2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程学案（打包6套）新人教A版选修4-4.zip

1第 1 课时 参数方程的概念及圆的参数方程学习目标 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题．知识点一 参数方程的概念思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标( x， y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？答案 可以引入参数，作为 x， y 联系的桥梁．梳理 参数方程的概念(1)参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y 都是某个变数 t(θ ， φ ，…)的函数Error! ①并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M(x， y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程， t 叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程．(2)参数的意义参数是联系变数 x， y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化．知识点二 圆的参数方程思考 如图，角 θ 的终边与单位圆交于一点 P， P 的坐标如何表示？答案 P(cosθ ，sin θ )，由任意角的三角函数的定义即 x＝cos θ ， y＝sin θ .梳理 圆的参数方程2圆心和半径 圆的普通方程 圆的参数方程圆心 O(0,0)，半径rx2＋ y2＝ r2 Error!(θ 为参数)圆心 C(a， b)，半径r(x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2 Error!(θ 为参数)类型一 参数方程及应用例 1 已知曲线 C 的参数方程是Error!( t 为参数)．(1)判断点 M1(0,1)， M2(5,4)与曲线 C 的位置关系；(2)已知点 M3(6， a)在曲线 C 上，求 a 的值．解 (1)把点 M1的坐标(0,1)代入方程组，得Error! 解得 t＝0.∴点 M1在曲线 C 上．同理可知，点 M2不在曲线 C 上．(2)∵点 M3(6， a)在曲线 C 上，∴Error! 解得 t＝2， a＝9.∴ a＝9.反思与感悟 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的．跟踪训练 1 在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程是Error!( θ 为参数)．(1)求曲线 C 上的点 Q(－ ，－3)对应的参数 θ 的值；3(2)若点 P(m，－1)在曲线 C 上，求 m 的值．解 (1)把点 Q 的坐标(－ ，－3)代入参数方程，3得Error! 即Error!解得 θ ＝ ＋2 kπ( k∈Z)，故曲线上的点 Q 对应的参数 θ 的值是 ＋2 kπ( k∈Z)．7π6 7π6(2)把点 P 的坐标( m，－1)代入参数方程，得Error!解得 sinθ ＝ ，故 cosθ ＝± ，即 m＝± ，12 32 3即所求 m 的值是± .3类型二 求曲线的参数方程例 2 如图，△ ABP 是等腰直角三角形，∠ B 是直角，腰长为 a，顶点 B， A 分别在 x 轴、 y3轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程．解 方法一 设点 P(x， y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q.如图所示，则Rt△ OAB≌Rt△ QBP.取 OB＝ t， t 为参数(0 ta)．∵| OA|＝ ，a2－ t2∴| BQ|＝ .a2－ t2又∵| PQ|＝| OB|＝ t，∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为Error!(0ta)．方法二 设点 P(x， y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．取∠ QBP＝ θ ， θ 为参数 ，(0θ π 2)则∠ ABO＝ － θ ，π 2在 Rt△ OAB 中，| OB|＝ acos ＝ asinθ .(π 2－ θ )在 Rt△ QBP 中，| BQ|＝ acosθ ，| PQ|＝ asinθ .∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为Error!(θ 为参数，0 θ )．π 2反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设 M(x， y)是轨迹上任意一点的坐标．(2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点①曲线上每一点的坐标 x， y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；4② x， y 的值可以由参数惟一确定．(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．跟踪训练 2 长为 3 的线段两端点 A， B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上滑动， ＝3 ，AB→ AP→ 点 P 的轨迹为曲线 C.(1)以直线 AB 的倾斜角 α 为参数，求曲线 C 的参数方程；(2)求点 P 到点 D(0，－2)距离的最大值．解 (1)设 P(x， y)，由题意，得x＝ |AB|cos(π－ α )＝－2cos α ，23y＝ |AB|sin(π－ α )＝sin α .13所以曲线 C 的参数方程为Error!(α 为参数， α π)π 2(2)由(1)得| PD|2＝(－2cos α )2＋(sin α ＋2) 2＝4cos 2α ＋sin 2α ＋4sin α ＋4＝－3sin 2α ＋4sin α ＋8＝－3 2＋ .