2018-2019版高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式（课件+学案）（打包6套）新人教A版选修4-5.zip

1一 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题．知识点 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．思考 1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 ①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．思考 2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案 适合解决一些与正整数 n 有关的问题．梳理 数学归纳法的概念及步骤(1)数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当 n＝ n0时命题成立；②假设当 n＝ k(k∈N ＋ ，且 k≥ n0)时命题成立，证明 n＝ k＋1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．(3)数学归纳法的基本过程2类型一 用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝1－ (n∈N ＋ )．12 122 123 12n－ 1 12n 12n证明 (1)当 n＝1 时，左边＝ ，右边＝1－ ＝ ，等式成立．12 12 12(2)假设当 n＝ k(k≥1)时，等式成立，即 ＋ ＋…＋ ＝1－ .12 122 12k 12k当 n＝ k＋1 时，＋ ＋…＋ ＋ ＝1－ ＋ ＝1－ ，12 122 12k 12k＋ 1 12k 12k＋ 1 12k＋ 1即当 n＝ k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)可知，原等式对 n∈N ＋ 均成立．反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n＝ n0时命题的形式，二是要准确把握由 n＝ k 到 n＝ k＋1 时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明 n＝ k＋1 成立时，必须使用归纳假设．跟踪训练 1 用数学归纳法证明 1＋2 2＋3 2＋…＋ n2＝ n(n＋1)(2 n＋1)( n∈N ＋ )．16证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1 2＝1，右边＝ ＝1，等式成立．1×2×36(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时，等式成立，即 12＋2 2＋3 2＋…＋ k2＝ .kk＋ 12k＋ 16当 n＝ k＋1 时，1 2＋2 2＋3 2＋…＋ k2＋( k＋1) 2＝ ＋( k＋1) 2kk＋ 12k＋ 16＝kk＋ 12k＋ 1＋ 6k＋ 126＝k＋ 12k2＋ 7k＋ 66＝ .k＋ 1[k＋ 1＋ 1][2k＋ 1＋ 1]6所以当 n＝ k＋1 时等式也成立．3由(1)(2)可知，等式对任何 n∈N ＋ 都成立．类型二 证明与整除有关的问题例 2 求证： x2n－ y2n(n∈N ＋ )能被 x＋ y 整除．证明 (1)当 n＝1 时， x2－ y2＝( x＋ y)(x－ y)能被 x＋ y 整除．(2)假设 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时， x2k－ y2k能被 x＋ y 整除，那么当 n＝ k＋1 时， x2k＋2 － y2k＋2＝ x2·x2k－ y2·y2k－ x2y2k＋ x2y2k＝ x2(x2k－ y2k)＋ y2k(x2－ y2)．∵ x2k－ y2k与 x2－ y2都能被 x＋ y 整除，∴ x2(x2k－ y2k)＋ y2k(x2－ y2)能被 x＋ y 整除．即当 n＝ k＋1 时， x2k＋2 － y2k＋2 能被 x＋ y 整除．由(1)(2)可知，对任意正整数 n，命题均成立．反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要利用“添项”与“减项” “因式分解”等变形技巧来凑出 n＝ k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．跟踪训练 2 用数学归纳法证明： n3＋( n＋1) 3＋( n＋2) 3能被 9 整除( n∈N ＋ )．证明 (1)当 n＝1 时，1 3＋2 3＋3 3＝36 能被 9 整除，所以结论成立．(2)假设当 n＝ k(k∈N ＋ ， k≥1)时结论成立，即 k3＋( k＋1) 3＋( k＋2) 3能被 9 整除．则当 n＝ k＋1 时，( k＋1) 3＋( k＋2) 3＋( k＋3) 3＝[ k3＋( k＋1) 3＋( k＋2) 3]＋[( k＋3) 3－ k3]＝[ k3＋( k＋1) 3＋( k＋2) 3]＋9 k2＋27 k＋27＝[ k3＋( k＋1) 3＋( k＋2) 3]＋9( k2＋3 k＋3)．