2019届高考数学总复习 模块五 解析几何限时集训（打包4套）文.zip

1限时集训（十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题基础过关1.已知椭圆 E: + =1(ab0)的离心率为 ,以椭圆的短轴为直径的圆与直线 x-y+ =0 相切 .x2a2y2b2 12 6(1)求椭圆 E 的方程;(2)设椭圆中过右焦点 F 的弦为 AB、过原点的弦为 CD,若 CD∥ AB,求证: 为定值 .|CD|2|AB|2.已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,经过椭圆 C 的右焦点的弦中最短弦的长为 2.x2a2y2b2 22(1)求椭圆 C 的方程 .(2)已知椭圆 C 的左顶点为 A,O 为坐标原点,以 AO 为直径的圆上是否存在一条切线 l 交椭圆C 于不同的两点 M,N,且直线 OM 与 ON 的斜率的乘积为 ?若存在,求出切线 l 的方程;若不存716在,请说明理由 .3.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 y 轴上,且抛物线上有一点 P(m,5)到焦点的距离为 6.(1)求该抛物线 C 的方程 .(2)已知抛物线上一点 M(4,t),过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME,且 MD⊥ ME,判断直线 DE是否过定点?并说明理由 .24.已知抛物线 C:x2=8y 与直线 l:y=kx+1 交于 A,B 两个不同的点,分别过点 A,B 作抛物线 C的切线,所得的两条切线相交于点 P.(1)求证: · 为定值( O 为坐标原点);OAOB(2)求△ ABP 的面积的最小值及此时直线 l 的方程 .能力提升5.设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l.已知点 A 在抛物线 C 上,点 B 在 l 上,△ABF 是边长为 4 的等边三角形 .(1)求 p 的值 .(2)在 x 轴上是否存在一点 N,当过点 N 的直线 l'与抛物线 C 交于 Q,R 两点时, + 为定1|NQ|2 1|NR|2值?若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 .6.已知椭圆 C: + =1(ab0)经过点 A 1, ,且两个焦点 F1,F2的坐标依次为( -1,0),(1,0).x2a2y2b2 32(1)求椭圆 C 的标准方程 .(2)设 E,F 是椭圆 C 上的两个动点, O 为坐标原点,直线 OE 的斜率为 k1,直线 OF 的斜率为 k2,求当 k1·k2为何值时,直线 EF 与以原点为圆心的定圆相切?并写出此定圆的标准方程 .34限时集训(十七)基础过关1.解:(1)依题意,原点到直线 x-y+ =0 的距离为 b,则有 b= = .6612+(-1)2 3由 = ,得 a2= b2=4.∴ 椭圆 E 的方程为 + =1.a2-b2a 12 43 x24y23(2)证明: ① 当直线 AB 的斜率不存在时,易求得 |AB|=3,|CD|=2 ,则 =4.3|CD|2|AB|② 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的斜率为 k,依题意 k≠0,则直线 AB 的方程为 y=k(x-1),直线 CD 的方程为 y=kx.设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).由 得(3 +4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,{x24+y23=1,y=k(x-1)则 x1+x2= ,x1x2= ,8k23+4k2 4k2-123+4k2|AB|= |x1-x2|= · = .1+k2 1+k2 (8k23+4k2)2-4(4k2-123+4k2)12(1+k2)3+4k2由 得 x2= ,则 |x3-x4|= ,|CD|= |x3-x4|=4 .{x24+y23=1,y=kx 123+4k2 433+4k2 1+k2 3(1+k2)3+4k2∴ = · =4.|CD|2|AB|48(1+k2)3+4k2 3+4k212(1+k2)综合 ①② 得, =4,为定值 .|CD|2|AB|2.解:(1)由题意有 又 a2-b2=c2,得 a2=4,b2=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1.{ca= 22,2b2a=2, x24y22(2)由题意可设切线 l 的方程为 y=kx+b,以 AO 为直径的圆的圆心为( -1,0),半径为 1,则有d= =1,得 k= b- .|-k+b|k2+1 12 1b由 得(2 k2+1)x2+4kbx+2b2-4=0.