(sinα －23) 283当 sinα ＝ 时，| PD|取得最大值 .23 2213类型三 圆的参数方程及应用例 3 如图，圆 O 的半径为 2， P 是圆 O 上的动点， Q(4,0)在 x 轴上． M 是 PQ 的中点，当点P 绕 O 作匀速圆周运动时，(1)求点 M 的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形；(2)若( x， y)是 M 轨迹上的点，求 x＋2 y 的取值范围．解 (1)设点 M(x， y)，令∠ xOP＝ θ ，则圆 O 的参数方程为Error!( θ 为参数)，∴点 P 的坐标为(2cos θ ，2sin θ )．又 Q(4,0)，5∴ x＝ ＝cos θ ＋2，2cosθ ＋ 42y＝ ＝sin θ .2sinθ ＋ 02∴点 M 的轨迹的参数方程为Error!( θ 为参数)．由参数方程知，点 M 的轨迹是以(2,0)为圆心，1 为半径的圆．(2)x＋2 y＝cos θ ＋2＋2sin θ ＝ sin(θ ＋ φ )＋2，tan φ ＝ .512∵－1≤sin( θ ＋ φ )≤1，∴－ ＋2≤ x＋2 y≤ ＋2.5 5即 x＋2 y 的取值范围是[－ ＋2， ＋2]．5 5反思与感悟 (1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数．(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．跟踪训练 3 已知实数 x， y 满足( x－1) 2＋( y－1) 2＝9，求 x2＋ y2的最大值和最小值．解 由已知，可把点( x， y)视为圆( x－1) 2＋( y－1) 2＝9 上的点，设Error!( θ 为参数)．则 x2＋ y2＝(1＋3cos θ )2＋(1＋3sin θ )2＝11＋6(sin θ ＋cos θ )＝11＋6 sin .2 (θ ＋π 4)∵－1≤sin ≤1，(θ ＋π 4)∴11－6 ≤ x2＋ y2≤11＋6 .2 2∴ x2＋ y2的最大值为 11＋6 ，最小值为 11－6 .2 21．下列方程：①Error! (m 为参数)；②Error!( m， n 为参数)；③Error! ④ x＋ y＝0 中，参数方程的个数为( )A．1B．2C．3D．4答案 A2．曲线Error!( θ 为参数)围成图形的面积等于( )A．πB．2πC．3πD．4π答案 D3．圆 C：Error!( θ 为参数)的圆心坐标为________，和圆 C 关于直线 x－ y＝0 对称的圆 C′的普通方程是________________________________________________________．6答案 (3，－2) ( x＋2) 2＋( y－3) 2＝16(或 x2＋ y2＋4 x－6 y－3＝0)解析 将参数方程化为标准方程，得(x－3) 2＋( y＋2) 2＝16，故圆心坐标为(3，－2)．点 P(3，－2)关于直线 y＝ x 的对称点为 P′(－2,3)，则圆 C 关于直线 y＝ x 对称的圆 C′的普通方程为(x＋2) 2＋( y－3) 2＝16(或 x2＋ y2＋4 x－6 y－3＝0)．4．已知Error!( t 为参数)，若 y＝1，则 x＝________.答案 0 或 2解析 ∵ y＝ t2＝1，∴ t＝±1.∴ x＝1＋1＝2 或 x＝－1＋1＝0.5．若 P(2，－1)为圆 O′：Error!(0≤ θ 2π)的弦的中点，则该弦所在直线 l 的方程为________．答案 x－ y－3＝0解析 圆心 O′(1,0)，∴ kO′ P＝－1，即直线 l 的斜率为 1.∴直线 l 的方程为 x－ y－3＝0.1．参数方程(1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标 x， y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用．(2)参数方程是通过变数反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系．2．求曲线参数方程的步骤第一步，建系，设 M(x， y)是轨迹上任意一点；第二步，选参数，比如选参数 t；第三步，建立 x， y 与参数间的关系，即Error!一、选择题1．若点 P(4， a)在曲线Error!( t 为参数)上，则 a 等于( )A．4B．4 C．8D．12答案 B解析 根据题意，将点 P 的坐标代入曲线方程中，得Error!⇒Error!2．下列的点在曲线Error!( θ 为参数)上的是( )7A. B.(12， － 2) (－ 34， 12)C．(－2， ) D．(1， )3 3答案 B解析 由参数方程Error!得 y2＝1＋ x，只有 B 项中的点符合上式．3．已知 O 为原点，参数方程Error!( θ 为参数)上的任意一点为 A，则| OA|等于( )A．1B．2C．3D．4答案 A解析 | OA|＝ ＝ ＝1，故选 A.x2＋ y2 cos2θ ＋ sin2θ4．参数方程Error!( t 为参数)表示的曲线是( )A．两条直线 B．一条射线C．两条射线 D．双曲线答案 C解析 当 t＞0 时，Error!是一条射线；当 t＜0 时，Error!也是一条射线，故选 C.5．圆心为点(－1,2)，半径为 5 的圆的参数方程为( )A.Error!(0≤ θ 2π)B.Error!(0≤ θ 2π)C.Error!(0≤ θ π)D.Error!(0≤ θ 2π)答案 D解析 圆心为点 C(a， b)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!( θ ∈[0,2π))．故圆心为点(－1,2)，半径为 5 的圆的参数方程为Error!(0≤ θ 2π)．6．设曲线 C 的参数方程为Error!( θ 为参数)，直线 l 的方程为 x－3 y＋2＝0，则曲线 C 上到直线 l 的距离为 的点的个数为( )71010A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 由Error!得( x－2) 2＋( y＋1) 2＝9.曲线 C 表示以点(2，－1)为圆心，以 3 为半径的圆，则圆心 C(2，－1)到直线 l 的距离 d＝ ＝ 3，710 710108所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与 l 平行的直线与圆的 2 个交点满足题意，又3－ d ，故满足题意的点有 2 个．71010二、填空题7．