2018-2019版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式学案（打包4套）新人教A版选修4-5.zip

1一 二维形式的柯西不等式学习目标 1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值．知识点 二维形式的柯西不等式思考 1 ( a2＋ b2)(c2＋ d2)与 4abcd 的大小关系如何？那么( a2＋ b2)(c2＋ d2)与( ac＋ bd)2的大小关系又如何？答案 ( a2＋ b2)(c2＋ d2)≥4 abcd，(a2＋ b2)(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2.思考 2 当且仅当 a＝ b 且 c＝ d 时，( a2＋ b2)(c2＋ d2)＝4 abcd，那么在什么条件下( a2＋ b2)(c2＋ d2)＝( ac＋ bd)2?答案 当且仅当 ad＝ bc 时，( a2＋ b2)·(c2＋ d2)＝( ac＋ bd)2.思考 3 若向量 α ＝( a， b)，向量 β ＝( c， d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？答案 · ≥| ac＋ bd|.a2＋ b2 c2＋ d2梳理 (1)二维形式的柯西不等式①定理 1：若 a， b， c， d 都是实数，则( a2＋ b2)(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2，当且仅当 ad＝ bc 时，等号成立．②二维形式的柯西不等式的推论：· ≥| ac＋ bd|(a， b， c， d∈R)；a2＋ b2 c2＋ d2· ≥| ac|＋| bd|(a， b， c， d∈R)．a2＋ b2 c2＋ d2(2)柯西不等式的向量形式定理 2：设 α ， β 是两个向量，则| α ·β |≤| α |·|β |，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α ＝ kβ 时，等号成立．(3)二维形式的三角不等式①定理 3： ＋ ≥ (x1， y1， x2， y2∈R)．x21＋ y21 x2＋ y2 x1－ x22＋ y1－ y22当且仅当三点 P1， P2与原点 O 在同一直线上，并且 P1， P2点在原点 O 两旁时，等号成立．②推论：对于任意的 x1， x2， x3， y1， y2， y3∈R，有＋ ≥ .x1－ x32＋ y1－ y32 x2－ x32＋ y2－ y32 x1－ x22＋ y1－ y22事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1， P2， P3的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，( x3， y3)，2根据△ P1P2P3的边长关系有| P1P3|＋| P2P3|≥| P1P2|，当且仅当三点 P1， P2， P3在同一直线上，并且点 P1， P2在 P3点的两旁时，等号成立．类型一 利用柯西不等式证明不等式例 1 已知 a1， a2， b1， b2∈R ＋ ，求证：( a1b1＋ a2b2)· ≥( a1＋ a2)2.(a1b1＋ a2b2)证明 ∵ a1， a2， b1， b2∈R ＋ ，∴( a1b1＋ a2b2)(a1b1＋ a2b2)＝ ·[a1b12＋ a2b22] [(a1b1)2＋ (a2b2)2]≥ 2(a1b1·a1b1＋ a2b2·a2b2)＝( a1＋ a2)2.∴( a1b1＋ a2b2) ≥( a1＋ a2)2.(a1b1＋ a2b2)反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法．跟踪训练 1 已知 θ 为锐角， a， b∈R ＋ ，求证： ＋ ≥( a＋ b)2.a2cos2θ b2sin2θ证明 ∵ ＋ ＝ (cos2θ ＋sin 2θ )a2cos2θ b2sin2θ ( a2cos2θ ＋ b2sin2θ )≥ 2＝( a＋ b)2，(acosθ ·cosθ ＋ bsinθ ·sinθ )∴ ＋ ≥( a＋ b)2.a2cos2θ b2sin2θ例 2 若实数 x， y， z 满足 x2＋4 y2＋ z2＝3，求证：| x＋2 y＋ z|≤3.证明 因为 x2＋4 y2＋ z2＝3，所以由柯西不等式得[x2＋(2 y)2＋ z2](12＋1 2＋1 2)≥( x＋2 y＋ z)2Error!Error!.