1、1第 7 练 概 率明晰考情 1.命题角度：概率是高考的必考知识点，古典概型和离散型随机变量的期望、方差是选择题、填空题考查的热点.2.题目难度：中低档难度考点一 随机事件的概率要点重组 (1)对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件(2)若事件 A， B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B)；若事件 A， B 对立，则 P(A)1 P(B)1从 10 个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为 0.2，是不可能事件的概率为 0.3，则这 10 个事件中随机事件的个数是( )A3B4C5D6答案 C解析 这 10 个事件中，必然事件的个数为 100.22，不可能事件
2、的个数为 100.33.而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为 10.故随机事件的个数为 10235.故选 C.2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶答案 D解析 射击两次有四种可能，就是(中，不中)、(不中，中)、(中，中)、(不中，不中)，其中“至少有一次中靶”含有前三种情况，选项 A、B、C 中都有与其重叠的部分，只有选项 D 为其互斥事件，也是对立事件3抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，事件 A 表示“朝上一面的数是奇数” ，事件 B
3、 表示“朝上一面的数不超过 3”，则 P(A B)_.答案 23解析 事件 A B 可以分成事件 C：“朝上一面的数为 1,2,3”与事件 D：“朝上一面的数为 5”这两件事，则事件 C 和事件 D 互斥，故 P(A B) P(C D) P(C) P(D) 36 16 46.2324.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39,32,33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员，他属于至少 2个小组的概率是_，他属于不超过 2 个小组的概率是_答案 35 1315解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况，
4、故他属于至少 2 个小组的概率为P .11 10 7 86 7 8 8 10 10 11 35“不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组” ，其对立事件是“3 个小组” 故他属于不超过 2 个小组的概率是P1 .86 7 8 8 10 10 11 1315考点二 古典概型方法技巧 求解古典概型的概率的两种常用方法(1)直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率(2)间接法：若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件，需要分类太多，而其对立面的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式进行求解，即“正难则反” 它常用来求“至少”或“至多”型事件的概
5、率5(2018全国)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为( )A0.6B0.5C0.4D0.3答案 D解析 设 2 名男同学为 a， b，3 名女同学为 A， B， C，从中选出两人的情形有( a， b)，(a， A)，( a， B)，( a， C)，( b， A)，( b， B)，( b， C)，( A， B)，( A， C)，( B， C)，共 10 种，而都是女同学的情形有( A， B)，( A， C)，( B， C)，共 3 种，故所求概率为 0.3.3106有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5
6、 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )3A. B. C. D.45 35 25 15答案 C解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P .410 25故选 C.7有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是( )A. B. C. D.12 13 14
7、 15答案 C解析 向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种情况，其中向上的图案是鸡鹰的概率为 .故14选 C.8.如图，在平行四边形 ABCD 中， O 是 AC 与 BD 的交点， P， Q， M， N 分别是线段OA， OB， OC， OD 的中点，在 A， P， M， C 中任取一点记为 E，在 B， Q， N， D 中任取一点记为 F，设 G 为满足 的点，则在上述的点 G 组成的集合中的点，落在平行四边形OG OE OF ABCD 外(不含边界)的概率为_答案 34解析 基本事件的总数是 4416，在 中，当 ， ， ， 时，OG OE OF OG OP OQ OG OP ON OG
8、 ON OM OG OM OQ 点 G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点 G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点 G 都在平行四边形外，故所求的概率是 1 .416 34考点三 离散型随机变量的期望和方差要点重组 (1)相互独立事件同时发生的概率P(AB) P(A)P(B)(2)独立重复试验、二项分布4如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为Pn(k)C pk(1 p)n k， k0,1,2， n.kn一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X k)C
9、pkqn k，其中 0p2， E( 1)E( 2)C p1p2， E( 1)E( 2) D p10，3m2 3m 4mn n2 n3m nm n 1 n 3mm n 13m nm n 1 3m n3m n n6m n即有 p1p2.此时， 2的取值为 1,2,3， P( 21) ，C2nC2m nP( 22) ， P( 23) ，C1mC1nC2m n C2mC2m n则 E( 2)1 2 3 3 p2 ，C2nC2m n C1mC1nC2m n C2mC2m n C2n 2C1mC1n 3C2mC2m n n 3mn m则有 E( 1)p2， E( 1)E( 2)故选 A.9在等差数列 an
10、中， a42， a74，现从 an的前 10 项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取 3 次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为_11答案 625解析 由已知可求得通项公式为 an102 n(n1,2,3，)，其中 a1， a2， a3， a4为正数，a50， a6， a7， a8， a9， a10为负数，从中取一个数为正数的概率为 ，为负数的概率410 25为 .取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为 C 2 1 .12 23 (25) (12) 62510(2018浙江省余姚中学模拟)若随机变量 的分布列如表所示，则 E( )_，
11、 D(2 1)_. 1 0 1P a 14 a2答案 14 114解析 由题意可知， a a21，14解得 a (舍去)或 a ， E( )1 0 1 ，32 12 12 14 14 14由方差的性质，得 D(2 1)4 D( )4 .( 114)212 (0 14)214 (1 14)214 11411某央企申请在雄安新区建立分公司若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3 个片区中的一个片区建立分公司，且申请在其中任一个片区建立是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司，若向雄安新区申请建立分公司的有 4 家央企，则恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分
12、公司的概率为_答案 827解析 方法一 依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为 ，去另外两个片区13建立分公司的概率为 ，这 4 家央企恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为23PC 2 2 .24(13)(1 13) 827方法二 所有可能的申请方式有 34种，恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式有 C 22种，从而恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为 P .24C242234 82712(2018浙江省“七彩阳光”联盟联考)某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的12游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为 ， (这个游
13、戏1213 14的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响)，则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为_，设 X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量 X 的期望为_答案 14 1312解析 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.又 P(X2) .(112) 13 14 12 (1 13) 14 12 13 (1 14) 14P(X0) ，(112) (1 13) (1 14) 14P(X1) ，12 (1 13) (1 14) (1 12) 13 (1 14) (1 12) (1 13) 14 1124P(X3) .12 13 14 124所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 14 1124 14 124随机变量 X 的期望 E(X)0 1 2 3 .14 1124 14 124 1312