{y=kx+b,x24+y22=1,5设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,4kb1+2k2 2b2-41+2k2又 kOM·kON= · = = ,得 b2-32k2+14=0,y1x1 y2x2k2x1x2+kb(x1+x2)+b2x1x2 716将 k= b- 代入上式,有 b2-32× × b2-2+ +14=0,即( b2-4)(7b2-2)=0,12 1b 14 1b2所以 b=±2 或 b=± .147所以 b=2 时, k= ;b=-2 时, k=- ;34 34b= 时, k=- ;b=- 时, k= .147 51428 147 51428所以切线 l 的方程为 y= x+2 或 y=- x-2 或 y=- x+ 或 y= x- .34 34 51428 147 51428 1473.解:(1)由题意设抛物线方程为 x2=2py(p0),其准线方程为 y=- .p2由于 P(m,5)到焦点的距离等于 P 到准线的距离,所以 5+ =6,所以 p=2.p2所以抛物线方程为 x2=4y.(2)由(1)可得点 M(4,4),设直线 MD 的方程为 y=k(x-4)+4,且 k≠0,由 得 x2-4kx+16k-16=0.{y=k(x-4)+4,x2=4y, 设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 xM·x1=16k-16,∴x 1= =4k-4,y1= =4(k-1)2.16k-164 (4k-4)24同理可得 x2=- -4,y2=4 +1 2,4k 1k所以直线 DE 的方程为 y-4(k-1)2= (x-4k+4),即 y-4(k-1)4(k-1)2-4(1k+1) 24k-4+4k+42= (x-4k+4)=(k+1k)(k-1k-2)k+1k6k- -2 (x-4k+4),1k化简得 y= k- -2 x+4k- = k- -2 (x+4)+8,1k 4k 1k∴ 直线 DE 过定点( -4,8).4.解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y 得 x2-8kx-8=0,方程的两个根为 x1,x2,{x2=8y,y=kx+1,则 Δ= 64k2+320 恒成立, x1+x2=8k,x1·x2=-8.∵A ,B 在抛物线 C 上, ∴y 1= ,y2= ,∴y 1·y2= · = =1.x218 x228 x218 x228(x1x2)264(1)证明: ∵ =(x1,y1), =(x2,y2),∴ · =x1x2+y1y2=-8+1=-7,为定值 .OA OB OAOB(2)由 x2=8y,得 y= x2,则 y'= x,kAP= x1,kBP= x2,18 14 14 14∴ 切线 AP:y- = x1(x-x1),即 y= x1x- .x21814 14 18x21同理得切线 BP:y= x2x- .14 18x22由 得 2x(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2),而 x1≠ x2,{y=14x1x-18x21,y=14x2x-18x22,故有 x= =4k,y= =-1,即点 P(4k,-1).x1+x22 x1x28|AB|= = =4 · ,(1+k2)(x1-x2)2 (1+k2)(64k2+32) 2 (1+k2)(2k2+1)点 P(4k,-1)到直线 l:y=kx+1 的距离 d= ,|4k2+2|1+k2∴S △ ABP= |AB|·d= ×4 · · =4 (2k2+1 .12 12 2 (1+k2)(2k2+1)|4k2+2|1+k2 2 )32∵k 2≥0, ∴ 当 k2=0,即 k=0 时, S△ ABP有最小值 4 ,此时直线 l 的方程为 y=1.2能力提升5.解:(1)由题知, |AF|=|AB|,则 AB⊥ l.设准线 l 与 x 轴交于点 D,则 AB∥ DF.7又△ ABF 是边长为 4 的等边三角形,∠ ABF=60°,所以∠ BFD=60°,|DF|=|BF|·cos∠ BFD=4× =2,即 p=2.12(2)设点 N(t,0),由题意知,直线 l'的斜率不为零 .设直线 l'的方程为 x=my+t,点 Q(x1,y1),R(x2,y2).由 得 y2-4my-4t=0,则 Δ= 16m2+16t0,y1+y2=4m,y1·y2=-4t.{x=my+t,y2=4x 又 |NQ|2=(x1-t)2+ =(my1+t-t)2+ =(1+m2) .同理可得 |NR|2=(1+m2) .则有 + =y21 y21 y21 y221|NQ|2 1|NR|2+ = = = = .1(1+m2)y21 1(1+m2)y22 y21+y22(1+m2)y21y22(y1+y2)2-2y1y2(1+m2)y21y22 16m2+8t16(1+m2)t2 2m2+t(2m2+2)t2若 + 为定值,则 t=2,此时点 N(2,0)为定点 .1|NQ|2 1|NR|2又当 t=2,m∈R 时, Δ 0,满足题意,所以,存在点 N(2,0),当过点 N 的直线 l'与抛物线 C 交于 Q,R 两点时, + 为定值 .1|NQ|2 1|NR|2 146.解:(1)由椭圆的定义得 2a= + =4,(1+1)2+(32-0) 2 (1-1)2+(32-0) 2即 a=2,又 c=1,所以 b2=3,得椭圆 C 的标准方程为 + =1.x24y23(2)当直线 EF 的斜率存在时,设直线 EF 的方程为 y=kx+n,E(x1,y1),F(x2,y2).