整理得( x＋2 y＋ z)2≤9，即| x＋2 y＋ z|≤3.3反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积” ，构造使用柯西不等式的条件．(2)此类题也可以用三角不等式，把△ ABO 的三个顶点分别设为 O(0,0)， A(x1， x2)，B(－ y1，－ y2)即可．跟踪训练 2 设 a， b， c 为正数，求证： ＋ ＋ ≥ (a＋ b＋ c)．a2＋ b2 b2＋ c2 a2＋ c2 2证明 由柯西不等式知， · ≥ a＋ b，a2＋ b2 12＋ 12即 · ≥ a＋ b，2 a2＋ b2同理， · ≥ b＋ c， · ≥ a＋ c.2 b2＋ c2 2 a2＋ c2将上面三个同向不等式相加，得 ( ＋ ＋ )≥2( a＋ b＋ c)，2 a2＋ b2 b2＋ c2 a2＋ c2∴ ＋ ＋ ≥ (a＋ b＋ c)．a2＋ b2 b2＋ c2 a2＋ c2 2类型二 利用柯西不等式求最值例 3 若 3x＋4 y＝2，试求 x2＋ y2的最小值及最小值点．解 由柯西不等式( x2＋ y2)(32＋4 2)≥(3 x＋4 y)2，得 25(x2＋ y2)≥4，所以 x2＋ y2≥ ，425当且仅当 ＝ 时等号成立，点( x， y)为所求最小值点，x3 y4解方程组Error!得Error!因此，当 x＝ ， y＝ 时， x2＋ y2取得最小值，最小值为 ，最小值点为 .625 825 425 (625， 825)反思与感悟 利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．跟踪训练 3 已知 a， b∈R，且 9a2＋4 b2＝18，求 3a＋2 b 的最值．解 由柯西不等式，得(9 a2＋4 b2)(12＋1 2)≥(3 a＋2 b)2，∵9 a2＋4 b2＝18，∴36≥(3 a＋2 b)2.∴|3 a＋2 b|≤6.当Error!即Error!或Error! 时等号成立．∴当 a＝1， b＝ 时，3 a＋2 b 有最大值 6.324当 a＝－1， b＝－ 时，3 a＋2 b 有最小值－6.321．已知 a， b∈R， a2＋ b2＝4，则 3a＋2 b 的最大值为( )A．4 B．2 13C．8 D．9答案 B解析 ( a2＋ b2)(32＋2 2)≥(3 a＋2 b)2，当且仅当 3b＝2 a 时取等号，所以(3 a＋2 b)2≤4×13.所以 3a＋2 b 的最大值为 2 .132．已知 a≥0， b≥0，且 a＋ b＝2，则( )A． ab≤ B． ab≥12 12C． a2＋ b2≥2 D． a2＋ b2≤3答案 C解析 ∵( a2＋ b2)(12＋1 2)≥( a＋ b)2＝4，∴ a2＋ b2≥2.3．设 xy＞0，则 的最小值为________．(x2＋4y2)(y2＋ 1x2)答案 9解析 ∵ (x2＋4y2)(y2＋ 1x2)＝ ≥(1＋2) 2＝9，(x2＋4y2)(1x2＋ y2)当且仅当 xy＝ ，即 xy＝ 时，取等号．2xy 2∴最小值为 9.4．设 a， b， m， n∈R，且 a2＋ b2＝5， ma＋ nb＝5，则 的最小值为________．m2＋ n2答案 5解析 ∵( a2＋ b2)(m2＋ n2)≥( ma＋ nb)2＝25，∴ m2＋ n2≥5.∴ ≥ .m2＋ n2 5当且仅当 an＝ bm 时取等号．5．已知 a2＋ b2＝1，求证：| acosθ ＋ bsinθ |≤1.证明 ∵1＝ a2＋ b2＝( a2＋ b2)·(cos2θ ＋sin 2θ )5≥( acosθ ＋ bsinθ )2，∴| acosθ ＋ bsinθ |≤1.1．利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试．2．柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如( a2＋ b2)·(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2等号成立的条件是 ad＝ bc，可以把 a， b， c， d 看成等比，则 ad＝ bc 来联想记忆．一、选择题1．已知 a， b∈R ＋ 且 a＋ b＝1，则 P＝( ax＋ by)2与 Q＝ ax2＋ by2的关系是( )A． P≤ Q B． P＜ QC． P≥ Q D． P＞ Q答案 A解析 设 m＝( x， y)， n＝( ， )，a b a b则| ax＋ by|＝| m·n|≤| m||n|＝ ·ax2＋ by2 a2＋ b2＝ ·ax2＋ by2 a＋ b＝ ，ax2＋ by2∴( ax＋ by)2≤ ax2＋ by2.