因为 k3＋( k＋1) 3＋( k＋2) 3能被 9 整除，9(k2＋3 k＋3)也能被 9 整除，所以( k＋1) 3＋( k＋2) 3＋( k＋3) 3也能被 9 整除，即当 n＝ k＋1 时结论也成立．由(1)(2)知，命题对一切 n∈N ＋ 成立．类型三 用数学归纳法证明几何命题例 3 有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n)＝ n2－ n＋2 个部分( n∈N ＋ )．证明 (1)当 n＝1 时，一个圆将平面分成两个部分，且 f(1)＝1－1＋2＝2，4所以 n＝1 时命题成立．(2)假设 n＝ k(k≥1)时命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)＝ k2－ k＋2 个部分．则当 n＝ k＋1 时，在 k＋1 个圆中任取一个圆 O，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 O 与 k 个圆有2k 个交点，这 2k 个点将圆 O 分成 k 段弧，每段弧将原平面一分为二，故得 f(k＋1)＝ f(k)＋2 k＝ k2－ k＋2＋2 k＝( k＋1) 2－( k＋1)＋2.所以当 n＝ k＋1 时，命题成立．综合(1)(2)可知，对一切 n∈N ＋ ，命题成立．反思与感悟 (1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚 n＝ k 与 n＝ k＋1 时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起 f(k)与 f(k＋1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将 n＝ k＋1 和 n＝ k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可．(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明．跟踪训练 3 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成 (n2＋ n＋2)个区域( n∈N ＋ )．12证明 (1)当 n＝1 时，一条直线把平面分成两个区域，又 ×(12＋1＋2)＝2，∴ n＝1 时命题成立．12(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时，命题成立，即 k 条满足题意的直线把平面分割成了(k2＋ k＋2)个区域．12那么当 n＝ k＋1 时， k＋1 条直线中的 k 条直线把平面分成了 (k2＋ k＋2)个区域，第 k＋112条直线被这 k 条直线分成 k＋1 段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了 k＋1 个区域，∴ k＋1 条直线把平面分成了 (k2＋ k＋2)＋ k＋1＝ [(k＋1) 2＋( k＋1)＋2]个区域．12 12∴当 n＝ k＋1 时命题也成立．由(1)(2)知，对一切的 n∈N ＋ ，此命题均成立．51．用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于( n－2)π”时，归纳奠基中 n0的取值应为( )A．1B．2C．3D．4答案 C解析 边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n0＝3.2．用数学归纳法证明 1＋ a＋ a2＋…＋ an＋1 ＝ (n∈N ＋ ， a≠1)，在验证 n＝1 成立1－ an＋ 21－ a时，左边所得的项为( )A．1 B．1＋ a＋ a2C．1＋ a D．1＋ a＋ a2＋ a3答案 B解析 当 n＝1 时， n＋1＝2，故左边所得的项为 1＋ a＋ a2.3．用数学归纳法证明 34n＋1 ＋5 2n＋1 (n∈N)能被 8 整除，当 n＝ k＋1 时，3 4(k＋1)＋1 ＋5 2(k＋1)＋1 应变形为__________．答案 81×(3 4k＋1 ＋5 2k＋1 )－56×5 2k＋1 (或 25×(34k＋1 ＋5 2k＋1 )＋56×3 4k＋1 )解析 3 4(k＋1)＋1 ＋5 2(k＋1)＋1 ＝3 4k＋5 ＋5 2k＋3 ＝81×3 4k＋1 ＋25×5 2k＋1 ＝81×3 4k＋1 ＋81×5 2k＋1 －56×5 2k＋1 ＝81×(3 4k＋1＋5 2k＋1 )－56×5 2k＋1 .4．用数学归纳法证明 1＋3＋…＋(2 n－1)＝ n2(n∈N ＋ )．证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当 n＝ k(k≥1)时，等式成立，即 1＋3＋…＋(2 k－1)＝ k2，那么，当 n＝ k＋1 时，1＋3＋…＋(2 k－1)＋[2( k＋1)－1]＝ k2＋[2( k＋1)－1]＝ k2＋2 k＋1＝( k＋1) 2.