将直线 EF 的方程与椭圆方程联立,消去 y 得(3 +4k2)x2+8knx+4n2-12=0,则判别式 Δ= 48(3+4k2-n2)0,x1+x2=- ,x1x2= .8kn3+4k2 4n2-123+4k2设 k1·k2=m,由点 E,F 在直线 y=kx+n 上,得( kx1+n)(kx2+n)=mx1x2,整理得( k2-m)x1x2+nk(x1+x2)+n2=0,即( k2-m) +nk - +n2=0,化简得 n2= .4n2-123+4k2 8kn3+4k2 12k2-12m3-4m原点 O 到直线 EF 的距离 d= ,则 d2= = ,|n|1+k2 n21+k2 12k2-12m(3-4m)k2+3-4m由已知得, d 是定值,所以有 = ,解得 m=-1,13-4m -m3-4m即当 k1·k2=-1 时,直线 EF 与以原点为圆心的定圆相切 .8验证知当直线 EF 的斜率不存在时也成立,此时 d= .故定圆的标准方程为 x2+y2= .127 1271限时集训（十五）圆锥曲线的方程与性质基础过关1.若双曲线 - =1(a0)的一条渐近线与直线 y= x垂直,则此双曲线的实轴长为 ( ) y2a2x29 13A.2 B.4 C.18 D.362.已知点 F是抛物线 y2=4x的焦点, M,N是该抛物线上两点, |MF|+|NF|=6,则线段 MN的中点的横坐标为 ( )A.1 B.2 C.3 D.43.已知 F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆 + =1的两个焦点, P是椭圆上的点,当∠ F1PF2= 时,△x2my2n 2π3F1PF2的面积最大,则有 ( )A.m=12,n=3 B.m=24,n=6C.m=6,n= D.m=12,n=6324.已知直线 l与抛物线 C:y2=4x相交于 A,B两点,若线段 AB的中点为(2,1),则直线 l的方程为 ( )A.y=x-1 B.y=-2x+5C.y=-x+3 D.y=2x-35.设 F1,F2分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点, A1,A2分别为双曲线的左、右顶点,x2a2y2b2其中 |F1F2|= |A1A2|,若双曲线的顶点到渐近线的距离为 ,则双曲线的标准方程为 ( )3 2A. - =1 B. - =1x23y26 x26y23C.x2- =1 D. -y2=1y22 x226.若双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线与圆( x- )2+(y-1)2=1相切,则此双曲线的离心x2a2y2b2 3率为 ( )A.2 B. C. D.5 3 27.已知抛物线 y2=4x的焦点为 F,以 F为圆心的圆与抛物线交于 M,N两点,与抛物线的准线交于 P,Q两点,若四边形 MNPQ为矩形,则矩形 MNPQ的面积是 ( )A.16 B.12 C.4 D.33 3 328.在等腰梯形 ABCD中 AB∥ CD,|AB|=2|CD|=4,∠ BAD=60°,某双曲线以 A,B为焦点,且经过 C,D两点,则该双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D. +12 3 5 39.已知 F1,F2分别是双曲线 3x2-y2=3a2(a0)的左、右焦点,点 P是抛物线 y2=8ax与双曲线的一个交点,若 |PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为 ( )A.x=-4 B.x=-3 C.x=-2 D.x=-110.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M在抛物线 C上,且 |MO|=|MF|= (O为坐标原点),32则△ MOF的面积为 ( )A. B. C. D.22 12 14 211.已知双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线 y2=4x的准线分别交于 A,B两点, Ox2a2y2b2为坐标原点,若 S△ AOB=2 ,则双曲线的离心率 e= . 312.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的渐近线方程为 y=± x,若抛物线 y2=8x的焦点与双曲x2a2y2b2 33线 C的右焦点重合,则双曲线 C的方程为 . 13.已知 F是抛物线 C:x2=12y的焦点, P是 C上的一点,直线 FP交直线 y=-3于点 Q.若 =2PQ,则 |PQ|= . FP能力提升14.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的左顶点为 A,过双曲线的右焦点 F2作 x轴的垂线交 C于x2a2y2b2点 M,点 M位于第一象限,若△ AF2M为等腰直角三角形,则双曲线 C的离心率为 ( )A. B.23C.1+2 D.2 -12 215.