2018-2019版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式课件（打包4套）新人教A版选修4-5.zip

一 二维形式的柯西不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义 .2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 二维形式的柯西不等式思考 1 (a2＋ b2)(c2＋ d2)与 4abcd的大小关系如何？那么 (a2＋ b2)(c2＋d2)与 (ac＋ bd)2的大小关系又如何？答案 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥4abcd，(a2＋ b2)(c2＋ d2)≥(ac＋ bd)2.思考 2 当且仅当 a＝ b且 c＝ d时， (a2＋ b2)(c2＋ d2)＝ 4abcd，那么在什么条件下 (a2＋ b2)(c2＋ d2)＝ (ac＋ bd)2?答案 当且仅当 ad＝ bc时， (a2＋ b2)·(c2＋ d2)＝ (ac＋ bd)2.思考 3 若向量 α＝ (a， b)，向量 β＝ (c， d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理 (1)二维形式的柯西不等式① 定理 1：若 a， b， c， d都是实数，则 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥ ，当且仅当 ad＝ bc时，等号成立 .② 二维形式的柯西不等式的推论：(ac＋ bd)2|ac＋ bd||ac|＋ |bd|(2)柯西不等式的向量形式定理 2：设 α， β是两个向量，则 ，当且仅当 β是 ，或存在实数 k，使 α＝ kβ时，等号成立 .(3)二维形式的三角不等式零向量当且仅当三点 P1， P2与原点 O在同一直线上，并且 P1， P2点在原点 O两旁时，等号成立 .|α·β|≤|α|·|β|② 推论：对于任意的 x1， x2， x3， y1， y2， y3∈R ，有事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1， P2， P3的坐标分别为 (x1， y1)，(x2， y2)， (x3， y3)，根据 △ P1P2P3的边长关系有 |P1P3|＋ |P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1， P2， P3在同一直线上，并且点 P1， P2在 P3点的两旁时，等号成立 .题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式证明 ∵ a1， a2， b1， b2∈ R＋，证明反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法 .跟踪训练 1 已知 θ为锐角， a， b∈ R＋，证明例 2 若实数 x， y， z满足 x2＋ 4y2＋ z2＝ 3，求证： |x＋ 2y＋ z|≤3.证明 因为 x2＋ 4y2＋ z2＝ 3，所以由柯西不等式得[x2＋ (2y)2＋ z2](12＋ 12＋ 12)≥(x＋ 2y＋ z)2整理得 (x＋ 2y＋ z)2≤9，即 |x＋ 2y＋ z|≤3.证明反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征 “方、和、积 ”，构造使用柯西不等式的条件 .(2)此类题也可以用三角不等式，把 △ ABO的三个顶点分别设为 O(0,0)，A(x1， x2)， B(－ y1，－ y2)即可 .将上面三个同向不等式相加，证明类型二 利用柯西不等式求最值例 3 若 3x＋ 4y＝ 2，试求 x2＋ y2的最小值及最小值点 .解 由柯西不等式 (x2＋ y2)(32＋ 42)≥(3x＋ 4y)2，解答反思与感悟 利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误 .多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 .跟踪训练 3 已知 a， b∈ R，且 9a2＋ 4b2＝ 18，求 3a＋ 2b的最值 .解 由柯西不等式，得 (9a2＋ 4b2)(12＋ 12)≥(3a＋ 2b)2，∵ 9a2＋ 4b2＝ 18，∴ 36≥(3a＋ 2b)2.∴ |3a＋ 2b|≤6.解答达标检测1.已知 a， b∈ R， a2＋ b2＝ 4，则 3a＋ 2b的最大值为A.4 B.2C.8 D.91 2 3 4解析 (a2＋ b2)(32＋ 22)≥(3a＋ 2b)2，当且仅当 3b＝ 2a时取等号，所以 (3a＋ 2b)2≤4×13.所以 3a＋ 2b的最大值为解析 答案5√2.已知 a≥0， b≥0，且 a＋ b＝ 2，则A.ab≤ B.ab≥C.a2＋ b2≥2 D.a2＋ b2≤3答案√1 2 3 4 5解析 ∵ (a2＋ b2)(12＋ 12)≥(a＋ b)2＝ 4，∴ a2＋ b2≥2.解析1 2 3 4 59∴ 最小值为 9.解析 答案1 2 3 4 5解析 ∵ (a2＋ b2)(m2＋ n2)≥(ma＋ nb)2＝ 25，∴ m2＋ n2≥5.