所以当 n＝ k＋1 时等式成立．由(1)和(2)可知等式对任意正整数 n 都成立．1．应用数学归纳法时应注意的问题(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是 n＝1，有时需验证 n＝2， n＝3.(2)对 n＝ k＋1 时式子的项数以及 n＝ k 与 n＝ k＋1 的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)“假设 n＝ k 时命题成立，利用这一假设证明 n＝ k＋1 时命题成立” ，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．2．判断利用数学归纳法证明问题是否正确．6(1)是要看有无归纳基础．(2)是证明当 n＝ k＋1 时是否应用了归纳假设．3．与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明．其中关键问题是从当 n＝ k＋1 时的表达式中分解出 n＝ k 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立．一、选择题1．已知命题 1＋2＋2 2＋…＋2 n－1 ＝2 n－1 及其证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2 1－1＝1，所以等式成立．(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时等式成立，即 1＋2＋2 2＋…＋2 k－1 ＝2 k－1 成立，则当n＝ k＋1 时，1＋2＋2 2＋…＋2 k－1 ＋2 k＝ ＝2 k＋1 －1，所以 n＝ k＋1 时等式也成1－ 2k＋ 11－ 2立．由(1)(2)知，对任意的正整数 n 等式都成立．判断以上评述( )A．命题、推理都正确B．命题正确、推理不正确C．命题不正确、推理正确D．命题、推理都不正确答案 B解析 推理不正确，错在证明当 n＝ k＋1 时，没有用到假设当 n＝ k 时的结论，命题由等比数列求和公式知正确．2．在数列{ an}中， a1＝ －1，前 n 项和 Sn＝ －1 先算出数列的前 4 项的值，再根据2 n＋ 1这些值归纳猜想数列的通项公式是( )A． an＝ －1 B． an＝ n －1n＋ 1 n＋ 1C． an＝ － D． an＝ －2n n n＋ 1 n答案 D解析 ∵ a1＝ －1， S2＝ －1，2 3∴ a2＝ S2－ S1＝ － ，3 2a3＝ S3－ S2＝ － ，4 3a4＝ S4－ S3＝ － ，5 4猜想： an＝ － .n＋ 1 n73．用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn＋ yn能被 x＋ y 整除” ，第二步归纳假设应写成( )A．假设 n＝2 k＋1( k∈N ＋ )时正确，再推 n＝2 k＋3 时正确B．假设 n＝2 k－1( k∈N ＋ )时正确，再推 n＝2 k＋1 时正确C．假设 n＝ k(k∈N ＋ )时正确，再推 n＝ k＋1 时正确D．假设 n＝ k(k∈N ＋ )时正确，再推 n＝ k＋2 时正确答案 B解析 ∵ n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设当 n＝2 k－1( k∈N ＋ )时正确，再推出当 n＝2 k＋1 时正确，故选 B.4．设 f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ (n∈N ＋ )，那么 f(n＋1)－ f(n)等于( )1n＋ 1 1n＋ 2 1n＋ 3 12nA. B.12n＋ 1 12n＋ 2C. ＋ D. －12n＋ 1 12n＋ 2 12n＋ 1 12n＋ 2答案 D解析 因为 f(n)＝ ＋ ＋…＋ ，1n＋ 1 1n＋ 2 12n所以 f(n＋1)＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ，1n＋ 2 1n＋ 3 12n 12n＋ 1 12n＋ 2所以 f(n＋1)－ f(n)＝ ＋ －12n＋ 1 12n＋ 2 1n＋ 1＝ － .12n＋ 1 12n＋ 25．如果 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋ n(n＋1)( n＋2)＝ n(n＋1)( n＋ a)(n＋ b)对一14切正整数 n 都成立，则 a， b 的值可以等于( )A． a＝1， b＝3 B． a＝－1， b＝1C． a＝1， b＝2 D． a＝2， b＝3答案 D解析 令 n＝1,2 得到关于 a， b 的方程组，解得即可．6．某个命题与正整数 n 有关，若当 n＝ k(k∈N ＋ )时该命题成立，那么可推得当 n＝ k＋1 时该命题也成立，现已知当 n＝5 时该命题不成立，那么可推得( )A．当 n＝6 时该命题不成立B．当 n＝6 时该命题成立C．当 n＝4 时该命题不成立8D．当 n＝4 时该命题成立答案 C解析 由已知得当 n＝ k 时成立⇒ n＝ k＋1 时成立．