设椭圆 + =1,双曲线 - =1(其中 mn0)的离心率分别为 e1,e2,则 ( )x2m2y2n2 x2m2y2n2A.e1·e21 B.e1·e20,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支x2a2y2b2交于点 P,Q,若 |PQ|=2|QF|,∠ PQF=60°,则该双曲线的离心率为 ( )A. B. +1 C.2+ D.4+23 3 3 318.已知直线 l过抛物线 C:y2=4x的焦点, l与 C交于 A,B两点,过点 A,B分别作 C的切线,且交于点 P,则点 P的轨迹方程为 . 限时集训(十五)基础过关1.C [解析] 由双曲线的方程 - =1(a0),可得其一条渐近线的方程为 y=- x,所以 - × =-1,解y2a2x29 a3 a3 13得 a=9,所以双曲线的实轴长为 2a=18,故选 C.2.B [解析] 设点 M(xM,yM),N(xN,yN).易知抛物线 y2=4x的准线方程为 x=-1.由|MF|+|NF|=6,可得 xM+1+xN+1=6,即 xM+xN=4,∴MN 的中点的横坐标为 =2,故选 B.xM+xN23.A [解析] 设点 P(xP,yP).∵ = |F1F2|·|yP|,∴ 当 P为短轴端点 B时,△ F1PF2的S△ F1PF212面积最大,此时∠ OBF1= ,又 mn0,∴ tan = ,∴n= 3,∴m=n+ 32=12,故选 A.π3 π3 3n4.D [解析] 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减得( y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因{y21=4x1,y22=4x2,为 AB的中点为(2,1),所以 y1+y2=2,所以 = = =2,即直线 l的斜率为 2,由点斜式得y1-y2x1-x2 4y1+y242直线 l的方程为 y-1=2(x-2),化简得 y=2x-3,故选 D.5.A [解析] 由题得 ∴ ∴ 双曲线的标准方程为 - =1,故选 A.{2c=2 3a,|ab|a2+b2= 2,c2=a2+b2, {a2=3,b2=6, x23y2646.A [解析] 由题意得,双曲线的渐近线 y= x与圆( x- )2+(y-1)2=1相切,即圆心( ,1)ba 3 3到直线 y= x的距离为 1,则 =1,解得 b= a,则 c2=a2+b2=4a2,∴e= =2,故选 A.ba |3ba-1|1+b2a2 3 ca7.A [解析] 不妨设点 M在第一象限 .因为四边形 MNPQ为矩形,所以 |PQ|=|MN|,圆心 F到准线的距离与到 MN的距离相等,所以 M点的横坐标为 3,代入抛物线方程,可得 M(3,2 ),N(3,-2 ),所以 |MN|=4 ,|NP|=4,3 3 3从而求得矩形 MNPQ的面积 S=4×4 =16 ,故选 A.3 38.D [解析] 由题意及双曲线的离心率定义可知,双曲线的离心率 e= .由|AB||DB|-|DA||AB|=2|CD|=4,∠ BAD=60°,可得 |DA|=2,|DB|=2 ,所以 e= = +1,故选 D.3423-2 39.C [解析] 由题得双曲线的方程为 - =1(a0),所以 c2=a2+3a2=4a2,即 c=2a.所以双曲线x2a2y23a2的右焦点和抛物线的焦点重合 .由题得 所以 |PF2|=6-a,则 00,b0)的渐近线为 y=± x,13x2a2y2b2 ba抛物线 y2=4x的准线为 x=-1,所以 A -1, ,B -1,- ,因此 S△ AOB= ×1× =2 ,所以 b=2ba ba 12 2ba 3a,所以 c= a,e= = .3 13ca 1312. -y2=1 [解析] ∵ 抛物线 y2=8x的焦点为(2,0),且抛物线的焦点与双曲线 C的右焦点重x23合, ∴c= 2.∵ 双曲线 C的渐近线方程为 y=± x,∴ = ,又 c2=a2+b2,∴a 2=3,b2=1,∴ 双曲线33 ba 33C的方程为 -y2=1.x23513.8 [解析] 由题知 F(0,3),直线 y=-3为抛物线 C的准线,如图所示,记直线 y=-3与 y轴的交点为 N,过点 P作 PM⊥ QN,垂足为 M.因为 |PM|=|PF|,|PQ|=2|FP|,所以 |PQ|=2|PM|,所以∠ PQM=30°,又因为 |FN|=6,所以 |FQ|=12,故 |PQ|= |FQ|=8,故答案为 8.23能力提升14.B [解析] 依题意得 |F2M|= ,|AF2|=a+c,由于△ AF2M为等腰直角三角形,则 |F2M|=|AF2|,b2a即 =a+c,得 b2=a2+ac,c2-a2=a2+ac,c2-ac-2a2=0,两边同时除以 a2得 e2-e-2=0,可得 e=2,故b2a选 B.15.B [解析] 在椭圆 + =1(mn0)中, c1= ,∴e 1= = .在双曲线 -x2m2y2n2 m2-n2 c1m m2-n2m x2m2=1(mn0)中, c2= ,∴e 2= = .则 e1·e2= · = =y2n2 m2+n2 c2m m2+n2m m2-n2m m2+n2m m4-n4m41,故选 B.1-(nm) 416.D [解析] 由题意得 |AF2|=b2,A(c,b2),F1(-c,0).