2018-2019学年高中数学 第二章 几个重要的不等式课件（打包6套）北师大版选修4-5.zip

第二章 §1 柯西不等式1.1 简单形式的柯西不等式学习目标1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式，理解它们的几何意义 .2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 简单形式的柯西不等式思考 1 (a2＋ b2)(c2＋ d2)与 4abcd的大小关系如何？那么 (a2＋ b2)(c2＋d2)与 (ac＋ bd)2的大小关系又如何？答案 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥4abcd， (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥(ac＋ bd)2.思考 2 当且仅当 a＝ b且 c＝ d时， (a2＋ b2)(c2＋ d2)＝ 4abcd，那么在什么条件下 (a2＋ b2)(c2＋ d2)＝ (ac＋ bd)2?答案 当且仅当 ad＝ bc时， (a2＋ b2)(c2＋ d2)＝ (ac＋ bd)2.思考 3 若向量 α＝ (a， b)，向量 β＝ (c， d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理 (1)简单形式的柯西不等式① 定理 1：对任意实数 a， b， c， d，有 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥ .当向量 (a， b)与向量 (c， d) 时，等号成立 .② 简单形式的柯西不等式的推论(a＋ b)(c＋ d)≥____________(a， b， c， d为非负实数 )；≥ (a， b， c， d∈ R)；≥ (a， b， c， d∈ R).以上不等式，当向量 (a， b)与向量 (c， d)共线时，等号成立 .(ac＋ bd)2共线|ac＋ bd||ac|＋ |bd|(2)柯西不等式的向量形式设 α， β是任意两个向量，则 |α||β| |α·β|，当向量 α， β 时，等号成立 .≥ 共线题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式例 1 (1)已知 a2＋ b2＝ 1， x2＋ y2＝ 1，求证： |ax＋ by|≤1；证明∴ 当且仅当 a＝ b＝ c时，等号成立 .证明反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，要抓住不等式的基本特征： (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥(ac＋ bd)2，其中 a， b， c， d∈ R或(a＋ b)(c＋ d)≥ 其中 a， b， c， d∈ R＋ .找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补 (特别是对数字的增补：如 a＝ 1×a)，变形等 .证明证明 ∵ a1， a2， b1， b2∈ R＋，例 2 若实数 x， y， z满足 x2＋ 4y2＋ z2＝ 3，求证： |x＋ 2y＋ z|≤3.证明证明 因为 x2＋ 4y2＋ z2＝ 3，所以由柯西不等式得 [x2＋ (2y)2＋ z2](12＋ 12＋ 12)≥(x＋ 2y＋ z)2整理得 (x＋ 2y＋ z)2≤9，即 |x＋ 2y＋ z|≤3.反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征 “方、和、积 ”，构造使用柯西不等式的条件 .(2)此类题也可以用三角不等式，把 △ ABO的三个顶点分别设为 O(0,0)，A(x1， x2)， B(－ y1，－ y2)即可 .证明 ∵ a－ c＝ (a－ b)＋ (b－ c)，又 abc，∴ a－ c0， a－ b0， b－ c0. 证明类型二 利用柯西不等式求最值例 3 若 3x＋ 4y＝ 2，试求 x2＋ y2的最小值及最小值点 .解 由柯西不等式，得 (x2＋ y2)(32＋ 42)≥(3x＋ 4y)2，解答反思与感悟 利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件 .(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧 .(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误 .多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 .跟踪训练 3 已知 a， b∈ R，且 9a2＋ 4b2＝ 18，求 3a＋ 2b的最值 .解答解 由柯西不等式，得 (9a2＋ 4b2)(12＋ 12)≥(3a＋ 2b)2，∵ 9a2＋ 4b2＝ 18，∴ 36≥(3a＋ 2b)2.∴ |3a＋ 2b|≤6.达标检测1 2 43 5解析 (a2＋ b2)(32＋ 22)≥(3a＋ 2b)2，当且仅当 3b＝ 2a时取等号，所以 (3a＋ 2b)2≤4×13.1.