∴当 n＝ k＋1 时不成立⇒当 n＝ k 时不成立．∴由当 n＝5 时不成立知，当 n＝4 时不成立．二、填空题7．设 f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N ＋ )，则 f(n＋1)－ f(n)＝________.12 13 13n－ 1答案 ＋ ＋13n 13n＋ 1 13n＋ 2解析 因为 f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ ，12 13 13n－ 1所以 f(n＋1)＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ，12 13 13n－ 1 13n 13n＋ 1 13n＋ 2所以 f(n＋1)－ f(n)＝ ＋ ＋ .13n 13n＋ 1 13n＋ 28．观察式子 1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第 n 个式子应为________________．答案 1－4＋9－16＋…＋(－1) n－1 n2＝(－1) n－1 ·nn＋ 129．已知平面上有 n(n∈N ＋ ， n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有 f(n)条，则 f(3)＝__________， f(4)＝____________， f(5)＝____________， f(n＋1)＝ f(n)＋____________.答案 3 6 10 n解析 当 n＝ k 时，有 f(k)条直线．当 n＝ k＋1 时，增加的第 k＋1 个点与原 k 个点共连成k 条直线，即增加 k 条直线，所以 f(k＋1)＝ f(k)＋ k.所以 f(3)＝3， f(4)＝6， f(5)＝10， f(n＋1)＝ f(n)＋ n.10．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝2 2×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2 3×1×3×5，…，照此规律，第 n 个等式可为____________________．答案 ( n＋1)( n＋2)…( n＋ n)＝2 n×1×3×…×(2n－1)解析 由已知，得第 n 个等式左边为( n＋1)( n＋2)…( n＋ n)，右边为2n×1×3×…×(2n－1)．9所以第 n 个等式为( n＋1)( n＋2)…( n＋ n)＝2 n×1×3×…×(2n－1)．三、解答题11．用数学归纳法证明：当 n 为正整数时， f(n)＝3 2n＋2 －8 n－9 能被 64 整除．证明 (1)当 n＝1 时， f(1)＝3 4－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时，命题成立，即 f(k)＝3 2k＋2 －8 k－9 能被 64 整除．当 n＝ k＋1 时，f(k＋1)＝3 2(k＋1)＋2 －8( k＋1)－9＝9(3 2k＋2 －8 k－9)＋9×8 k＋9×9－8( k＋1)－9＝9(3 2k＋2 －8 k－9)＋64( k＋1)，即 f(k＋1)＝9 f(k)＋64( k＋1)．∴ n＝ k＋1 时命题也成立．综合(1)(2)可知，对任意的 n∈N ＋ ，命题都成立．12．用数学归纳法证明：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ (n∈N ＋ )．12 13 14 12n－ 1 12n 1n＋ 1 1n＋ 2 12n证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ＝ ＝右边，12 12 11＋ 1所以等式成立．(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时等式成立，即1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ ，12 13 14 12k－ 1 12k 1k＋ 1 1k＋ 2 12k则当 n＝ k＋1 时，1－ ＋ － ＋…＋ － ＋ － ＝ ＋12 13 14 12k－ 1 12k 12k＋ 1 12k＋ 2 ( 1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ …＋ 12k)－ ＝ ＋ ＝ ＋…＋ ＋ ＋ ＝12k＋ 1 12k＋ 2 ( 1k＋ 2＋ …＋ 12k＋ 12k＋ 1) ( 1k＋ 1－ 12k＋ 2) 1k＋ 2 12k 12k＋ 1 12k＋ 2＋ ＋…＋ ，所以当 n＝ k＋1 时等式也成立．1k＋ 1＋ 1 1k＋ 1＋ 2 12k＋ 1由(1)(2)知，对任意 n∈N ＋ 等式都成立．13．