若点(－3，－3 )在曲线Error! (θ 为参数)上，则 θ ＝________________.3答案 ＋2 kπ， k∈Z4π3解析 将点(－3，－3 )代入参数方程Error! (θ 为参数 )，得Error!解得3θ ＝ ＋2 kπ， k∈Z.4π38．已知圆 C 的参数方程为Error!( α 为参数)，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρ sinθ ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．答案 (－1,1)，(1,1)解析 由圆 C 的参数方程为Error!可求得其在直角坐标系下的方程为 x2＋( y－1) 2＝1，由直线 l 的极坐标方程 ρ sinθ ＝1，可求得其在直角坐标系下的方程为 y＝1，由Error!可解得Error!所以直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：Error!( θ 为参数)和直线 l：3 x＋4 y－10＝0，则直线 l 与圆 C 相交所得的弦长等于________．答案 4 6解析 由圆 C 的参数方程Error!( θ 为参数)，可得圆 C 的圆心为(－1,2)，半径为 5，又直线 l 的方程为 3x＋4 y－10＝0，∴圆心到直线 l 的距离 d＝ ＝1，|－ 3＋ 8－ 10|5∴直线 l 与圆 C 相交所得的弦长为 2 ＝4 .52－ 1 610．若 x， y 满足( x－1) 2＋( y＋2) 2＝4，则 2x＋ y 的最小值为________．答案 －2 5解析 令 x－1＝2cos θ ， y＋2＝2sin θ ，则有 x＝2cos θ ＋1， y＝2sin θ －2，故 2x＋ y＝4cos θ ＋2＋2sin θ －2＝4cos θ ＋2sin θ＝2 sin(θ ＋ φ )，tan φ ＝2.5∴－2 ≤2 x＋ y≤2 .5 5即 2x＋ y 的最小值为－2 .5三、解答题11．已知直线 y＝ x 与曲线Error!( α 为参数)相交于两点 A 和 B，求弦长| AB|.9解 由Error! 得Error!∴( x－1) 2＋( y－2) 2＝4，其圆心为(1,2)，半径 r＝2，则圆心(1,2)到直线 y＝ x 的距离d＝ ＝ .|1－ 2|12＋ － 12 22∴| AB|＝2 ＝2 ＝ .r2－ d222－ (22)2 1412．已知曲线 C：Error!( θ 为参数)，如果曲线 C 与直线 x＋ y＋ a＝0 有公共点，求实数 a的取值范围．解 ∵Error! ∴ x2＋( y＋1) 2＝1.∵圆与直线有公共点，则 d＝ ≤1，|0－ 1＋ a|2解得 1－ ≤ a≤1＋ .2 2即实数 a 的取值范围是[1－ ，1＋ ]．2 213.如图所示， OA 是圆 C 的直径，且| OA|＝2 a，射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线交于 B 点，作 PQ⊥ OA， PB∥ OA，试求 P 点的轨迹方程．解 设点 P(x， y)是轨迹上任意一点，取∠ DOQ＝ θ ，由 PQ⊥ OA， PB∥ OA，得x＝ OD＝| OQ|cosθ ＝| OA|cos2θ ＝2 acos2θ ，y＝ AB＝| OA|tanθ ＝2 atanθ .所以 P 点的轨迹的参数方程为Error!θ ∈ .(－π 2， π 2)四、探究与拓展14．设 Q(x1， y1)是单位圆 x2＋ y2＝1 上一个动点，则动点 P(x － y ， x1y1)的轨迹的参数方21 21程是________．答案 Error!解析 设 x1＝cos θ ， y1＝sin θ ， P(x， y)．则Error! 即Error!为所求．1015．在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 ρ ＝2cos θ ， θ ∈ .[0，π 2](1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在曲线 C 上，曲线 C 在 D 处的切线与直线 l： y＝ x＋2 垂直，根据(1)中你得到3的参数方程，确定 D 的坐标．解 (1)半圆 C 的普通方程为( x－1) 2＋ y2＝1(0≤ y≤1)．可得半圆 C 的参数方程为Error!( t 为参数，0≤ t≤π)．(2)设 D(1＋cos t，sin t)．由(1)知曲线 C 是以 C(1,0)为圆心，1 为半径的上半圆．因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 CD 与 l 的斜率相同，tan t＝ ， t＝ .3π 3故 D 的直角坐标为 ，即 .(1＋ cosπ 3， sinπ 3) (32， 32)1第 2 课时 参数方程和普通方程的互化学习目标 1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．知识点 参数方程和普通方程的互化思考 1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？答案 用普通方程比较方便．思考 2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案 关键是消参数．梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；②如果知道变数 x， y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝ f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝ g(t)，那么Error!就是曲线的参数方程．(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出参数 t，然后代入消去参数；②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．特别提醒：化参数方程为普通方程 F(x， y)＝0，在消参过程中注意变量 x， y 的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定 f(t)和 g(t)的值域得 x， y 的取值范围.类型一 参数方程化为普通方程例 1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状．(1)Error!