即 P≤ Q.2．若 a， b∈R，且 a2＋ b2＝10，则 a－ b 的取值范围是( )A．[－2 ，2 ]5 5B．[－2 ，2 ]10 10C．[－ ， ]10 10D．(－ ， )5 5答案 A解析 ( a2＋ b2)[12＋(－1) 2]≥( a－ b)2，∵ a2＋ b2＝10，∴( a－ b)2≤20.∴－2 ≤ a－ b≤2 .5 53．函数 y＝ ＋2 的最大值是( )x－ 5 6－ xA. B.3 5C．3 D．5答案 B6解析 根据柯西不等式知，y＝1× ＋2× ≤ × ＝ (当且仅当 x＝ 时取等号)x－ 5 6－ x 12＋ 22 x－ 52＋ 6－ x2 5265．4．若 3x2＋2 y2≤1，则 3x＋2 y 的取值范围是( )A．[0， ] B．[－ ，0]5 5C．[－ ， ] D．[－5,5]5 5答案 C解析 (3 x＋2 y)2≤ [32＋ 22][3x2＋ 2y2]＝5×(3 x2＋2 y2)≤5，∴－ ≤3 x＋2 y≤ .5 55．已知 a， b， c， d， m， n∈R ＋ ， P＝ ＋ ， Q＝ · ，则 P 与 Q 的大小关ab cd am＋ cnbm＋ dn系为( )A． P≤ Q B． P＜ QC． P≥ Q D． P＝ Q答案 A解析 ∵ P＝ ＋am·bm nc·dn≤[am2＋ cn2]·[(bm)2＋ (dn)2]＝ · ＝ Q.am＋ cnbm＋ dn∴ P≤ Q.6．已知 a， b＞0，且 a＋ b＝1，则( ＋ )2的最大值是( )4a＋ 1 4b＋ 1A．2 B.6 6C．6 D．12答案 D解析 ( ＋ )24a＋ 1 4b＋ 1＝(1× ＋1× )24a＋ 1 4b＋ 1≤(1 2＋1 2)(4a＋1＋4 b＋1)＝2[4( a＋ b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当 ＝ ，即 a＝ b＝ 时等号成立．4b＋ 1 4a＋ 112二、填空题77．设实数 x， y 满足 3x2＋2 y2≤6，则 P＝2 x＋ y 的最大值为________．答案 11解析 由柯西不等式，得(2x＋ y)2≤[( x)2＋( y)2]·3 2 [(23)2＋ (12)2]＝(3 x2＋2 y2)· ≤6× ＝11 ，(43＋ 12) 116 (当 且 仅 当 x＝ 411， y＝ 311时 取 等 号 )所以 2x＋ y≤ .118．设 x， y∈R ＋ ，则( x＋ y) 的最小值是________．(3x＋ 2y)答案 5＋2 6解析 ( x＋ y) ≥ 2(3x＋ 2y) (x·3x＋ y·2y)＝( ＋ )2＝5＋2 ，3 2 6当且仅当 · ＝ · 时，等号成立．x2y 3x y9．已知 x＞0， y＞0，且 ＋ ＝1，则 2x＋ y 的最小值为________．1x 1y答案 3＋2 2解析 2 x＋ y＝(2 x＋ y)(1x＋ 1y)＝[( )2＋( )2]2x y [(1x)2＋ (1y)2]≥ 2＝3＋2 ，(2x·1x＋ y·1y) 2当且仅当 · ＝ · 时，等号成立，2x1y 1x y又 ＋ ＝1，1x 1y则此时Error!10．已知函数 f(x)＝3 ＋4 ，则函数 f(x)的最大值为________．4－ x x－ 3答案 5解析 由柯西不等式知，(3 ＋4 )2≤(3 2＋4 2)·[( )2＋( )2]＝25.4－ x x－ 3 4－ x x－ 3当且仅当 3 ＝4 时，等号成立，x－ 3 4－ x因此 f(x)≤5.11．函数 f(x)＝3cos x＋4 的最大值为________．1＋ sin2x8答案 5 2解析 设 m＝(3,4)，n＝(cos x， )，1＋ sin2x则 f(x)＝3cos x＋4 1＋ sin2x＝ m·n≤| m||n|＝ · ＝5 .cos2x＋ 1＋ sin2x 32＋ 42 2当且仅当 m∥ n 时，上式取“＝” ．此时，3 －4cos x＝0.1＋ sin2x解得 sinx＝± ，cos x＝ .75 325故当 sinx＝± ，cos x＝ 时．75 325f(x)＝3cos x＋4 取得最大值 5 .1＋ sin2x 212．已知关于 x 的不等式| x＋ a|＜ b 的解集为{ x|2＜ x＜4}．则 ＋ 的最大值为__________．at＋ 12 bt答案 4解析 由| x＋ a|＜ b，得－ b－ a＜ x＜ b－ a，则Error!解得 a＝－3， b＝1.又 ＋ ＝ ＋－ 3t＋ 12 t 34－ t t≤ [32＋ 12][4－ t2＋ t2]＝2 ＝4，4－ t＋ t当且仅当 ＝ ，即 t＝1 时等号成立，4－ t3 t1故( ＋ )max＝4.