当且仅当 an＝ bm时取等号 .解析 答案证明 ∵ 1＝ a2＋ b2＝ (a2＋ b2)·(cos2θ＋ sin2θ)≥(acos θ＋ bsin θ)2，∴ |acos θ＋ bsin θ|≤1.1 2 3 4 5 证明5.已知 a2＋ b2＝ 1，求证： |acos θ＋ bsin θ|≤1.1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试 .2.柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如 (a2＋ b2)·(c2＋ d2)≥(ac＋ bd)2等号成立的条件是 ad＝ bc，可以把 a， b， c， d看成等比，则 ad＝ bc来联想记忆 .规律与方法本课结束三 排序不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念 .2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景 .3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 排序不等式思考 1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4件、 5件及 2件，现在选择商店中单价为 3元、 2元和 1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有 3×2×1＝ 6(种 )不同的购买方案 .(2)5×3＋ 4×2＋ 2×1＝ 25(元 )，这种方案花钱最多；5×1＋ 4×2＋ 2×3＝ 19(元 )，这种方案花钱最少 .思考 2 如图， ∠ POQ＝ 60°，比较 与的大小 .答案 梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组： a1≤a2≤…≤an ； b1≤b2≤…≤bn ， c1， c2， … ， cn是b1， b2， … ， bn的任意一个排列 .① 乱序和： .② 反序和： .③ 顺序和： .S＝ a1c1＋ a2c2＋ …＋ ancnS1＝ a1bn＋ a2bn－ 1＋ …＋ anb1S2＝ a1b1＋ a2b2＋ …＋ anbn(2)排序不等式 (排序原理 )设 a1≤a2≤…≤an ， b1≤b2≤…≤bn 为两组实数， c1， c2， … ， cn是 b1， b2，… ， bn的任一排列，则 ≤a1c1＋ a2c2＋ … ＋ ancn≤ ，当且仅当 a1＝ a2＝ … ＝ an或 b1＝ b2＝ … ＝ bn时，反序和等于顺序和 .a1bn＋ a2bn－ 1＋ …＋ anb1a1b1＋ a2b2＋ …＋ anbn题型探究类型一 利用排序不等式证明不等式命题角度 1 字母已定序问题证明又顺序和不小于乱序和，故可得∴ 原不等式成立 .反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组 .证明证明 因为 0＜ a≤b≤c，所以 0＜ a＋ b≤c＋ a≤b＋ c，又 0＜ a2≤b2≤c2，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，命题角度 2 字母大小顺序不定问题证明证明 由不等式的对称性，不妨设 a≥b≥c＞ 0，由顺序和 ≥乱序和得到两个不等式：两式相加，得反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据 .跟踪训练 2 设 a， b， c∈ R＋，利用排序不等式证明：证明 不妨设 0＜ a≤b≤c，所以由排序不等式可得证明类型二 利用排序不等式求最值解答解 由于 a， b， c的对称性，不妨设 a≥b≥c＞ 0，则 a＋ b≥a＋ c≥b＋ c，由排序不等式，得反思与感悟 求最小 (大 )值，往往所给式子是顺 (反 )序和式 .然后利用顺 (反 )序和不小 (大 )于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小 (大 )值 .解答达标检测1.设 a， b， c均为正数，且 P＝ a3＋ b3＋ c3， Q＝ a2b＋ b2c＋ c2a，则 P与 Q的大小关系是A.P＞ Q B.P≥Q C.P＜ Q D.P≤Q1 2 3 4解析 不妨设 a≥b≥c＞ 0，则 a2≥b2≥c2＞ 0.由排序不等式，得 a2a＋ b2b＋ c2c≥a2b＋ b2c＋ c2a，当且仅当 a＝ b＝ c时，等号成立，所以 P≥Q.解析 答案√2.已知 a1＝ 2， a2＝ 7， a3＝ 8， a4＝ 9， a5＝ 12， b1＝ 3， b2＝ 4， b3＝ 6，b4＝ 10， b5＝ 11.将 bi(i＝ 1,2,3,4,5)重新排列记为 c1， c2， c3， c4， c5，则a1c1＋ a2c2＋ … ＋ a5c5的最大值是A.324 B.314C.304 D.212答案√1 2 3 4解析 a1c1＋ a2c2＋ … ＋ a5c5≤a1b1＋ a2b2＋ a3b3＋ a4b4＋ a5b5＝ 2×3＋ 7×4＋ 8×6＋ 9×10＋ 12×11＝ 304.解析二 一般形式的柯西不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标1.