请观察以下三个式子：(1)1×3＝ ；1×2×96(2)1×3＋2×4＝ ；2×3×116(3)1×3＋2×4＋3×5＝ ，3×4×136归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋ n(n＋2)＝ .nn＋ 12n＋ 7610证明：①当 n＝1 时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时，命题成立，即 1×3＋2×4＋3×5＋…＋ k(k＋2)＝ ，kk＋ 12k＋ 76当 n＝ k＋1 时，1×3＋2×4＋…＋ k(k＋2)＋( k＋1)( k＋3)＝ ＋( k＋1)( k＋3)kk＋ 12k＋ 76＝ (2k2＋7 k＋6 k＋18)k＋ 16＝ (2k2＋13 k＋18)k＋ 16＝k＋ 1k＋ 22k＋ 96＝ ，k＋ 1[k＋ 1＋ 1][2k＋ 1＋ 7]6所以当 n＝ k＋1 时，命题成立．由①②知，命题成立．四、探究与拓展14．用数学归纳法证明 12＋2 2＋…＋( n－1) 2＋ n2＋( n－1) 2＋…＋2 2＋1 2＝ 时，由n2n2＋ 13n＝ k(k∈N ＋ ， k≥1)的假设到证明 n＝ k＋1 时，等式左边应添加的式子是________．答案 ( k＋1) 2＋ k2解析 当 n＝ k 时，左边＝1 2＋2 2＋…＋( k－1) 2＋ k2＋( k－1) 2＋…＋2 2＋1 2.当 n＝ k＋1 时，左边＝1 2＋2 2＋…＋ k2＋( k＋1) 2＋ k2＋( k－1) 2＋…＋2 2＋1 2，所以左边添加的式子为( k＋1) 2＋ k2.15．已知数列 ， ， ， ，…， ，…，计算数列和11×4 14×7 17×10 110×13 13n－ 23n＋ 1S1， S2， S3， S4，根据计算结果，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S1＝ ＝ ， S2＝ ＋ ＝ ，11×4 14 14 14×7 27S3＝ ＋ ＝ ， S4＝ ＋ ＝ .27 17×10 310 310 110×13 413上面四个结果中，分子与项数 n 一致，分母可用项数 n 表示为 3n＋1，于是可以猜想 Sn＝.其证明如下：n3n＋ 111(1)当 n＝1 时，左边＝ S1＝ ，右边＝ ＝ ，猜想成立．14 13×1＋ 1 14(2)假设当 n＝ k(k∈N ＋ ， k≥1)时猜想成立，即 ＋ ＋…＋ ＝ 成立，11×4 14×7 13k－ 23k＋ 1 k3k＋ 1则当 n＝ k＋1 时，＋ ＋…＋ ＋11×4 14×7 13k－ 23k＋ 11[3k＋ 1－ 2][3k＋ 1＋ 1]＝ ＋k3k＋ 1 13k＋ 13k＋ 4＝3k2＋ 4k＋ 13k＋ 13k＋ 4＝ ＝ ，3k＋ 1k＋ 13k＋ 13k＋ 4 k＋ 13k＋ 1＋ 1所以当 n＝ k＋1 时，猜想成立．由(1)(2)知，猜想对任意 n∈N ＋ ， Sn＝ 都成立．n3n＋ 1一 数学归纳法第四讲 用数学归纳法证明不等式学习目标1.了解数学归纳法的基本原理 .2.了解数学归纳法的应用范围 .3.会用数学归纳法证明一些简单问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下 .思考 1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 ① 第一辆自行车倒下；② 任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下 .思考 2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案 适合解决一些与正整数 n有关的问题 .梳理 数学归纳法的概念及步骤(1)数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤：① 证明当 时命题成立；② 假设当 时命题成立，证明 时命题也成立 .在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立 .这种证明方法称为数学归纳法 .n＝ n0n＝ k＋ 1n＝ k(k∈ N＋，且 k≥n0)(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与 有关的数学命题的证明 .(3)数学归纳法的基本过程正整数题型探究类型一 用数学归纳法证明等式(2)假设当 n＝ k(k≥1)时，等式成立，即当 n＝ k＋ 1时，等式也成立 .由 (1)(2)可知，原等式对 n∈ N＋均成立 . 证明反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n＝ n0时命题的形式，二是要准确把握由 n＝ k到 n＝ k＋ 1时，命题结构的变化特点 .并且一定要记住：在证明 n＝ k＋ 1成立时，必须使用归纳假设 .证明(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈ N＋ )时，等式成立，即 12＋ 22＋ 32＋ … ＋ k2当 n＝ k＋ 1时， 12＋ 22＋ 32＋ … ＋ k2＋ (k＋ 1)2所以当 n＝ k＋ 1时等式也成立 .由 (1)(2)可知，等式对任何 n∈ N＋都成立 .类型二 证明与整除有关的问题例 2 求证： x2n－ y2n(n∈ N＋ )能被 x＋ y整除 .