－ 3t＋ 12 t三、解答题13．设 a， b∈R ＋ ，且 a＋ b＝2.求证： ＋ ≥2.a22－ a b22－ b证明 根据柯西不等式，有[(2－ a)＋(2－ b)](a22－ a＋ b22－ b)＝[( )2＋( )2]2－ a 2－ b [(a2－ a)2＋ ( b2－ b)2]≥ 2(2－ a·a2－ a＋ 2－ b·b2－ b)＝( a＋ b)2＝4.9∴ ＋ ≥ ＝2.a22－ a b22－ b 42－ a＋ 2－ b∴原不等式成立．四、探究与拓展14．若 a＋ b＝1，则 2＋ 2的最小值为( )(a＋1a) (b＋ 1b)A．1 B．2C. D.252 72答案 C解析 2＋ 2(a＋1a) (b＋ 1b)＝ a2＋2＋ ＋ b2＋2＋ .1a2 1b2∵ a＋ b＝1，∴ a2＋ b2＝ (a2＋ b2)·(1＋1)12≥ (a＋ b)2＝ .12 12又∵ ＋ ≥ ≥ ＝8，1a2 1b2 2ab 8a＋ b2以上两个不等式都是当且仅当 a＝ b＝ 时，等号成立．12∴ 2＋ 2≥ ＋2＋2＋8＝ ，(a＋1a) (b＋ 1b) 12 252当且仅当 a＝ b＝ 时等号成立．1215．已知 a， b∈(0，＋∞)， a＋ b＝1， x1， x2∈(0，＋∞)．求证：( ax1＋ bx2)(ax2＋ bx1)≥ x1x2.证明 由 a， b∈(0，＋∞)， a＋ b＝1，x1， x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式，可得(ax1＋ bx2)(ax2＋ bx1)＝[( )2＋( )2]·[( )2＋( )2]≥( · ＋ ·ax1 bx2 ax2 bx1 ax1 ax2 bx2)2＝( a ＋ b )2＝ x1x2，bx1 x1x2 x1x2当且仅当 ＝ ，即 x1＝ x2时取得等号．ax1ax2 bx2bx1所以( ax1＋ bx2)(ax2＋ bx1)≥ x1x2.1三 排序不等式学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用．知识点 排序不等式思考 1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件、5 件及 2 件，现在选择商店中单价为 3 元、2 元和 1 元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有 3×2×1＝6(种)不同的购买方案．(2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多；5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少．思考 2 如图，∠ POQ＝60°，比较 123AOBAOBSS与 13231AOBSA的大小．答案 12313231.AOBAOBAOBSSSA梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组： a1≤ a2≤…≤ an； b1≤ b2≤…≤ bn， c1， c2，…， cn是b1， b2，…， bn的任意一个排列．①乱序和： S＝ a1c1＋ a2c2＋…＋ ancn.②反序和： S1＝ a1bn＋ a2bn－1 ＋…＋ anb1.③顺序和： S2＝ a1b1＋ a2b2＋…＋ anbn.(2)排序不等式(排序原理)设 a1≤ a2≤…≤ an， b1≤ b2≤…≤ bn为两组实数， c1， c2，…， cn是 b1， b2，…， bn的任一排列，则 a1bn＋ a2bn－1 ＋…＋ anb1≤ a1c1＋ a2c2＋…＋ ancn≤ a1b1＋ a2b2＋…＋ anbn，当且仅当a1＝ a2＝…＝ an或 b1＝ b2＝…＝ bn时，反序和等于顺序和．2类型一 利用排序不等式证明不等式命 题 角 度 1 字 母 已 定 序 问 题例 1 已知 a， b， c 为正数，且 a≥ b≥ c，求证： ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ .a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 1a 1b 1c证明 ∵ a≥ b＞0，于是 ≤ ，1a 1b又 c＞0，从而 ≥ ，1bc 1ca同理 ≥ ，从而 ≥ ≥ .1ca 1ab 1bc 1ca 1ab又顺序和不小于乱序和，故可得＋ ＋ ≥ ＋ ＋a5b3c3 b5c3a3 c5a3b3 b5b3c3 c5c3a3 a5a3b3＝ ＋ ＋b2c3 c2a3 a2b3(∵ a2≥ b2≥ c2， 1c3≥ 1b3≥ 1a3)≥ ＋ ＋c2c3 a2a3 b2b3＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ .1c 1a 1b 1a 1b 1c∴原不等式成立．