(t 为参数)；(2)Error!( θ 为参数)；(3)Error!( t≠－1， t 为参数)．解 (1)由 x＝ ＋1≥1，得 ＝ x－1，代入 y＝1－2 ，t t t得 y＝－2 x＋3( x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．(2)由Error! 得Error!① 2＋② 2，得 ＋ ＝1，这是椭圆．x225 y＋ 12162(3)方法一 x＋ y＝ ＋ ＝ ＝1，1－ t1＋ t 2t1＋ t 1＋ t1＋ t又 x＝ ＝ －1，故 x≠－1，1－ t1＋ t 21＋ ty＝ ＝ ＝2－ ，故 y≠2，2t1＋ t 21＋ t－ 21＋ t 21＋ t所以所求的方程为 x＋ y＝1( x≠－1， y≠2)．方程表示直线(去掉一点(－1,2))．方法二 由 x＝ ，所以 x＋ xt＝1－ t，1－ t1＋ t所以( x＋1) t＝1－ x，即 t＝ ，代入 y 中得，1－ x1＋ xy＝ ＝ ＝ ＝1－ x，2t1＋ t2×1－ x1＋ x1＋ 1－ x1＋ x 21－ x1＋ x＋ 1－ x所以 x＋ y＝1( x≠－1， y≠2)．方程表示直线(去掉一点(－1,2))．反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数．(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法．(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式 sin2θ ＋cos 2θ ＝1 消去参数 θ .跟踪训练 1 将下列参数方程化为普通方程：(1)Error!(t 为参数)；(2)Error!(θ 为参数)．解 (1)∵ x＝ t＋ ，∴ x2＝ t2＋ ＋2，1t 1t2把 y＝ t2＋ 代入得 x2＝ y＋2.1t2又∵当 t0 时， x＝ t＋ ≥2，当且仅当 t＝1 时等号成立；当 t0，则点 P 的轨迹是( )π 4A．直线 x＋2 y＝3B．以(3,0)为端点的射线C．圆( x－1) 2＋ y2＝1D．以(1,1)，(3,0)为端点的线段答案 D2．将参数方程Error!( θ 为参数)化成普通方程为( )A． y＝ x－2 B． y＝ x＋2C． y＝ x－2(2≤ x≤3) D． y＝ x＋2(0≤ y≤1)答案 C解析 由 x＝2＋sin 2θ ，得 sin2θ ＝ x－2，代入 y＝sin 2θ ，∴ y＝ x－2.又 sin2θ ＝ x－2∈[0,1]，∴ x∈[2,3]．3．参数方程Error!( θ 为参数)表示的曲线的普通方程是_____________________．答案 y2＝ x＋1(－1≤ x≤1)4．将参数方程Error!( t 为参数)化成普通方程为____________________．答案 x2－ y＝2( y≥2)解析 由 x＝ t＋ ，得 x2＝ t2＋ ＋2，1t 1t2又 y＝ t2＋ ，∴ x2＝ y＋2.∵ t2＋ ≥2，∴ y≥2.1t2 1t25．参数方程Error!( φ 为参数)表示的图形是________．6答案 圆解析 x2＋ y2＝(3cos φ ＋4sin φ )2＋(4cos φ －3sin φ )2＝25，表示圆．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点 M 的坐标( x， y)和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．一、选择题1．曲线Error!( θ 为参数)的方程等价于( )A． x＝ B． y＝1－ y2 1－ x2C． y＝± D． x2＋ y2＝11－ x2答案 A2．已知直线 l：Error!( t 为参数)与圆 C：Error!( θ 为参数)，则直线 l 的倾斜角及圆心 C的直角坐标分别为( )A. ，(1,0) B. ，(－1,0)π 4 π 4C. ，(1,0) D. ，(－1,0)3π4 3π4答案 C3．参数方程Error!( θ 为参数)化为普通方程是( )A．2 x－ y＋4＝0B．2 x＋ y－4＝0C．2 x－ y＋4＝0， x∈[2,3]7D．2 x＋ y－4＝0， x∈[2,3]答案 D解析 由条件可得 cos2θ ＝ y＋1＝1－2sin 2θ ＝1－2( x－2)，化简可得2x＋ y－4＝0， x∈[2,3]．4．过原点作倾斜角为 θ 的直线与圆Error!( α 为参数)相切，则 θ 等于( )A. B.π 6 5π6C. 或 D.π 6 5π6 π 3答案 C解析 直线为 y＝ xtanθ ，圆为( x－4) 2＋ y2＝4，直线与圆相切时，易知tanθ ＝± ，∴ θ ＝ 或 .33 π 6 5π65．下列参数方程中，与普通方程 y2＝ x 表示同一曲线的是( )A.Error!(t 为参数) B.Error!(t 为参数)C.Error!(t 为参数) D.Error!(t 为参数)答案 D解析 由参数方程Error!消去参数 t，可得 y2＝ x.又参数方程Error!满足 x≥0， y∈R，故选 D.二、填空题6．设 y＝ tx(t 为参数)，则圆 x2＋ y2－4 y＝0 的参数方程是____________________．答案 Error! (t 为参数)解析 把 y＝ tx 代入 x2＋ y2－4 y＝0，得 x＝ 或 x＝0，4t1＋ t2当 x＝0 时， y＝0，当 x＝ 时， y＝ ，4t1＋ t2 4t21＋ t2又Error! 适合参数方程Error!∴参数方程为Error!( t 为参数)．7．若曲线的参数方程为Error!( k 为参数)，则其普通方程为________________．答案 4 x2＋ y2－ y＝0(00 时， x∈[ a，＋∞)， t0， b0)．x2a2 y2b2所以方程表示焦点在 x 轴上的双曲线．12．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( α 为参数， r 为常数， r0)以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρ cos ＋2＝0.若直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且| AB|＝2 ，求 r 的值．2 (θ ＋π 4) 2解 由 ρ cos ＋2＝ 0，2 (θ ＋π 4)得 ρ cosθ － ρ sinθ ＋2＝0，即直线 l 的方程为 x－ y＋2＝0.