证明证明 (1)当 n＝ 1时， x2－ y2＝ (x＋ y)(x－ y)能被 x＋ y整除 .(2)假设 n＝ k(k≥1， k∈ N＋ )时， x2k－ y2k能被 x＋ y整除，那么当 n＝ k＋ 1时， x2k＋ 2－ y2k＋ 2＝ x2·x2k－ y2·y2k－ x2y2k＋ x2y2k＝ x2(x2k－ y2k)＋ y2k(x2－ y2).∵ x2k－ y2k与 x2－ y2都能被 x＋ y整除，∴ x2(x2k－ y2k)＋ y2k(x2－ y2)能被 x＋ y整除 .即当 n＝ k＋ 1时， x2k＋ 2－ y2k＋ 2能被 x＋ y整除 .由 (1)(2)可知，对任意正整数 n，命题均成立 .反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式 .这往往要利用 “添项 ”与 “减项 ”“因式分解 ”等变形技巧来凑出 n＝ k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证 .跟踪训练 2 用数学归纳法证明： n3＋ (n＋ 1)3＋ (n＋ 2)3能被 9整除 (n∈ N＋ ).证明证明 (1)当 n＝ 1时， 13＋ 23＋ 33＝ 36能被 9整除，所以结论成立 .(2)假设当 n＝ k(k∈ N＋， k≥1)时结论成立，即 k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3能被 9整除 .则当 n＝ k＋ 1时， (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3＋ (k＋ 3)3＝ [k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3]＋ [(k＋ 3)3－ k3]＝ [k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3]＋ 9k2＋ 27k＋ 27＝ [k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3]＋ 9(k2＋ 3k＋ 3).因为 k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3能被 9整除，9(k2＋ 3k＋ 3)也能被 9整除，所以 (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3＋ (k＋ 3)3也能被 9整除，即当 n＝ k＋ 1时结论也成立 .由 (1)(2)知，命题对一切 n∈ N＋成立 .类型三 用数学归纳法证明几何命题例 3 有 n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这 n个圆将平面分成 f(n)＝ n2－ n＋ 2个部分 (n∈ N＋ ).证明证明 (1)当 n＝ 1时，一个圆将平面分成两个部分，且 f(1)＝ 1－ 1＋ 2＝ 2，所以 n＝ 1时命题成立 .(2)假设 n＝ k(k≥1)时命题成立，即 k个圆把平面分成 f(k)＝ k2－ k＋ 2个部分 .则当 n＝ k＋ 1时，在 k＋ 1个圆中任取一个圆 O，剩下的 k个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 O与 k个圆有 2k个交点，这 2k个点将圆 O分成 k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得 f(k＋ 1)＝ f(k)＋ 2k＝ k2－ k＋ 2＋ 2k＝ (k＋ 1)2－ (k＋ 1)＋ 2.所以当 n＝ k＋ 1时，命题成立 .综合 (1)(2)可知，对一切 n∈ N＋，命题成立 .反思与感悟 (1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚 n＝ k与 n＝ k＋ 1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起 f(k)与 f(k＋ 1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将 n＝ k＋ 1和 n＝ k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可 .(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明 .证明证明 (1)当 n＝ 1时，一条直线把平面分成两个区域，∴ n＝ 1时命题成立 .(2)假设当 n＝ k(k≥1 ， k∈N ＋ )时，命题成立，第 k＋ 1条直线被这 k条直线分成 k＋ 1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了 k＋ 1个区域，∴ 当 n＝ k＋ 1时命题也成立 .由 (1)(2)知，对一切的 n∈N ＋，此命题均成立 .达标检测1.用数学归纳法证明 “凸 n边形的内角和等于 (n－ 2)π”时，归纳奠基中 n0的取值应为A.1 B.2 C.3 D.41 2 3 4解析 边数最少的凸 n边形为三角形，故 n0＝ 3.