反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．跟踪训练 1 已知 0＜ a≤ b≤ c，求证： ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ .c2a＋ b b2a＋ c a2b＋ c a2a＋ b b2b＋ c c2c＋ a证明 因为 0＜ a≤ b≤ c，所以 0＜ a＋ b≤ c＋ a≤ b＋ c，所以 ≥ ≥ ＞0，1a＋ b 1c＋ a 1b＋ c又 0＜ a2≤ b2≤ c2，所以 ＋ ＋ 是顺序和，c2a＋ b b2a＋ c a2b＋ c＋ ＋ 是乱序和，a2a＋ b b2b＋ c c2c＋ a由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ 成立．c2a＋ b b2a＋ c a2b＋ c a2a＋ b b2b＋ c c2c＋ a3命 题 角 度 2 字 母 大 小 顺 序 不 定 问 题例 2 已知 a， b， c 均为正数，求证： ＋ ＋ ≥ (a＋ b＋ c)．a2b＋ c b2c＋ a c2a＋ b 12证明 由不等式的对称性，不妨设 a≥ b≥ c＞0，所以 a2≥ b2≥ c2， ≥ ≥ .1b＋ c 1c＋ a 1a＋ b由顺序和≥乱序和得到两个不等式：＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ，a2b＋ c b2c＋ a c2a＋ b a2c＋ a b2a＋ b c2b＋ c＋ ＋ ≥ ＋ ＋ .a2b＋ c b2c＋ a c2a＋ b a2a＋ b b2b＋ c c2c＋ a两式相加，得2 ≥ ＋ ＋ ，(a2b＋ c＋ b2c＋ a＋ c2a＋ b) b2＋ c2b＋ c c2＋ a2c＋ a a2＋ b2a＋ b注意到 ≥ (b＋ c)， ≥ (c＋ a)，b2＋ c2b＋ c 12 c2＋ a2c＋ a 12≥ (a＋ b)，a2＋ b2a＋ b 12所以 2(a2b＋ c＋ b2c＋ a＋ c2a＋ b)≥ (b＋ c)＋ (c＋ a)＋ (a＋ b)12 12 12＝ a＋ b＋ c.故 ＋ ＋ ≥ (a＋ b＋ c)．a2b＋ c b2c＋ a c2a＋ b 12反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．跟踪训练 2 设 a， b， c∈R ＋ ，利用排序不等式证明：a3＋ b3＋ c3≤ ＋ ＋ .b5＋ c52a2 c5＋ a52b2 a5＋ b52c2证明 不妨设 0＜ a≤ b≤ c，则 a5≤ b5≤ c5， ≤ ≤ ，1c2 1b2 1a2所以由排序不等式可得a3＋ b3＋ c3＝ ＋ ＋ ≤ ＋ ＋ ，a5a2 b5b2 c5c2 a5c2 b5a2 c5b2a3＋ b3＋ c3＝ ＋ ＋ ≤ ＋ ＋ ，a5a2 b5b2 c5c2 a5b2 b5c2 c5a24所以 a3＋ b3＋ c3≤ ＋ ＋ .b5＋ c52a2 c5＋ a52b2 a5＋ b52c2类型二 利用排序不等式求最值例 3 设 a， b， c 为任意正数，求 ＋ ＋ 的最小值．ab＋ c bc＋ a ca＋ b解 由于 a， b， c 的对称性，不妨设 a≥ b≥ c＞0，则 a＋ b≥ a＋ c≥ b＋ c，≥ ≥ ，1b＋ c 1c＋ a 1a＋ b由排序不等式，得＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ，ab＋ c bc＋ a ca＋ b bb＋ c cc＋ a aa＋ b＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ，ab＋ c bc＋ a ca＋ b cb＋ c ac＋ a ba＋ b上述两式相加，得 2 ≥3，(ab＋ c＋ bc＋ a＋ ca＋ b)即 ＋ ＋ ≥ .ab＋ c bc＋ a ca＋ b 32当且仅当 a＝ b＝ c 时， ＋ ＋ 取最小值 .ab＋ c bc＋ a ca＋ b 32反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值．跟踪训练 3 设 0＜ a≤ b≤ c 且 abc＝1.试求 ＋ ＋ 的最小值．