由Error! 得曲线 C 的普通方程为 x2＋ y2＝ r2，圆心坐标为(0,0)，所以，圆心到直线的距离 d＝ ，2由| AB|＝2 ＝2 ，得 r＝2.r2－ d2 213．已知曲线 C1的参数方程为Error!( θ 为参数)，曲线 C2的极坐标方程为ρ ＝2cos θ ＋6sin θ .(1)将曲线 C1的参数方程化为普通方程，将曲线 C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线 C1， C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解 (1)由Error!( θ 为参数)，得( x＋2) 2＋ y2＝10，∴曲线 C1的普通方程为( x＋2) 2＋ y2＝10.∵ ρ ＝2cos θ ＋6sin θ ，∴ ρ 2＝2 ρ cosθ ＋6 ρ sinθ ，10∴ x2＋ y2＝2 x＋6 y，即( x－1) 2＋( y－3) 2＝10，∴曲线 C2的直角坐标方程为( x－1) 2＋( y－3) 2＝10.(2)∵圆 C1的圆心为 C1(－2,0)，圆 C2的圆心为 C2(1,3)，∴| C1C2|＝ ＝3 2 ，－ 2－ 12＋ 0－ 32 2 10∴两圆相交．设公共弦的长为 d，∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段 C1C2，∴ 2＋ 2＝( )2，解得 d＝ ，(d2) (322) 10 22∴公共弦长为 .22四、探究与拓展14．在极坐标系中，圆 C1的方程为 ρ ＝4 cos ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴2 (θ －π 4)的正半轴建立平面直角坐标系，圆 C2的参数方程为Error!( θ 为参数)，若圆 C1与 C2相切，则实数 a＝________.答案 ± 或±52 2解析 圆 C1的直角坐标方程为 x2＋ y2＝4 x＋4 y，其标准方程为( x－2) 2＋( y－2) 2＝8，圆心坐标为(2,2)，半径长为 2 .圆 C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为| a|，由于圆 C1与圆2C2相切，则| C1C2|＝2 ＋| a|＝3 或| C1C2|＝| a|－2 ＝3 ⇒a＝± 或 a＝±5 .2 2 2 2 2 215．在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)．以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝2sin θ .(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)若 P(x， y)在直线 l 上，且在曲线 C 内，求 x－ y 的取值范围；(3)若 Q(x， y)在曲线 C 上，求 Q 到直线 l 的最大距离 dmax.解 (1)因为 ρ ＝2sin θ ，所以 ρ 2＝2 ρ sinθ ，所以 x2＋ y2＝2 y，即 x2＋( y－1) 2＝1，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋( y－1) 2＝1.(2)因为 x－ y＝ t－ ＝－ t－1，35 (1＋ 45t) 15又－1 t1，所以－ － t ，15 15 1511所以－ － t－1－ ，65 15 45即 x－ y 的取值范围是 .(－65， － 45)(3)曲线 C 的参数方程为Error!( θ 为参数)，直线 l 的普通方程为 4x－3 y＋3＝0，d＝ ＝|sin( θ － φ )|，tan φ ＝ ，所以 dmax＝1.|4cos θ － 3sin θ |5 431三 直线的参数方程学习目标 1.理解并掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题．知识点 直线的参数方程思考 1 如图，直线 l 过定点 M0(x0， y0)且倾斜角为 α ，那么直线的点斜式方程是什么？(α ≠π 2)答案 y－ y0＝tan α (x－ x0)．思考 2 在思考 1 中，若令 x－ x0＝ tcosα (t 为参数)，那么直线 l 的参数方程是什么？答案 Error! (t 为参数)．梳理 (1)直线的参数方程①过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)；②由 α 为直线的倾斜角知，当 00.(2)直线参数方程中参数 t 的几何意义参数 t 的绝对值表示 t 对应的点 M 到 M0的距离．①当 与 e(直线的单位方向向量)同向时， t 取正数；M0M― ― → ②当 与 e 反向时， t 取负数，当 M 与 M0重合时， t＝0.M0M― ― → (3)重要公式：设 A， B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA， tB，则|AB|＝| tB－ tA|＝ .tB＋ tA2－ 4tA·tB类型一 直线的参数方程与普通方程的互化例 1 (1)化直线 l1的普通方程 x＋ y－1＝0 为参数方程，并说明| t|的几何意义；3(2)化直线 l2的参数方程Error!( t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明| t|的几何意义．2解 (1)直线 l1与 x 轴交于点 M0(1,0)，又 k＝tan α ＝－ ，33∴cos α ＝－ ，sin α ＝ ，32 12∴直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)．|t|表示 t 对应的点 M(x， y)到 M0的距离．(2)方程组变形为Error!①代入②消去参数 t，得直线的点斜式方程 y－1＝ (x＋3)，可得 k＝tan α ＝ ，倾斜角 α ＝ ，普通方程为3 3π 3x－ y＋3 ＋1＝0.3 3又∵①②两式平方相加，得( x＋3) 2＋( y－1) 2＝4 t2，∴| t|＝ ，| t|是定点 M1(－3,1)到 t 对应的点 M(x， y)的有向线段x＋ 32＋ y－ 122的长的一半．M1M― ― → 反思与感悟 (1)一条直线可以由定点 M0(x0， y0)，倾斜角 α (0≤ α 0，3π4 0，3π4 θ 5π4)可得曲线 C 的直角坐标方程为 x2－ y2＝4( x0)．