设 B(x,y),由 |AF1|=3|F1B|,得( -2c,-b2)=3(x+c,y),则 故 B - c,- b2 ,代入椭圆方程可得 - c 2+ =1,又{x=-53c,y=-13b2, 53 13 53 (-13b2) 2b2b2+c2=1,解得 c= ,所以 e= = ,故选 D.33 ca 3317.B [解析] 连接 PF.∵|PQ|= 2|QF|,∠ PQF=60°,∴ ∠ PFQ=90°,设双曲线的左焦点为 F1,连接 F1P,F1Q,由对称性可知四边形 F1PFQ为矩形,且 |F1F|=2|QF|,|QF1|= |QF|,3故 e= = = = +1,故选 B.2c2a |F1F||QF1|-|QF| 23-1 318.x=-1 [解析] 不妨将抛物线旋转为 x2=4y,直线 l旋转为直线 l',则 l'的斜率存在 .设直线 l'的方程为 y=kx+1,旋转后 A,B两点的坐标分别为 x1, , x2, .由14x21 14x22得 x2-4kx-4=0①. 由 x2=4y,得 y'= x,则抛物线 x2=4y在点 A处的切线方程为{x2=4y,y=kx+1, 12y- = x1(x-x1).同理可得抛物线 x2=4y在点 B处的切线方程为 y- = x2(x-x2).由14x2112 14x22126得 y= x1x2,再由 ① 式可得 x1x2=-4,所以 y=-1.故原抛物线 C对应的{y-14x21=12x1(x-x1),y-14x22=12x2(x-x2) 14点 P的轨迹方程为 x=-1.1限时集训（十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题基础过关1.已知椭圆 M 与椭圆 N: + =1 有相同的焦点,且椭圆 M 过点(0,2) .x29y25(1)求椭圆 M 的长轴长;(2)设直线 y=x+2 与椭圆 M 交于 A,B 两点( A 在 B 的右侧), O 为原点,求证: · =- .OAOB432.已知点 M(1,2)在抛物线 C:y2=2px(p0)上,过点 N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点 .(1)若 MN⊥ AB,求直线 l 的方程;(2)求证:点 M 在以 AB 为直径的圆上 .3.已知椭圆 C: + =1 的左焦点为 F,已知 M(-4,0),过 M 作斜率不为 0 的直线 l,与椭圆 C 交x24y23于 A,B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为 B'.(1)求证:直线 AB'恒过定点 F(椭圆的左焦点);(2)△ MAB'的面积记为 S,求 S 的取值范围 .4.已知抛物线 E:x2=4y 的焦点为 F,P(a,0)为 x 轴上的点 .(1)若过点 P 作直线 l 与 E 相切,求切线 l 的方程;(2)如果存在过点 F 的直线 l'与抛物线交于 A,B 两点,且直线 PA 与 PB 的倾斜角互补,求实数 a 的取值范围 .2能力提升5.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C1:x2=4y,直线 l 与抛物线 C1交于 A,B 两点,如图 X16-1 所示 .(1)若直线 OA,OB 的斜率之积为 - ,证明:直线 l 过定点;14(2)若线段 AB 的中点 M 在曲线 C2:y=4- x2(-2 b0)的左、右焦点, F2恰好与抛物线 y2=4x 的焦点重合,过x2a2y2b2椭圆 E 的左焦点 F1且与 x 轴垂直的直线被椭圆 E 截得的线段长为 3.(1)求椭圆 E 的方程;(2)已知点 P 1, ,直线 l:x=4,过 F2且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于 A,B 两点,与直线 l 交32于 M 点,若直线 PA,PB,PM 的斜率分别是 k1,k2,k3,求证:无论 k 取何值,总满足 k3是 k1和 k2的等差中项 .3限时集训(十六)基础过关1.解:(1)由题意设椭圆 M 的标准方程为 + =1(ab0),x2a2y2b2则 a2-b2=9-5=4,得 c2=4,又椭圆 M 过点(0,2),所以 b=2,所以 a2=8,则椭圆 M 的长轴长为2a=4 .2(2)证明:椭圆 M 的方程为 + =1,由 得 3x2+8x=0,解得 x1=0,x2=- ,x28y24 {y=x+2,x28+y24=1, 83则 A(0,2),B - ,- ,83 23故 · =(0,2)· - ,- =- .OAOB83 23 432.解:(1)据题意 kMN=-1,由于 MN⊥ AB,则 kAB=1,于是直线 l 的方程为 y-(-2)=1·(x-5),即直线 l 的方程为 x-y-7=0.(2)证明:由于点 M 在抛物线上,所以抛物线方程为 y2=4x.