1a3b＋ c 1b3a＋ c 1c3a＋ b解 令 S＝ ＋ ＋ ，1a3b＋ c 1b3a＋ c 1c3a＋ b则 S＝ ＋ ＋abc2a3b＋ c abc2b3a＋ c abc2c3a＋ b＝ ·bc＋ ·ac＋ ·ab.bcab＋ c acba＋ c abca＋ b由已知可得 ≥ ≥ ， ab≤ ac≤ bc.1ab＋ c 1ba＋ c 1ca＋ b∴ S≥ ·ac＋ ·ab＋ ·bcbcab＋ c acba＋ c abca＋ b＝ ＋ ＋ .cab＋ c aba＋ c bca＋ b又 S≥ ·ab＋ ·bc＋ ·acbcab＋ c acba＋ c abca＋ b5＝ ＋ ＋ ，bab＋ c cba＋ c aca＋ b两式相加，得 2S≥ ＋ ＋ ≥3· ＝3.1a 1b 1c 31abc∴ S≥ ，即 ＋ ＋ 的最小值为 .32 1a3b＋ c 1b3a＋ c 1c3a＋ b 321．设 a， b， c 均为正数，且 P＝ a3＋ b3＋ c3， Q＝ a2b＋ b2c＋ c2a，则 P 与 Q 的大小关系是( )A． P＞ QB． P≥ QC． P＜ QD． P≤ Q答案 B解析 不妨设 a≥ b≥ c＞0，则 a2≥ b2≥ c2＞0.由排序不等式，得a2a＋ b2b＋ c2c≥ a2b＋ b2c＋ c2a，当且仅当 a＝ b＝ c 时，等号成立，所以 P≥ Q.2．已知 a1＝2， a2＝7， a3＝8， a4＝9， a5＝12， b1＝3， b2＝4， b3＝6， b4＝10， b5＝11.将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为 c1， c2， c3， c4， c5，则 a1c1＋ a2c2＋…＋ a5c5的最大值是( )A．324 B．314C．304 D．212答案 C解析 a1c1＋ a2c2＋…＋ a5c5≤ a1b1＋ a2b2＋ a3b3＋ a4b4＋ a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.3． n 个正数与这 n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________．答案 n解析 设 0＜ a1≤ a2≤ a3≤…≤ an，则 0＜ a ≤ a ≤…≤ a ，－ 1n － 1n－ － 11则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和．故最小值为反序和a1·a ＋ a2·a ＋…＋ an·a ＝ n.－ 11 － 12 － 1n4．设 a， b 都是正数，求证： 2＋ 2≥ ＋ .(ab) (ba) ab ba证明 由题意不妨设 a≥ b＞0.则 a2≥ b2， ≥ ，所以 ≥ .1b 1a a2b b2a根据排序不等式知， · ＋ ·a2b 1b b2a 1a6≥ · ＋ · ，a2b 1a b2a 1b即 2＋ 2≥ ＋ .(ab) (ba) ab ba1．对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序” ，两种较为简单的是“顺与反” ，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了．2．排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．3．排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即 a1＝ a2＝…＝ an或 b1＝ b2＝ b3＝…＝ bn.4．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．一、选择题1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为 x， y， z，且 x＜ y＜ z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为 a， b， c，且 a＜ b＜ c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A． ax＋ by＋ cz B． az＋ by＋ cxC． ay＋ bz＋ cx D． ay＋ bx＋ cz答案 B解析 根据排序原理，反序和最小，即 az＋ by＋ cx 最小．2．已知 a， b， c＞0，则 a2(a2－ bc)＋ b2(b2－ ac)＋ c2(c2－ ab)的正负情况是( )A．大于零 B．大于零或等于零7C．小于零 D．