联立Error! 解得交点坐标为(－2,0)，所以交点的极坐标为(2，π)．10．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ 2－4 ρ cosθ ＋3＝0，则圆心 C到直线 l 的距离为__________．答案 522解析 易得直线 l 的普通方程为 x－ y＋3＝0，圆 C 的直角坐标方程为 x2＋ y2－4 x＋3＝0，即( x－2) 2＋ y2＝1，所以圆心到直线的距离 d＝ ＝ .|2＋ 3|12＋ － 12 522三、解答题11．已知直线 l 过点 A(－2,3)，倾斜角为 135°，求直线 l 的参数方程，并且求直线上与点11A 距离为 3 的点的坐标．2解 直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，即Error! (t 为参数)．①设直线上与点 A 距离为 3 的点为 B，且点 B 对应的参数为 t，则| AB|＝| t|＝3 .2 2所以 t＝±3 .2把 t＝±3 代入①，2得当 t＝3 时，点 B 在点 A 的上方，点 B 的坐标为(－5，6)；2当 t＝－3 时，点 B 在点 A 的下方，点 B 的坐标为(1,0)．212．已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( θ 为参数)，直线 l 经过定点 P(3,5)，倾斜角为 .π 3(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求| PA|·|PB|的值．解 (1)曲线 C：( x－1) 2＋( y－2) 2＝16，直线 l：Error!( t 为参数)．(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程，可得t2＋(2＋3 )t－3＝0，3设 t1， t2是方程的两个根，则 t1t2＝－3，所以| PA||PB|＝| t1||t2|＝| t1t2|＝3.13．在极坐标系中，已知圆心 C ，半径 r＝1.(3，π 6)(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线Error!( t 为参数)与圆交于 A， B 两点，求弦 AB 的长．解 (1)由已知得圆心 C ，半径为 1，圆的方程为 2＋ 2＝1，(332， 32) (x－ 332) (y－ 32)即 x2＋ y2－3 x－3 y＋8＝0.3(2)由Error! (t 为参数)，得直线的直角坐标方程为 x－ y＋1＝0，3圆心到直线的距离 d＝ ＝ ，|332－ 332＋ 1|2 12所以 2＋ d2＝1，解得| AB|＝ .(|AB|2 ) 3四、探究与拓展14．设直线的参数方程为Error!( t 为参数)，点 P 在直线上，且与点 M0(－4,0)的距离为 ，2若将该直线的参数方程改写成Error!( t 为参数)，则在这个方程中点 P 对应的 t 值为12________．答案 ±1解析 由| PM0|＝ 知， t＝± ，将其代入Error!得点 P 的坐标为(－3,1)或(－5，－1)，2 2将点 P 的坐标代入Error!得 t＝1 或 t＝－1.15．在极坐标系中，曲线 F 的极坐标方程为 ρ ＝ .以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴4cosθsin2θ建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线 l1， l2均过点 F(1,0)，且 l1⊥ l2，直线 l1的倾斜角为 α .(1)写出曲线 F 的直角坐标方程和 l1， l2的参数方程；(2)设直线 l1和 l2分别与曲线 F 交于点 A， B 和 C， D，线段 AB， CD 的中点分别为 M， N，求|MN|的最小值．解 (1) F： y2＝4 x， l1：Error!( t 为参数)，l2：Error! (t 为参数)．(2)将 l1：Error!代入 y2＝4 x，得 t2sin2α －4 tcosα －4＝0，①则 tM＝ ＝ .tA＋ tB2 2cosαsin2α将 l2：Error! 代入 y2＝4 x，得 t2cos2α ＋4 tsinα －4＝0，②则 tN＝ ＝－ ，tC＋ tD2 2sinαcos2α于是| MN|＝ ＝|FM|2＋ |FN|2 t2M＋ t2N＝2 ≥ ＝ ≥4 ，cos2αsin4α ＋ sin2αcos4α 22|sinα cosα | 42|sin2α | 2因为 α ∈[0，π)，所以当且仅当 α ＝ 时，等号成立．π 4且此时满足方程①②的判别式均大于零，故| MN|的最小值为 4 .21二 圆锥曲线的参数方程学习目标 1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．知识点一 椭圆的参数方程思考 1 圆 x2＋ y2＝ r2的参数方程Error!的参数 θ 的几何意义是什么？答案 是点( rcosθ ， rsinθ )绕点 O逆时针旋转的旋转角．思考 2 对于椭圆 ＋ ＝1( ab0)，若令 x＝ acosφ (φ 为参数)，那么椭圆 ＋ ＝1 的x2a2 y2b2 x2a2 y2b2参数方程是什么？答案 Error! (φ 为参数)．梳理 (1)椭圆的参数方程普通方程 参数方程＋ ＝1( ab0)x2a2 y2b2Error!(φ 为参数)(2)φ 是点 M(acosφ ， bsinφ )的离心角．知识点二 双曲线的参数方程思考 1 化简 2－tan 2φ ，它的值等于什么？(1cosφ )答案 2－tan 2φ ＝1.(1cosφ )思考 2 令 y＝ btanφ (φ 为参数)，写出 － ＝1( a0， b0)的参数方程．x2a2 y2b2答案 Error! (φ 为参数)．梳理 令 ＝sec φ .1cosφ双曲线的参数方程普通方程 参数方程－ ＝1( a0， b0)x2a2 y2b2Error!(φ 为参数)2知识点三 抛物线的参数方程1．抛物线的参数方程普通方程 参数方程y2＝2 px Error!(α 为参数)y2＝2 px Error!(t为参数)2.参数的几何意义(1)α 表示 OM的倾斜角．(2)t＝ .当 t＝0 时，Error!表示原点.1tanα类型一 椭圆的参数方程命题角度 1 利用参数方程求最值例 1 已知实数 x， y满足 ＋ ＝1，求目标函数 z＝ x－2 y的最大值与最小值．x225 y216解 椭圆 ＋ ＝1 的参数方程为Error!