1、第二讲 三 反证法与放缩法一、选择题1命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是( )A任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面B任意多面体没有一个是三角形的面C任意多面体没有一个是四边形的面D任意多面体没有一个是五边形的面解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有” 答案：A2设 x，y，z 都是正实数，ax ，by ，cz ，则 a，b，c 三个数( )1y 1z 1xA至少有一个不大于 2B都小于 2C至少有一个不小于 2D都大于 2解析：abcx y z 1x 1y 1z2226，当且仅当 xyz1 时等号成立所以 a，b，c 三者中至少有一个不小于
2、 2.答案：C3设 x0，y0，M ，N ，则 M，N 的大小关系是( )x y2 x y x2 x y2 yAM N BMb 与 能同时成立的充要条件是( )1a 1bAa b0 Ba0 bC. 0 D. 01b 1a 1a 1b解析：充分性易证下面用反证法说明必要性若 a，b 同号且 ab，则有 ，1a 1b此时不能保证 ab 与 同时成立，1a 1ba， b 只能异号，即 a0b.答案：B5若 f(x) x，a，b 都为正数，Af ，G f ( )，Hf ，则( )(12) (a b2 ) ab (2aba b)AAGH BAHGCGHA DH GA解析：a，b 为正数， .a b2 a
3、b abab aba b2 2aba b又 f(x) x为单调减函数，(12)f f( )f .AG H.(a b2 ) ab (2aba b)答案：A6若 a，bR，且 a2b 2 10，则 ab 的取值范围是( )A0， B2 ，2 10 10 10C ， D 2 ，2 10 10 5 5解析：令 a cos ，b sin ， R ，则10 10ab (cos sin )2 cos ，10 5 ( 4)因为1cos 1，( 4)所以 ab2 ，2 5 5答案：D二、填空题7用反证法证明命题“若 x2(ab) xab0，则 xa 且 xb”时应假设_解析：用反证法证明时要对结论进行否定，即
4、xa 或 xb.答案：xa 或 xb8某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数 f(x)在0,1上有意义，且 f(0)f(1)，如果对于不同的 x1，x 20,1，都有|f (x1)f (x2)| x1x 2|，求证：| f(x1)f(x 2)| .那么他的12反设应该是_答案：x 1，x 20,1，使得|f (x1)f (x2)| x1x 2|，则|f(x 1)f(x 2)|129log 23 与 log34 的大小关系是_解析：log 23log 34 lg 3lg 2 lg 4lg 3lg23 lg 2lg 4lg 2lg 3 lg23 12(lg 2 lg 4)2lg 2lg 3lg2
5、3 (12lg 8)2lg 2lg 3 0，lg23 (12lg 9)2lg 2lg 3所以 log23log 340.所以 log23log 34.答案：log 23log 34三、解答题10关于复数 z 的方程 z2( ai) z(i 2) 0(aR)，证明对任意的实数 a，原方程不可能有纯虚根证明：假设原方程有纯虚根，令 zni，n0，则有(ni) 2(ai)ni(i2)0，整理可得n 2n2(an 1)i0，所以Error!则对于，判别式 0，方程无解，故方程组无解故假设不成立所以原方程不可能有纯虚根11若 n 是大于 1 的自然数，求证： 2.112 122 132 1n2证明：因为
6、 ，k2,3，n，1k2 1kk 1 1k 1 1k所以 112 122 132 1n2 11 112 123 1n 1n 11 (11 12) (12 13)2 2.(1n 1 1n) 1n所以 2.112 122 132 1n212(能力挑战)设数列 an的前 n 项和为 Sn，a 11，S nna n2n(n1) (1)求数列a n的通项公式 an.(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求证： T n .1anan 1 15 14(1)解：由 Snna n2n(n1)得an1 S n1 S n(n1)a n1 na n4n，即 an1 a n4.数列 an是以 1 为首项，4 为公差的等
7、差数列an4n3.(2)证明：T n 1a1a2 1a2a3 1anan 1 115 159 1913 14n 34n 114(1 15 15 19 19 113 14n 3 14n 1) .14(1 14n 1) 14又易知 Tn单调递增，故 TnT 1 .15所以综上得 T n .15 141反证法的证题思路及适用类型要证不等式 MN，先假设 MN ，由题设及其他性质推出矛盾，从而肯定 MN 成立凡涉及要证明的不等式为否定性命题，唯一性命题，或是含“至多” “至少”等字句时，可考虑使用反证法2常用的换元法三角换元对于条件不等式的证明，当所给的条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示时，可考
8、虑三角换元，将两个变量都用一个参数表示，此法如果运用得当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题，如问题中已知 x2y 2a 2，a(0 ，)，可设 xacos ， yasin ；若已知 x2y 21，可设 xrcos ，yrsin (|r|1)等3放缩法的理论依据(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母 )异分母(分子)的两个分式大小的比较4常用的放缩技巧(1)舍掉(或加进 )一些项；(2)在分式中放大(或缩小)分子(或分母) ；(3)应用重要不等式进行放缩，如2 2； ； ； ； (以上(a 12) 34 (a 12) 1k2 1kk 1 1k2 1kk 1 1k 2k k 1 1k 2k k 1k2 且 kN)