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x=m(y+2)+5(m≠0),与抛物线的方程联立,整理得y2-4my-(8m+20)=0,则 y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,又 =(x1-1,y1-2), =(x2-1,y2-2),MA MB于是 · =(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4= -m(y1+y2)-MAMB(y1y2)2164m-10+1+y1y2-2(y1+y2)+4= -m·(4m)-4m-10+1-(8m+20)-2×(4m)+4=0,所以∠ AMB=90°,即点 M 在以 AB 为直径(8m+20)216的圆上 .3.解:(1)证明:设直线 l 的方程为 x=my-4,代入 + =1 得(3 m2+4)y2-24my+36=0,x24y23设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 B'(x2,-y2),则 Δ= 144m2-5760,即 |m|2,且 y1+y2= ,y1y2= .24m3m2+4 363m2+4直线 AB':y-y1= (x-x1).令 y=0,y1+y2x1-x24得 x= =2m· -4=2m -4=-1,x2y1+x1y2y1+y2 y1y2y1+y2 32m∴ 直线 AB'过定点 F(-1,0).(2)S= |MF||y1+y2|= × = ,其中 |m|2.12 32 |24m|3m2+4 363|m|+4|m|令 f(t)=3t+ ,t2,则 f'(t)=3- 0(t2),4t 4t2∴f (t)在(2, +∞ )上单调递增, f(t)∈(8, +∞ ),∴S ∈ 0, .924.解:(1)设切点为 Q x0, ,由 y'= 得 y' = .x204 x2 x=x0x02∴ 抛物线 E 在点 Q 处的切线方程为 y- = (x-x0).x204x02∵ 直线 l 过点 P,∴- = (a-x0),解得 x0=2a 或 x0=0.x204x02当 a=0 时,切线 l 的方程为 y=0;当 a≠0 时,切线 l 的方程为 y=0 或 ax-y-a2=0.(2)易知直线 l'的斜率存在,设直线 l'的方程为 y=kx+1,代入 x2=4y 得 x2-4kx-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 Δ= 16k2+160,x1+x2=4k,x1x2=-4.由已知得 kPA+kPB= + =0,y1x1-a y2x2-a即 + =0,∴ 2kx1x2+(1-ka)(x1+x2)-2a=0,kx1+1x1-akx2+1x2-a∴ 2ak2+2k+a=0.①当 a=0 时,得 2k=0,即 k=0,满足题意;当 a≠0 时,方程 ① 有解, ∴Δ= 4-8a2≥0,解得 - ≤ a≤ ,且 a≠0 .22 22综上所述,实数 a 的取值范围是 - ≤ a≤ .22 22能力提升5.解:(1)证明:由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).5由 得 x2-4kx-4m=0,{x2=4y,y=kx+m则 Δ= 16(k2+m)0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,∴k OA·kOB= = = =- ,y1·y2x1·x214x21·14x22x1·x2x1·x216 m4又已知 kOA·kOB=- ,∴m= 1,14∴ 直线 l 的方程为 y=kx+1,直线 l 过定点(0,1) .(2)设 M(x0,y0),则 x0= =2k,y0=kx0+m=2k2+m.x1+x22将 M(x0,y0)代入 C2:y=4- x2(-2 0,∴- k ,2 2故 k 的取值范围是( - , ).2 2|AB|= = ,将 m=4-3k2代入得 |AB|=41+k2 (x1+x2)2-4x1x2 1+k2 16(k2+m)≤4 · =6 ,2 (k2+1)(2-k2) 2(k2+1)+(2-k2)2 2当且仅当 k2+1=2-k2,即 k=± 时取等号,22∴|AB| 的最大值为 6 .26.解:(1)由题意知 F2(1,0),椭圆上一点的坐标为 -1, ,代入椭圆 E 的方程,得 + =1,又32 1a294b2a2-b2=1,∴a 2=4,b2=3,因此椭圆 E 的方程为 + =1.x24y23(2)证明:直线 AB 的方程为 y=k(x-1),代入椭圆 E 的方程,并整理得(4 k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2= ,x1x2= .8k24k2+3 4(k2-3)4k2+36把 x=4 代入直线 AB 的方程得 M(4,3k), 从而 k1= ,k2= ,k3= =k- .y1-32x1-1 y2-32x2-1 3k-324-1 12又因为 A,F2,B 三点共线,所以 = =k,y1x1-1 y2x2-1所以 k1+k2= + = + - + =2k- · =2k- ·y1-32x1-1y2-32x2-1 y1x1-1 y2x2-132 1x1-1 1x2-1 32 x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1 32=2k-1,又 k3=k- ,所以 k1+k2=2k3,8k24k2+3-24(k2-3)4k2+3- 8k24k2+3+1 12即无论 k 取何值,总满足 k3是 k1和 k2的等差中项 .1限时集训（十四）直线与圆基础过关1.