( φ 为参数)，x225 y216代入目标函数，得 z＝5cos φ －8sin φ ＝ cos(φ ＋ φ 0)52＋ 82＝ cos(φ ＋ φ 0)(tanφ 0＝ )．8985所以目标函数 zmin＝－ ， zmax＝ .89 89反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．跟踪训练 1 已知曲线 C1的参数方程是Error!( φ 为参数)，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 ρ ＝2，正方形 ABCD的顶点都在 C2上，且A， B， C， D依逆时针次序排序，点 A的极坐标为 .(2，π3)(1)求点 A， B， C， D的直角坐标；(2)求曲线 C1的普通方程，判断曲线形状；3(3)设点 P为 C1上任意一点，求| PA|2＋| PB|2＋| PC|2＋| PD|2的取值范围．解 (1)由曲线 C2的极坐标方程 ρ ＝2 可知，曲线 C2是圆心在极点，半径为 2的圆，正方形 ABCD的顶点都在 C2上，且 A， B， C， D依逆时针次序排列，点 A的极坐标为 .(2，π3)故 B ，(2，5π6)由对称性，得直角坐标分别为 A(1， )， B(－ ，1)， C(－1，－ )， D( ，－1)．3 3 3 3(2)由曲线 C1的参数方程，得Error!两式平方相加，得 ＋ ＝1.x24 y29所以曲线是焦点在 y轴上的椭圆．(3)由点 P为曲线 C1：Error!上任意一点，得 P(2cosφ ，3sin φ )，则| PA|2＋| PB|2＋| PC|2＋| PD|2＝(2cos φ －1) 2＋(3sin φ － )2＋(2cos φ ＋ )2＋(3sin φ －1) 2＋(2cos φ ＋1)3 32＋(3sin φ ＋ )2＋(2cos φ － )2＋(3sin φ ＋1) 23 3＝16cos 2φ ＋36sin 2φ ＋16＝32＋20sin 2φ ，因为 32≤32＋20sin 2φ ≤52，所以| PA|2＋| PB|2＋| PC|2＋| PD|2的取值范围是[32,52]．命题角度 2 利用参数方程求轨迹方程例 2 已知 A， B分别是椭圆 ＋ ＝1 的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△x236 y29ABC的重心 G的轨迹方程．解 由题意知 A(6,0)， B(0,3)．由于动点 C在椭圆上运动，故可设动点 C的坐标为(6cosθ ，3sin θ )，点 G的坐标设为( x， y)，由三角形重心的坐标公式，可得Error!即 Error!消去参数 θ ，得 ＋( y－1) 2＝1.x－ 224反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．跟踪训练 2 已知点 A在椭圆 ＋ ＝1 上运动，点 B(0,9)，点 M在线段 AB上，且 ＝x2144 y236 |AM||MB|，试求动点 M的轨迹方程．12解 由题意知 B(0,9)，设 A(12cosα ，6sin α )， M(x， y)，4则 x＝ ＝8cos α ，12cosα ＋ 12×01＋ 12y＝ ＝4sin α ＋3，6sinα ＋ 12×91＋ 12∴动点 M的轨迹的参数方程是Error!( α 是参数)，消去参数 α ，得 ＋ ＝1.x264 y－ 3216类型二 双曲线的参数方程例 3 已知等轴双曲线 C的实轴长为 2，焦点在 x轴上．(1)求双曲线的普通方程和参数方程；(2)已知点 P(0,1)，点 Q在双曲线 C上，求| PQ|的最小值．解 (1)设等轴双曲线 C的普通方程为 x2－ y2＝ a2(a0)，依题意，得 2a＝2，所以 a＝1，所以 x2－ y2＝1，化为参数方程为Error!(φ 为参数)．(2)因为点 P(0,1)， Q在双曲线 C上，设 Q(secφ ，tan φ )，则| PQ|＝ sec2φ ＋ 1－ tanφ 2＝ sec2φ ＋ tan2φ － 2tanφ ＋ 1＝ 2tan2φ － 2tanφ ＋ 2＝ ≥ ＝ .2(tanφ － 12)2＋ 32 32 62当且仅当 tanφ ＝ 时，| PQ|min＝ .12 62反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin2φ ＋cos 2φ ＝1⇒1＋tan 2φ ＝ ＝sec 2φ ⇒sec2φ －tan 2φ ＝1.1cos2φ跟踪训练 3 设 P为等轴双曲线 x2－ y2＝1 上的一点， F1和 F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝| OP|2.证明 如图，5设双曲线上的动点为 P(x， y)，焦点 F1(－ ，0)， F2( ，0)，双曲线的参数方程为2 2Error!(θ 为参数)，则(| F1P|·|F2P|)2＝[(sec θ ＋ )2＋tan 2θ ]·[(secθ － )2＋tan 2θ ]2 2＝(sec 2θ ＋2 secθ ＋2＋tan 2θ )(sec2θ －2 secθ ＋2＋tan 2θ )＝( secθ ＋1)2 2 22( secθ －1) 2＝(2sec 2θ －1) 2.2又| OP|2＝sec 2θ ＋tan 2θ ＝2sec 2θ －1，由此得| F1P|·|F2P|＝| OP|2.类型三 抛物线的参数方程例 4 已知抛物线 C的参数方程为Error!( t为参数)．若斜率为 1的直线经过抛物线 C的焦点，且与圆( x－4) 2＋ y2＝ r2(r0)相切，则 r＝________.答案 2解析 由题意知抛物线的普通方程为 y2＝8 x，其焦点为(2,0)，过焦点且斜率为 1的直线方程为 x－ y－2＝0，由题意知圆心(4,0)到直线的距离 d＝ ＝ ，即半径 r＝ .|4－ 0－ 2|2 2 2反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能．跟踪训练 4 将方程Error!( t为参数)化为普通方程是________．答案 y＝ x2解析 由 y＝ ＝ ＝tan 2t，1－ cos2t1＋ cos2t 2sin2t2cos2t将 tant＝ x代入上式，得 y＝ x2，即为所求方程．1．参数方程Error!( φ 为参数)表示( )A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线答案 C2．曲线Error!