解析 答案√2.用数学归纳法证明 1＋ a＋ a2＋ … ＋ an＋ 1＝ (n∈ N＋， a≠1)，在验证 n＝ 1成立时，左边所得的项为A.1 B.1＋ a＋ a2C.1＋ a D.1＋ a＋ a2＋ a3答案√1 2 3 4解析 当 n＝ 1时， n＋ 1＝ 2，故左边所得的项为 1＋ a＋ a2.解析1二 用数学归纳法证明不等式学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳—猜想—证明的思想方法．知识点 用数学归纳法证明不等式思考 1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？答案 (1)归纳奠基：验证初始值 n＝ n0.(2)归纳递推：在假设 n＝ k(k≥ n0， k∈N ＋ )成立的前提下，证明 n＝ k＋1 时问题成立．思考 2 证明不等式与证明等式有什么不同？答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩” ．梳理 (1)利用数学归纳法证明不等式在运用数学归纳法证明不等式时，由 n＝ k 时命题成立，推导 n＝ k＋1 命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．(2)贝努利(Bernoulli)不等式如果 x 是实数，且 x＞－1， x≠0， n 为大于 1 的自然数，则有(1＋ x)n＞1＋ nx.(3)贝努利不等式的推广事实上，把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 α 时，仍有类似不等式成立．①当 α 是实数，并且满足 α ＞1 或者 α ＜0 时，有(1＋ x)α ≥1＋ αx (x＞－1)；②当 α 是实数，并且满足 0＜ α ＜1 时，有(1＋ x)α ≤1＋ αx (x＞－1)．类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式例 1 证明：1＋ ＋ ＋…＋ ＜2－ (n∈N ＋ ， n≥2)．122 132 1n2 1n证明 (1)当 n＝2 时，左边＝1＋ ＝ ，右边＝2－ ＝ ，由于 ＜ ，因此命题成立．122 54 12 32 54 32(2)假设当 n＝ k(k∈N ＋ ， k≥2)时，命题成立，即 1＋ ＋ ＋…＋ ＜2－ .122 132 1k2 1k2当 n＝ k＋1 时，1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＜2－ ＋ ＜2－ ＋ ＝2－ ＋122 132 1k2 1k＋ 12 1k 1k＋ 12 1k 1kk＋ 1 1k＝2－ ，(1k－ 1k＋ 1) 1k＋ 1即当 n＝ k＋1 时，命题成立．由(1)(2)可知，不等式对一切 n∈N ＋ ， n≥2 都成立．反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．跟踪训练 1 用数学归纳法证明：1＋ ＋ ＋…＋ ＜ n(n∈N ＋ ， n＞1)．12 13 12n－ 1证明 (1)当 n＝2 时，左边＝1＋ ＋ ，右边＝2，12 13左边＜右边，不等式成立．(2)假设当 n＝ k(k＞1， k∈N ＋ )时，不等式成立，即 1＋ ＋ ＋…＋ 2， f(8) ， f(16)12 13 1n 32 523， f(32) .观察上述结果，可推测出一般结论( )72A． f(2n)2n＋ 12B． f(n2)n＋ 22C． f(2n)≥n＋ 22D．以上都不正确答案 C解析 由 f(2)＝ ， f(22)＞ ， f(23)＞ ，32 42 52f(24)＞ ， f(25)＞ ，62 72可推测出 f(2n)≥ .n＋ 22二、填空题7．证明： ＜1＋ ＋ ＋…＋ ＜ n＋1( n＞1)，当 n＝2 时，要证明的式子为n＋ 22 12 13 12n________________．答案 2＜1＋ ＋ ＋ ＜312 13 14解析 当 n＝2 时，要证明的式子为 2＜1＋ ＋ ＋ ＜3.12 13 148．以下是用数学归纳法证明“ n∈N ＋ 时，2 n＞ n2”的过程，证明：(1)当 n＝1 时，2 1＞1 2，不等式显然成立．(2)假设当 n＝ k(k∈N ＋ )时不等式成立，即 2k＞ k2.那么，当 n＝ k＋1 时，2 k＋1 ＝2×2 k＝2 k＋2 k＞ k2＋ k2≥ k2＋2 k＋1＝( k＋1) 2.即当 n＝ k＋1 时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，对任何 n∈N ＋ 不等式都成立．8其中错误的步骤为________．(填序号)答案 (2)解析 在 2k＋1 ＝2×2 k＝2 k＋2 k＞ k2＋ k2≥ k2＋2 k＋1 中用了 k2≥2 k＋1，这是一个不确定的结论．如 k＝2 时， k2＜2 k＋1.9．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数 n，总有 2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值 n0最小应当是________．