1、一元二次方程根的分布一知识要点二次方程 的根从几何意义上来说就是抛物线 与 轴交点的横坐标，所以研02cbxa cbxay2究方程 的实根的情况，可从 的图象上进行研究x cbxay2若在 内研究方程 的实根情况，只需考察函数 与 轴交点个数及交),(02cbxa cbxay2点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由 的系数可判断出 的符号，从而cbxay2 21,判断出实根的情况若在区间 内研究二次方程 ，则需由二次函数图象与区间关系来确定),(nm02cbxa表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况 两个负根即两根都小于 012,x两个正根即两根都大于 012,x一正根一负
2、根即一个根小于0，一个大于 012x大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f综合结论（不讨论） a02baf02baf0fa表二：（两根与 的大小比较）k分布情况两根都小于 即kx21, 两根都大于 即kx21,一个根小于 ，一个大于 即kk21x大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf综合结论（不讨论） a02bkaf02bkaf0kfakk k表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 内nm,两根有且仅有一根在 内nm,（图象有两种情况，只画
3、了一种） 一根在 内，另一根在nm,内，qp, qp大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq综合结论（不讨论） a0nfm0qfpnm根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 外，即在区间两侧 ， （图形分别如下）n, 12,xn需满足的条件是（1） 时， ； （2） 时，0a0fmn0a0fmn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况：,若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或0fmfn0fmnA m，可以求
4、出另外一根，然后可以根据另一根在区间 内，从而可以求出参数的值。如方程n ,在区间 上有一根，因为 ，所以 ，22xx1,31f2212mxxx另一根为 ，由 得 即为所求；m12m方程有且只有一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的值，然后再将参2 n,00数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间 内，求 的取值范围。分析：由 即2460x3,030fA得出 ；由 即 得出 或 ，当153m154m21646m1m32时，根 ，即 满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；2,x3,x综上分析，得出 或1二例题选讲（1
5、）两个根在实数 的同一侧k例 1已知方程 有两个负根，求 的取值范围)(0)32()1(42 Rmxmx m变式 1：已知方程 有两个不等正实根，求实数 的取值范围。变式 2：已知二次方程 的两个根都小于 1，求 的取值范围02)12(xx（2）两个根在实数 的异侧k例 2：已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范围。2mm变式 1：已知二次函数 与 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求43yxxmx实数 的取值范围。变式 2：求实数 的范围，使关于 的方程 062)1(2（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根 ，且满足 , 40（）至少有一个正根变式 3：如果二次
6、函数 y=mx2+(m3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的取值范围.（3）在区间 有且只有一个实根),(n例 3已知二次方程 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值范围。2340变式：已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围.（4）在区间 有两个实根),(n例 4： 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0 ，1)内，求 m 的范围.变式 1：已知方程 2x2 2(2a-1)x + a+2=0 的两个根在-3 与 3 之间
7、，求 a 的取值范围变式 2：已知方程 x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于 1，求 m 的取值范围（5）在区间 有实根,n例 5已知 是实数，函数 ，如果函数 在区间 上有零点，求 的取值a2()3fxaxa()yfx1， a范围（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用例 6.1求函数 y = (10(1)当 m0 时，二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧，符合题意.(2）当 m0 时，则 解得 0m 13综上所述，m 的取值范围是m|m 1 且 m0.
8、（3）在区间 有且只有一个实根),(n例 3已知二次方程 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值范围。2340xxm解：由题意有方程在区间 上只有一个正根，则 即为所0,10fA430A13求范围。变式：已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围.解：条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1 ，2)内，则 ，65,21056)2(,41,)0(mRff 21实数 m 的范围是 .)21,(（4）在区间 有两个实根),(n例 4： 已知关于 x
9、 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0 ，1)内，求 m 的范围.解：据抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 10,)(,mf - 或(1)0f(1)0483).afa或 或 或 a1.15a3725a372所以实数 a 的取值范围是 或 a1.解析 2：a=0 时，不符合题意，所以 a0,又 =0 在 -1，1上有解， 在-1，1 上有解 在-1，1上有解，()3fxxa2(1)3xax213xa问题转化为求函数 -1，1 上的值域；设 t=3-2x，x-1 ，1，则 ，t 1,5,21yx 2x，21(3)7(6)tyt设 ， 时， ，此函数 g(t)单调递减， 时， 0,此函数 g(t)单27().)gtt1,)t()0gt(7,5t()gt调递增，y 的取值范围是 ， =0 在-1，1上有解 或73,23fxaxa1a3,1a。372a（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用例 6.1求函数 y = (10 ) 2故 m 的取值范围为 (-, 0)(0, 3-2 .2例 6.3设关于 的方程 R） ，xbx(41（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；