( φ 为参数)的焦点与原点的距离为( )A．2B．3C．4D．5答案 D3．曲线Error!( θ 为参数)的对称中心( )A．在直线 y＝2 x上B．在直线 y＝－2 x上6C．在直线 y＝ x－1 上D．在直线 y＝ x＋1 上答案 B解析 曲线可化为( x＋1) 2＋( y－2) 2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线 y＝－2 x上，故选 B.4．把椭圆的普通方程 9x2＋4 y2＝36 化为参数方程是( )A.Error!(θ 为参数) B.Error!(θ 为参数 )C.Error!(θ 为参数) D.Error!(θ 为参数 )答案 B解析 椭圆的普通方程 9x2＋4 y2＝36 可化为 ＋ ＝1，令 x＝2cos θ ， y＝3sin θ ，x24 y29可得参数方程为Error!( θ 为参数)．5．已知椭圆 ＋ ＝1，点 A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点 P，使点 P与点 A的距离最x225 y216大．解 椭圆的参数方程为Error!( θ 为参数)．设 P(5cosθ ，4sin θ )，则|PA|＝ 5cosθ － 32＋ 4sinθ 2＝ 9cos2θ － 30cosθ ＋ 25＝ ＝|3cos θ －5|≤8，3cosθ － 52当 cosθ ＝－1 时，| PA|最大．此时，sin θ ＝0，点 P的坐标为(－5,0)．1．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等．2．当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程．3．如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用．一、选择题1．椭圆Error!( θ 为参数)的焦点坐标为( )A．(0， )和(0，－ )21 217B．( ，0)和(－ ，0)21 21C．(0， )和(0，－ )29 29D．( ，0)和(－ ，0)29 29答案 A解析 把参数方程Error!( θ 为参数)化为普通方程是 ＋ ＝1，它表示焦点在 y轴上的椭x24 y225圆，其中 a＝5， b＝2， c＝ ＝ ，故焦点坐标为(0，± )．a2－ b2 21 212．方程Error!( θ 为参数， ab≠0)表示的曲线是( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．双曲线的一部分答案 D解析 由 xcosθ ＝ a，∴cos θ ＝ ，代入 y＝ bcosθ ，得 xy＝ ab.又由 y＝ bcosθ 知，axy∈[－| b|,0)∪(0，| b|]，∴曲线应为双曲线的一部分．3．若点 P(3， m)在以点 F为焦点的抛物线Error!( t为参数)上，则| PF|等于( )A．2B．3C．4D．5答案 C解析 抛物线为 y2＝4 x，准线为 x＝－1，| PF|为 P(3， m)到准线 x＝－1 的距离，即为 4.4．当 θ 取一切实数时，连接 A(4sinθ ，6cos θ )和 B(－4cos θ ，6sin θ )两点的线段的中点的轨迹是( )A．圆 B．椭圆 C．直线 D．线段答案 B5．若曲线Error!( θ 为参数)与直线 x＝ m相交于不同的两点，则 m的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞)C．(0,1) D．[0,1)答案 D解析 将曲线Error!化为普通方程，得( y＋1) 2＝－( x－1)(0≤ x≤1)，它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知 0≤ mb0)上在第一象限的点， A(a,0)和 B(0， b)是x2a2 y2b2椭圆的两个顶点， O为原点，求四边形 MAOB的面积的最大值．解 点 M是椭圆 ＋ ＝1( ab0)上在第一象限的点，x2a2 y2b2由于椭圆 ＋ ＝1 的参数方程为Error!( φ 为参数)，x2a2 y2b2故可设 M(acosφ ， bsinφ )，其中 00， b0)的动弦 BC平行于虚轴， M， N是双曲线的左、右顶x2a2 y2b2点．(1)求直线 MB， CN的交点 P的轨迹方程；(2)若 P(x1， y1)， B(x2， y2)，求证： a是 x1， x2的比例中项．(1)解 由题意可设点 B(asecθ ， btanθ )，则点 C(asecθ ，－ btanθ )，又 M(－ a,0)， N(a,0)，∴直线 CN的方程为 y＝ (x－ a)，－ btanθasecθ － a直线 MB的方程为 y＝ (x＋ a)，btanθasecθ ＋ a将以上两式相乘，得点 P的轨迹方程为 ＋ ＝1( a0， b0)．x2a2 y2b2(2)证明 ∵点 P既在 MB上，又在 CN上，由两直线方程消去 y1，得 x1＝ ，asecθ而 x2＝ asecθ ，∴有 x1x2＝ a2，即 a是 x1， x2的比例中项．四、探究与拓展14．在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线 C1：Error! (t为参数)与曲线 C2：Error!( θ 为参数， a0)有一个公共点在 x轴上，则 a＝________.答案 32解析 曲线 C1的普通方程为 2x＋ y＝3，曲线 C2的普通方程为 ＋ ＝1，直线 2x＋ y＝3 与x2a2 y29x轴的交点坐标为 ，故曲线 ＋ ＝1 也经过这个点，代入解得 a＝ 或 a＝－ (舍去)(32， 0) x2a2 y29 32 32．15．椭圆 ＋ ＝1( ab0)与 x轴正向交于点 A，若这个椭圆上总存在点 P，使 OP⊥ AP(O为x2a2 y2b2原点)，求离心率 e的取值范围．解 设椭圆的参数方程是Error!( θ 为参数)( ab0)，则椭圆上的点为 P(acosθ ， bsinθ )，11A(a,0)，∵ OP⊥ AP，∴ · ＝－1，bsinθacosθ bsinθacosθ － a即( a2－ b2)cos2θ － a2cosθ ＋ b2＝0.解得 cosθ ＝ 或 cosθ ＝1(舍去)．b2a2－ b2∵ ab，－1≤cos θ ≤1，∴0 ≤1.b2a2－ b2把 b2＝ a2－ c2代入，得 0 ≤1.a2－ c2c2即 0 －1≤1，1e2解得 ≤ e1.22故离心率 e的取值范围为 .[22， 1)