答案 1010．用数学归纳法证明“2 n＞ n2＋1 对于 n≥ n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取________．答案 5解析 n 取 1,2,3,4 时不等式不成立，起始值为 5.三、解答题11．用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式 … (1＋13)(1＋ 15) (1＋ 12n－ 1)成立．2n＋ 12证明 (1)当 n＝2 时，左边＝1＋ ＝ ，右边＝ ，13 43 52左边右边，所以不等式成立．(2)假设当 n＝ k(k≥2 且 k∈N ＋ )时，不等式成立，即 … ，(1＋13)(1＋ 15) (1＋ 12k－ 1) 2k＋ 12那么当 n＝ k＋1 时，· ·(1＋13)(1＋ 15) (1＋ 12k－ 1)[1＋ 12k＋ 1－ 1] 2k＋ 12 2k＋ 22k＋ 1＝ ＝ 2k＋ 222k＋ 1 4k2＋ 8k＋ 422k＋ 1 4k2＋ 8k＋ 322k＋ 1＝ ＝ ，2k＋ 32k＋ 122k＋ 1 2k＋ 1＋ 12所以当 n＝ k＋1 时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．12．已知 Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ (n＞1，且 n∈N ＋ )，求证： 2ns＞1＋ .12 13 1n n2证明 (1)当 n＝2 时， 2s＝1＋ ＋ ＋ ＝ ＞1＋ ，即 n＝2 时命题成立．12 13 14 2512 229(2)假设当 n＝ k(k＞2， k∈N ＋ )时，命题成立，即 2ks＝1＋ ＋ ＋…＋ ＞1＋ .12 13 12k k2当 n＝ k＋1 时，12ks＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋…＋12 13 12k 12k＋ 1 12k＋ 1共 项＞1＋ ＋ ＋ ＋…＋k2 12k＋ 1 12k＋ 2 12k＋ 1＞1＋ ＋k2 2k2k＋ 2k＝1＋ ＋k2 12＝1＋ ，k＋ 12故当 n＝ k＋1 时，命题也成立．由(1)(2)知，对 n∈N ＋ ， n＞2， ns＞1＋ 成立．n213．已知递增等差数列{ an}满足： a1＝1，且 a1， a2， a4成等比数列．(1)求数列{ an}的通项公式；(2)若不等式 · ·…· ≤ 对任意 n∈N ＋ 恒成立，试猜想出(1－12a1) (1－ 12a2) (1－ 12an) m2an＋ 1实数 m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{ an}公差为 d(d0)，由题意可知 a1·a4＝ a ，即 1(1＋3 d)＝(1＋ d)2，2解得 d＝1 或 d＝0(舍去)．所以 an＝1＋( n－1)·1＝ n.(2)不等式等价于 · · ·…· ≤ ，12 34 56 2n－ 12n m2n＋ 1当 n＝1 时， m≥ ；32当 n＝2 时， m≥ ；358而 ，所以猜想， m 的最小值为 .32 358 3210下面证不等式 · · ·…· ≤ 对任意 n∈N ＋ 恒成立．12 34 56 2n－ 12n 322n＋ 1证明：①当 n＝1 时， ≤ ＝ ，命题成立．12 323 12②假设当 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时，不等式 · · ·…· ≤ 成立，12 34 56 2k－ 12k 322k＋ 1当 n＝ k＋1 时，· · ·…· · ≤ · ，12 34 56 2k－ 12k 2k＋ 12k＋ 2 322k＋ 1 2k＋ 12k＋ 2只需证 · ≤ ，322k＋ 1 2k＋ 12k＋ 2322k＋ 3只需证 ≤ ，2k＋ 12k＋ 2 12k＋ 3只需证 ≤2 k＋2，2k＋ 12k＋ 3只需证 4k2＋8 k＋3≤4 k2＋8 k＋4，即证 3≤4，显然成立．所以，对任意 n∈N ＋ ，不等式· · ·…· ≤ 恒成立．12 34 56 2n－ 12n 322n＋ 1四、探究与拓展14．求证： ＋ ＋…＋ ＜ (n∈N ＋ )．11×2 12×3 1nn＋ 1 n证明 (1)当 n＝1 时，左边＝ ，右边＝1，左边＜右边，12所以不等式成立．(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈N ＋ )时不等式成立，即 ＋ ＋…＋ ＜ 成立，11×2 12×3 1kk＋ 1 k则当 n＝ k＋1 时，11＋ ＋…＋ ＋11×2 12×3 1kk＋ 1 1k＋ 1k＋ 2＜ ＋ ，k1k＋ 1k＋ 2只需证明 ＋ ＜ 即可，k1k＋ 1k＋ 2 k＋ 1即证 － ＞ ，k＋ 1 k1k＋ 1k＋ 2即证 ＞ ＋ ，k＋ 1k＋ 2 k＋ 1 k即证 ( －1)＞ ，k＋ 1 k＋ 2 k而当 k≥1 时上式显然成立，所以当 n＝ k＋1 时，不等式也成立．由(1)(2)可知，不等式对所有 n∈N ＋ 都成立．