小于零或等于零答案 B解析 当 a＝ b＝ c＝1 时，a2(a2－ bc)＋ b2(b2－ ac)＋ c2(c2－ ab)＝0，当 a＝1， b＝2， c＝3 时，a2(a2－ bc)＋ b2(b2－ ac)＋ c2(c2－ ab)＝62.3．设 a， b， c 都是正数，则式子 M＝ a5＋ b5＋ c5－ a3bc－ b3ac－ c3ab 与 0 的大小关系是( )A． M≥0B． M≤0C． M 与 0 的大小关系与 a， b， c 的大小有关D．不能确定答案 A解析 不妨设 a≥ b≥ c＞0，则 a3≥ b3≥ c3，且 a4≥ b4≥ c4，则 a5＋ b5＋ c5＝ a·a4＋ b·b4＋ c·c4≥ a·c4＋ b·a4＋ c·b4.∵ a3≥ b3≥ c3，且 ab≥ ac≥ bc，∴ a4b＋ b4c＋ c4a＝ a3·ab＋ b3·bc＋ c3·ca≥ a3bc＋ b3ac＋ c3ab.∴ a5＋ b5＋ c5≥ a3bc＋ b3ac＋ c3ab.∴ M≥0.4．在锐角三角形 ABC 中，设 P＝ ， Q＝ acosC＋ bcosB＋ ccosA，则 P， Q 的大小关系a＋ b＋ c2为( )A． P≥ Q B． P＝ QC． P≤ Q D．不能确定答案 C解析 不妨设 A≥ B≥ C，则 a≥ b≥ c，cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝ acosC＋ bcosB＋ ccosA≥ acosB＋ bcosC＋ ccosA＝ R(2sinAcosB＋2sin BcosC＋2sin CcosA)，Q＝ acosC＋ bcosB＋ ccosA≥ bcosA＋ ccosB＋ acosC8＝ R(2sinBcosA＋2sin CcosB＋2sin AcosC)，上面两式相加，得Q＝ acosC＋ bcosB＋ ccosA≥ R(2sinAcosB＋122sinBcosA＋2sin BcosC＋2sin CcosB＋2sin CcosA＋2sin AcosC)＝ R[sin(A＋ B)＋sin( B＋ C)＋sin( A＋ C)]＝ R(sinC＋sin A＋sin B)＝ P＝ .a＋ b＋ c25．设 a1， a2， a3为正数， E＝ ＋ ＋ ， F＝ a1＋ a2＋ a3，则 E， F 的大小关系是( )a1a2a3 a2a3a1 a3a1a2A． E＜ FB． E≥ FC． E＝ FD． E≤ F答案 B解析 不妨设 a1≥ a2≥ a3＞0，则 ≤ ≤ 且 a2a3≤ a3a1≤ a1a2，1a1 1a2 1a3∴ ＋ ＋ ≥ ·a1a2＋ ·a2a3＋ ·a3a1a1a2a3 a1a3a2 a2a3a1 1a1 1a2 1a3＝ a1＋ a2＋ a3.∴ E≥ F.6．已知 x≥ y， M＝ x4＋ y4， N＝ x3y＋ xy3，则 M 与 N 的大小关系是( )A． M＞ NB． M≥ NC． M＜ ND． M≤ N答案 B解析 ∵ x≥ y，∴ x3≥ y3.∴ M＝ x·x3＋ y·y3≥ x3·y＋ y3·x＝ x3y＋ y3x＝ N.二、填空题7．已知两组数 1,2,3 和 4,5,6，若 c1， c2， c3是 4,5,6 的一个排列，则 1c1＋2 c2＋3 c3的最大值是________，最小值是________．答案 32 28解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为 32，最小值为 28.8．5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min，10min，5min，统筹安排这 5 个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min.答案 84解析 5 个人按接水时间为 4 min,5 min,6 min,8 min，10 min 的顺序进行接水时等待的9总时间最少，为 4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．9．在 Rt△ ABC 中，∠ C 为直角， A， B 所对的边分别为 a， b，则 aA＋ bB 与 (a＋ b)的大小π 4关系为________．答案 aA＋ bB≥ (a＋ b)π 4解析 不妨设 a≥ b＞0，则 A≥ B＞0，由排序不等式Error!⇒2(aA＋ bB)≥ a(A＋ B)＋ b(A＋ B)＝ (a＋ b)，π 2∴ aA＋ bB≥ (a＋ b)．π 410．设 a1， a2，…， an为正数，且 a1＋ a2＋…＋ an＝5，则 ＋ ＋…＋ ＋ 的最小a21a2 a2a3 a2n－ 1an a2na1值为________．