与直线 2x+y-3=0 平行,且距离为 的直线的方程为 ( ) 5A.2x+y+2=0B.2x+y-8=0C.2x+y+2=0 或 2x+y-8=0D.2x+y-2=0 或 2x+y+8=02.两直线 3x+y-3=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为 ( )A.4 B.21313C. D.51326 710203.已知 p:k= ,q:直线 y=kx+1(k∈R)与圆 x2+y2+2y=0 相切,则 p 是 q 的 ( )3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.不论实数 m 为何值,直线( m-1)x+(2m-1)y=m-5 恒过定点 ( )A. 1,- B.(-2,0)12C.(2,3) D.(9,-4)5.圆 x2+y2+4x-2y+a=0 截直线 x+y+5=0 所得弦的长为 2,则实数 a= ( )A.-4 B.-2C.4 D.26.直线 l 经过点(0, -1),且通过第二、三、四象限,并与坐标轴围成的三角形的面积为 2 的直线方程为 ( )A.x+y+4=0B.x+4y+4=0C.4x+y+16=02D.x+y-4=07.若点(5, b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间,则整数 b 的值为 ( )A.5 B.-5C.4 D.-48.数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线 .已知△ABC 的顶点 A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ ABC 的欧拉线方程为 ( )A.2x+y-3=0B.2x-y+3=0C.x-2y-3=0D.x-2y+3=09.若过点(2,0)有两条直线与圆 x2+y2-2x+2y+m+1=0 相切,则实数 m 的取值范围是 . 10.若直线 l:mx-y=1(m∈R),则直线 l 被圆 x2+2x+y2-24=0 截得的弦长的最小值为 . 11.已知直线 l 平分圆( x+2)2+(y-1)2=4 的面积,且原点 O 到直线 l 的距离为 2,则直线 l 的方程为 . 12.已知直线 l:x+y=3 与圆 C:(x-a)2+(y-5)2=10(a∈R)交于 A,B 两点,圆 C 在点 A,B 处的切线 l1,l2相交于点 P - , ,则四边形 ACBP 的面积为 . 1252能力提升13.设直线 l:x+4y=2 与圆 C:x2+y2=1 交于 A,B 两点, O 为坐标原点,若直线 OA,OB 的倾斜角分别为 α ,β ,则 cosα+ cosβ= ( )A. B.-1817 1217C.- D.417 41714.已知圆 O:x2+y2=1,若 A,B 是圆 O 上不同的两点,以 AB 为边作等边三角形 ABC,则 |OC|的最大值是 ( )A. B.2+ 62 3C.2 D. +13315.已知直线 x-2y+a=0(a∈R)与圆 O:x2+y2=2 相交于 A,B 两点( O 为坐标原点),则“ a= ”5是“ · =0”的 ( )OAOBA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.从圆 x2+y2=4 内任意取一点 P,则点 P 到直线 x+y=1 的距离小于 的概率为 . 2217.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的最小值是 . 18.已知 AC,BD 是圆 x2+y2=4 内互相垂直的两条弦,垂足为 M(1, ),四边形 ABCD 面积的最2大值为 m,最小值为 n,则 m-n 的值为 . 4限时集训(十四)基础过关1.C [解析] 设与直线 2x+y-3=0 平行的直线的方程为 2x+y+c=0,∵ 两平行直线之间的距离为 ,∴ = ,∴c= 2 或 c=-8,∴ 与直线 2x+y-3=0 平行且距离为 的直线的方程为5|-3-c|22+12 5 52x+y+2=0 或 2x+y-8=0,故选 C.2.D [解析] 把 3x+y-3=0 化为 6x+2y-6=0,则所求距离 d= = ,故选 D.|1-(-6)|62+22 710203.A [解析] 圆的标准方程为 x2+(y+1)2=1,因为直线与圆相切,所以圆心(0, -1)到直线 kx-y+1=0(k∈R)的距离为 1,即 =1,解得 k=± ,据此可得 p 是 q 的充分不必要条件,故2k2+1 3选 A.4.D [解析] ∵ 直线方程为( m-1)x+(2m-1)y=m-5,∴ 直线方程可化为( x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.∵ 不论实数 m 为何值,直线( m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点, ∴ 解得 故选 D.{x+2y-1=0,-x-y+5=0, {x=9,y=-4,5.A [解析] 圆的标准方程为( x+2)2+(y-1)2=5-a,a ,∴ 1-m-(2-1)2+(0+1)2 2 1-m1.