理解并掌握三维形式的柯西不等式 .2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程 .3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 三维形式的柯西不等式思考 1 类比平面向量，在空间向量中，如何用 |α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？答案 设 α＝ (a1， a2， a3)， β＝ (b1， b2， b3)，∵|α||β|≥|α·β| ，思考 2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案 当且仅当 α， β共线时，即 β＝ 0或存在实数 k，使 a1＝ kb1， a2＝kb2， a3＝ kb3时，等号成立 .梳理 三维形式的柯西不等式(a1b1＋a2b2＋ a3b3)2 b1＝ b2＝ b3＝ 0知识点二 一般形式的柯西不等式(a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn)22.柯西不等式等号成立的条件当且仅当 bi＝ 0(i＝ 1,2， … ， n)或存在一个数 k，使得 (i＝ 1,2， … ，n)时等号成立 .ai＝ kbi题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式命题角度 1 三维形式的柯西不等式的应用例 1 设 a， b， c为正数，且不全相等 .证明由柯西不等式知，因为题设中 a， b， c不全相等，故 ① 中等号不成立，反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数 .(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序 .(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的 .(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项 .证明 由柯西不等式知，＝ (1＋ 1＋ 1)2＝ 9，∴ 原不等式成立 .证明命题角度 2 一般形式的柯西不等式的应用证明 由柯西不等式，得证明反思与感悟 一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现 “方、和、积 ”的形式 .证明＝ (a1＋ a2＋ … ＋ an)2＝ 1，类型二 利用柯西不等式求函数的最值例 3 (1)若实数 x， y， z满足 x＋ 2y＋ 3z＝ a(a为常数 )，则 x2＋ y2＋ z2的最小值为 ________.解析 ∵ (12＋ 22＋ 32)(x2＋ y2＋ z2)≥(x＋ 2y＋ 3z)2＝ a2，解析 答案解析 答案反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果 .同时，要注意等号成立的条件 .跟踪训练 3 已知 a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，函数 f(x)＝ |x＋ a|＋ |x－ b|＋ c的最小值为 4.(1)求 a＋ b＋ c的值；解 因为 f(x)＝ |x＋ a|＋ |x－ b|＋ c≥|(x＋ a)－ (x－ b)|＋ c＝ |a＋ b|＋ c，当且仅当－ a≤x≤b时，等号成立 .又 a＞ 0， b＞ 0，所以 |a＋ b|＝ a＋ b，所以 f(x)的最小值为 a＋ b＋ c，又已知 f(x)的最小值为 4，所以 a＋ b＋ c＝ 4.解答解 由 (1)知 a＋ b＋ c＝ 4，由柯西不等式得＝ (a＋ b＋ c)2＝ 16，解答达标检测1 2 3 4 答案解析＝ 8(x＋ y＋ z)＝ 16√1 2 3 4 答案√解析∴ a＋ 2b＋ 3c的最小值为 9.＝ (1＋ 1＋ 1＋ 1)2＝ 42＝ 16，当且仅当 a＝ b＝ c＝ d时取等号 .1 2 3 416解析 答案1 2 3 4 证明规律与方法2.要求 ax＋ by＋ z的最大值，利用柯西不等式 (ax＋ by＋ z)2≤(a2＋ b2＋12)(x2＋ y2＋ z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧 .对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它 .本课结束复习课第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标1.梳理本专题主要知识，构建知识网络 .2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧 .3.理解排序不等式及应用 .4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法 .知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式： ________________________________________________.