 .3abc所以 0abc ， 27.127 1abc所以 3 3 9.1a 1b 1c 31abc 327当且仅当 abc 时等号成立13答案：A4已知 x2y3z6，则 2x4 y8 z的最小值为( )A3 B2 36 2C12 D12 35解析：因为 2x 0,4y0,8 z0，所以 2x 4y8 z2 x2 2y2 3z3 32x22y23z3 3412.32x 2y 3z当且仅当 2x2 2y2 3z，即
3、 x2y3z，即 x2，y1，z 时取等号23答案：C5函数 f(x)5x (x0)的最小值为 ( )20x2A20 B.115C15 D无最小值解析：f(x) 5x 3 15.当且仅当 ，即当 x2 时，20x2 5x2 5x2 20x2 35x25x220x2 5x2 5x2 20x2不等式取等号，此时 f(x)取最小值 15.答案：C6设 a，b，cR ，且 abc1，若 M ，则必有( )(1a 1)(1b 1)(1c 1)A0M B. M118 18C1M8 DM 8解：M (a b ca 1)(a b cb 1)(a b cc 1) 8，b ca ca babc 8bc ac ab
4、abc当且仅当 abc 时等号成立答案：D二、填空题7周长为 1 的直角三角形面积的最大值为_2解析：设两直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 c2a 2b 2，且 ab 1.a2 b2 2 1ab2 a2 b22 (2 ) ，ab 2ab 2 ab即 ，当且仅当 ab 时取等号ab22三角形的面积 S ab ，即 Smax .12 14 14答案：148(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_解析：一年的总运费为 6 (万元) 600x 3 600x一年的
5、总存储费用为 4x 万元总运费与总存储费用的和为 万元(3 600x 4x)因为 4x2 240，当且仅当 4x，3 600x 3 600x 4x 3 600x即 x30 时取得等号，所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小答案：309设正数 a，b，c 满足 abc1，则 的最小值为_13a 2 13b 2 13c 2解：因为 a，b，c 均为正数，且 abc1，所以(3a2) (3 b2)(3c 2)9.于是 (3a2)(3 b2)(3 c2) 3 (13a 2 13b 2 13c 2) 3 13a 23b 23c 23 9，33a 23b 23c 2当且仅当 abc 时等号成
6、立，13即 1，故 的最小值为 1.13a 2 13b 2 13c 2 13a 2 13b 2 13c 2答案：1三、解答题10求函数 f( x)x(5 2x) 2 的最大值(0 x 52)解：f(x )x(5 2x) 2 4x(52x )(52x )14 3 .14(4x 5 2x 5 2x3 ) 25027当且仅当 4x52x ，即 x 时，等号成立56所以函数的最大值是 .2502711(2014江苏高考)已知 x0，y0，求证：(1 x y 2)(1x 2y)9xy .证明：因为 x0，y 0，所以 1xy 23 0，3xy21x 2y3 0.3x2y故(1x y 2)(1x 2y )
7、3 3 9xy.3xy2 3x2y12(能力挑战)如图(1)所示，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值解：设正六棱柱容器底面边长为 x(x0)，高为 h，由下图可有 2 h x ，3 3所以 h (1x )，32VS 底 h6 x2h34 x2 (1x )332 322 (1x )9 3 .3332 x2 x2 (x2 x2 1 x3 ) 13当且仅当 1x，即 x 时，等号成立x2 23所以当底面边长为 时，正六棱柱容器容积最大，为 .23 13利用三个正数的算术几何平均不等式求最值时要注意三点：(1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项 )必须都是正数，若不是正数，必须变为正数(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，才能利用“定理”求出最值(3)必须取到等号，若取不到等号，必须经过适当的变形，使之取到等号