综上, -1m1,∴ 实数 m 的取值范围是( -1,1).10.2 [解析] 因为圆的方程可化为( x+1)2+y2=25,所以它表示圆心为 C(-1,0),半径为235 的圆 .由于直线 l:mx-y-1=0 过定点 P(0,-1),且 P 在圆内,所以过点 P 且与 PC 垂直的弦的弦长最小,且最小值为 2 =2 .52-( 2)2 2311.3x-4y+10=0 或 x=-2 [解析] 由直线 l 平分圆( x+2)2+(y-1)2=4 的面积,可知直线 l 过圆的圆心( -2,1).当直线的斜率存在时,设为 k,则直线 l 的方程为 y-1=k(x+2),即 kx-y+2k+1=0,则原点 O 到直线 l 的距离为 =2,解得 k= ,所以直线 l 的方程为 3x-4y+10=0.当|2k+1|k2+1 34直线的斜率不存在时,直线为 x=-2,也满足条件 .故答案为 3x-4y+10=0 或 x=-2.12.5 [解析] 由平面几何知识,得点 P 与圆心 C 的连线 PC 与直线 l 垂直,则 =1,解得5-52a+12a=2,则 |PC|= = .因为圆心 C(2,5)到直线 l:x+y-3=0 的距离 d=(2+12)2+(5-52)2522= =2 ,所以 |AB|=2 =2 ,则四边形 ACBP 的面积 S= ×2 ×|2+5-3|2 42 2 10-(22)2 2 12 2=5.522能力提升13.D [解析] 由题可得如图所示的直线与圆 .设 A(x1,y1),B(x2,y2),由三角函数的定义得 cosα+ cosβ=x 1+x2.由 消去 y 得 17x2-4x-12=0,则{x+4y=2,x2+y2=1,x1+x2= ,即 cosα+ cosβ= ,故选 D.417 41714.C [解析] 不妨设点 A 在第一象限,且直线 AB 与 y 轴平行,点 C 在直线 AB 右侧,如图所示 .设 A(cosθ ,sinθ ),则 B(cosθ ,-sinθ ) ,因为△ ABC 为等边三角形,所(0θ ≤π 2)6以点 C 在 x 轴上,则 C(cosθ+ sinθ ,0),则3|OC|= =cosθ+ sinθ= 2sin ,又因为 0θ ≤ ,所以当且(cosθ + 3sinθ )2 3 (θ +π 6) π 2仅 θ= 时, |OC|取得最大值 2.故选 C.π 315.A [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 · =0,得 x1x2+y1y2=0,又 y1= ,y2= ,OAOBx1+a2 x2+a2所以 5x1x2+a(x1+x2)+a2=0.由 得 5x2+2ax+a2-8=0,则 x1+x2=- ,x1x2= ,{x-2y+a=0,x2+y2=2, 2a5 a2-85代入 5x1x2+a(x1+x2)+a2=0,得 a=± ,所以当“ a= ”时,有“ · =0”,而当 “ ·5 5 OAOB OA=0”时, 有“ a=± ”,即“ a= ”是“ · =0”的充分不必要条件,故选 A.OB 5 5 OAOB16. [解析] 圆心为(0,0),半径为 2,圆心到直线 y=-x+1 的距离为为 = ,圆心到直π +24π 12 22线 y=-x+2 的距离为 = ,故圆内到直线 x+y=1 的距离小于 的点在直线 y=-x 和直线 y=-22 2 22x+2 之间,如图中阴影部分所示 .阴影部分的面积等于半圆减去一个弓形的面积,而弓形的面积等于四分之一圆减去一个等腰直角三角形的面积,即弓形的面积为 ×π ×22- ×2×2=π -14 122,则阴影部分的面积为 ×π ×22-(π -2)=π +2,所以所求概率为 .12 π +24π17.- [解析] 因为圆 C 的方程可化为( x-4)2+y2=1,所以圆 C 的圆心为(4,0),半径为 1.依43题意知直线 y=kx+2 上至少存在一点 A(x0,kx0+2),以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,所以存在 x0∈R,使得 |AC|≤1 +1 成立,即 |AC|min≤2 .因为 |AC|min即为点 C 到直线y=kx+2 的距离 ,所以 ≤2,解得 - ≤ k≤0,所以 k 的最小值为 - .|4k+2|k2+1 |4k+2|k2+1 43 4318.1 [解析] 如图所示,作 OF⊥ AC,OE⊥ BD,垂足分别为 F,E.设 |OF|=d1,|OE|=d2,则四边形OEMF 为矩形,又 M(1, ),所以 + =3,|AC|=2 ,|BD|=2 ,则四边形 ABCD2 d21d22 4-d21 4-d227的面积 S= |AC|·|BD|=2 ,又 =3- ,所以12 (4-d21)(4-d22) d22 d21S=2 =2 .令 =t,则 0≤ t≤3,从而 S=2(4-d21)(4-3+d21) (4-d21)(1+d21) d21=2 (0≤ t≤3) .对于函数 y=-t2+3t+4,其对称轴为 t= ,(4-t)(1+t) -t2+3t+432根据二次函数的性质得 ymax= ,ymin=4,即 m=Smax=2 =5,n=Smin=2 =4,所以 m-n=1.254 254 4