(2)柯西不等式的向量形式： _____________________________________________________________________________________.(3)二维形式的三角不等式：设 x1， y1， x2， y2∈ R，那么______________________________________.若 a， b， c， d都是实数，则 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥(ac＋ bd)2设 α， β是两个向量，则 |α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数 k，使 α＝ kβ时，等号成立2.一般形式的柯西不等式设 a1， a2， a3， … ， an， b1， b2， b3， … ， bn是实数，则______________________________________________________.当且仅当 bi＝ 0(i＝ 1,2， …， n)或存在一个数 k，使得 ai＝ kbi(i＝ 1,2， … ， n)时，等号成立 .3.排序不等式设 a1≤a2≤…≤an ， b1≤b2≤…≤bn 为两组实数， c1， c2， … ， cn是 b1， b2，… ， bn的任一排列，则 a1bn＋ a2bn－ 1＋ … ＋ anb1≤__________________≤a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn.a1c1＋ a2c2＋ …＋ ancn题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式证明证明 由柯西不等式知，又已知 a， b， c， d不全相等，则 ① 中等号不成立 .反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会 .证明类型二 利用排序不等式证明不等式证明 不妨设 0＜ a≤b≤c，于是 A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋ bB＋ cC＝ aA＋ bB＋ cC，aA＋ bB＋ cC≥bA＋ cB＋ aC，aA＋ bB＋ cC≥cA＋ aB＋ bC.相加，得 3(aA＋ bB＋ cC)≥(a＋ b＋ c)·(A＋ B＋ C)证明引申探究证明 不妨设 0＜ a≤b≤c，于是 A≤B≤C.由 0＜ b＋ c－ a,0＜ a＋ b－ c,0＜ a＋ c－ b，有 0＜ A(b＋ c－ a)＋ C(a＋ b－ c)＋ B(a＋ c－ b)＝ a(B＋ C－ A)＋ b(A＋ C－ B)＋ c(A＋ B－ C)＝ a(π－ 2A)＋ b(π－ 2B)＋ c(π－ 2C)＝ (a＋ b＋ c)π－ 2(aA＋ bB＋ cC).证明反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合 .这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择 .(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷 .证明证明 由 a， b， c的对称性，不妨设 a≥b≥c，由排序不等式，得再次由排序不等式，得类型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值例 3 (1)求实数 x， y的值使得 (y－ 1)2＋ (x＋ y－ 3)2＋ (2x＋ y－ 6)2达到最小值 .解 由柯西不等式，得(12＋ 22＋ 12)×[(y－ 1)2＋ (3－ x－ y)2＋ (2x＋ y－ 6)2]≥[1×(y－ 1)＋ 2×(3－ x－ y)＋ 1×(2x＋ y－ 6)]2＝ 1，解答解答解 设 b1， b2， b3， b4， b5是 a1， a2， a3， a4， a5的一个排列，且 b1＜ b2＜ b3＜ b4＜ b5.因此 b1≥1， b2≥2， b3≥3， b4≥4， b5≥5.由排序不等式，得反思与感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理 .在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易 .(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略 .解答达标检测1 2 3 4 解析 答案√＝ 3×3＝ 9.∴ y≤3， y的最大值为 3.2.已知实数 a， b， c， d满足 a＋ b＋ c＋ d＝ 3， a2＋ 2b2＋ 3c2＋ 6d2＝ 5，则 a的最大值是A.1 B.2 C.3 D.4解析 答案√1 2 3 4即 2b2＋ 3c2＋ 6d2≥(b＋ c＋ d)2.∴ 5－ a2≥(3－ a)2.解得 1≤a≤2.验证：当 a＝ 2时，等号成立 .3.已知 2x＋ 3y＋ 4z＝ 10，则 x2＋ y2＋ z2取到最小值时的 x， y， z的值为√解析 由柯西不等式得(22＋ 32＋ 42)(x2＋ y2＋ z2)≥(2x＋ 3y＋ 4z)2，1 2 3 4 解析 答案1 2 3 4 证明证明 不妨设 a≥b≥c＞ 0，