答案 5解析 由所求代数式的对称性，不妨设 0＜ a1≤ a2≤…≤ an，所以 a ≤ a ≤…≤ a ，21 2 2n≥ ≥…≥ ，1a1 1a2 1an而 ， ，…， ， 为 ， ， ，…， 的一个排列，由乱序和≥反序和，得1a21a3 1an 1a1 1a11a21a3 1ana · ＋ a · ＋…＋ a · ＋ a · ≥ a · ＋ a · ＋…＋ a · ，即211a2 2 1a3 2n－ 1 1an 2n 1a1 21 1a1 2 1a2 2n 1an＋ ＋…＋ ＋ ≥ a1＋ a2＋…＋ an＝5.a21a2 a2a3 a2n－ 1an a2na1三、解答题11．设 a， b， c∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明： a2ab2bc2c≥ ab＋ cbc＋ aca＋ b.证明 不妨设 a≥ b≥ c＞0，则 lg a≥lg b≥lg c，所以 alg a＋ blg b＋ clg c≥ blg a＋ clg b＋ alg c，alg a＋ blg b＋ clg c≥ clg a＋ alg b＋ blg c，所以 2alg a＋2 blg b＋2 clg c≥( b＋ c)lg a＋( a＋ c)lg b＋( a＋ b)lg c，所以 lg(a2a·b2b·c2c)≥lg( ab＋ c·ba＋ c·ca＋ b)，故 a2ab2bc2c≥ ab＋ cbc＋ aca＋ b.12．设 a1， a2，…， an是 n 个互不相等的正整数，求证：101＋ ＋ ＋…＋ ≤ a1＋ ＋ ＋…＋ .12 13 1n a222 a332 ann2证明 设 b1， b2，…， bn是 a1， a2，…， an的一个排列，且满足 b1＜ b2＜…＜ bn.因为 b1， b2，…， bn是互不相等的正整数，故 b1≥1， b2≥2，…， bn≥ n.又因为 1＞ ＞ ＞…＞ ，122 132 1n2故由排序不等式，得a1＋ ＋ ＋…＋ ≥ b1＋ ＋ ＋…＋a222 a332 ann2 b222 b332 bnn2≥1×1＋2× ＋3× ＋…＋ n·122 132 1n2＝1＋ ＋ ＋…＋ .12 13 1n13．已知 0＜ α ＜ β ＜ γ ＜ ，求证：π 2sinα cosβ ＋sin β cosγ ＋sin γ cosα ＞ (sin2α ＋sin2 β ＋sin2 γ )．12证明 ∵0＜ α ＜ β ＜ γ ＜ ，且 y＝sin x 在 上为增函数， y＝cos x 在 为减函π 2 (0， π 2) (0， π 2)数，∴0＜sin α ＜sin β ＜sin γ ，cos α ＞cos β ＞cos γ ＞0.∴sin α cosβ ＋sin β cosγ ＋sin γ cosα ＞sin α cosα ＋sin β cosβ ＋sin γ cosγ ＝ (sin122α ＋sin2 β ＋sin2 γ )．四、探究与拓展14．设 x， y， z 为正数，求证：x＋ y＋ z≤ ＋ ＋ .x2＋ y22z y2＋ z22x z2＋ x22y证明 由于不等式关于 x， y， z 对称，不妨设 0＜ x≤ y≤ z，于是 x2≤ y2≤ z2， ≤ ≤ ，1z 1y 1x由反序和≤乱序和，得x2· ＋ y2· ＋ z2· ≤ x2· ＋ y2· ＋ z2· ，1x 1y 1z 1z 1x 1yx2· ＋ y2· ＋ z2· ≤ x2· ＋ y2· ＋ z2· ，1x 1y 1z 1y 1z 1x11将上面两式相加得2(x＋ y＋ z)≤ ＋ ＋ ，x2＋ y2z y2＋ z2x z2＋ x2y于是 x＋ y＋ z≤ ＋ ＋ .x2＋ y22z y2＋ z22x z2＋ x22y15．设 x＞0，求证：1＋ x＋ x2＋…＋ x2n≥(2 n＋1) xn.证明 (1)当 x≥1 时，1≤ x≤ x2≤…≤ xn.由排序原理知，1·1＋ x·x＋ x2·x2＋…＋ xn·xn≥ xn·1＋ xn－1 ·x＋…＋1· xn，所以 1＋ x2＋ x4＋…＋ x2n≥( n＋1) xn. ①又因为 x， x2，…， xn,1 为 1， x， x2，…， xn的一个排序，于是由排序原理得1·x＋ x·x2＋…＋ xn－1 ·xn＋ xn·1≥1· xn＋ x·xn－1 ＋…＋ xn－1 ·x＋ xn·1，所以 x＋ x3＋…＋ x2n－1 ≥ nxn. ②①＋②，得1＋ x＋ x2＋…＋ x2n≥(2 n＋1) xn.(2)当 0＜ x＜1 时，1＞ x＞ x2＞…＞ xn，同理可得结论．综合(1)与(2)可知，当 x＞0 时，1＋ x＋ x2＋…＋ x2n≥(2 n＋1) xn.