已知 a， b∈ R， a2＋ b2＝ 4，则 3a＋ 2b的最大值为答案解析√1 2 43 5解析 ∵ (a2＋ b2)(12＋ 12)≥(a＋ b)2＝ 4，当且仅当 a＝ b＝ 1时，等号成立，∴ a2＋ b2≥2.2.已知 a≥0， b≥0，且 a＋ b＝ 2，则答案解析√1 2 43 5∴ 最小值为 9.答案解析91 2 43 5解析 ∵ (a2＋ b2)(m2＋ n2)≥(ma＋ nb)2＝ 25，∴ m2＋ n2≥5.答案解析当且仅当 an＝ bm时取等号 .1 2 43 55.已知 a2＋ b2＝ 1，求证： |acos θ＋ bsin θ|≤1.证明证明 ∵ 1＝ a2＋ b2＝ (a2＋ b2)(cos2θ＋ sin2θ)≥(acos θ＋ bsin θ)2，∴ |acos θ＋ bsin θ|≤1.规律与方法1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试 .2.柯西不等式取等号的条件的记忆方法如 (a2＋ b2)·(c2＋ d2)≥(ac＋ bd)2等号成立的条件是 ad＝ bc，可以把 a， b，c， d看成等比，则 ad＝ bc来联想记忆 .本课结束1.2 一般形式的柯西不等式第二章 §1 柯西不等式学习目标1.理解并掌握三维形式的柯西不等式 .2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程 .3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题 . 问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 三维形式的柯西不等式思考 1 类比平面向量，在空间向量中，如何用 |α||β|≥|α·β|推导三维形式的柯西不等式？答案 设 α＝ (a1， a2， a3)， β＝ (b1， b2， b3)，∵|α||β|≥|α·β| ，思考 2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案 当且仅当 α， β共线时，即 β＝ 0或存在实数 k，使 a1＝ kb1， a2＝kb2， a3＝ kb3时，等号成立 .梳理 三维形式的柯西不等式(a1b1＋ a2b2＋ a3b3)2知识点二 一般形式的柯西不等式1.一般形式的柯西不等式(a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn)22.柯西不等式等号成立的条件当且仅当 bi＝ 0(i＝ 1,2， … ， n)或存在一个实数 k，使得 ________(i＝ 1,2，… ， n)时等号成立 .当向量 (a1， a2， … ， an)与向量 (b1， b2， … ， bn)共线时，等号成立 .ai＝ kbi题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式命题角度 1 三维形式的柯西不等式的应用例 1 设 a， b， c为正数，且不全相等 .证明因为题设中 a， b， c不全相等，故 ① 中等号不成立，反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数 .(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序 .(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的 .(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项 .证明 由柯西不等式知，证明∴ 原不等式成立 .命题角度 2 一般形式的柯西不等式的应用证明反思与感悟 一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现 “方、和、积 ”的形式 .跟踪训练 2 已知 a1， a2， … ， an∈ R＋，且 a1＋ a2＋ … ＋ an＝ 1，求证：证明＝ (a1＋ a2＋ … ＋ an)2＝ 1，类型二 利用柯西不等式求函数的最值例 3 (1)若实数 x， y， z满足 x＋ 2y＋ 3z＝ a(a为常数 )，则 x2＋ y2＋ z2的最小值为 _____.答案解析即 14(x2＋ y2＋ z2)≥a2，解 ∵ x＋ y＋ z＝ 1，解答＝ (1＋ 2＋ 3)2＝ 36.反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果 .同时，要注意等号成立的条件 .跟踪训练 3 已知 a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，函数 f(x)＝ |x＋ a|＋ |x－ b|＋ c的最小值为 4.(1)求 a＋ b＋ c的值；解答解 因为 f(x)＝ |x＋ a|＋ |x－ b|＋ c≥|(x＋ a)－ (x－ b)|＋ c＝ |a＋ b|＋ c，当且仅当－ a≤x≤b时，等号成立 .又 a＞ 0， b＞ 0，所以 |a＋ b|＝ a＋ b，所以 f(x)的最小值为 a＋ b＋ c，又已知 f(x)的最小值为 4，所以 a＋ b＋ c＝ 4.解 由 (1)知 a＋ b＋ c＝ 4，由柯西不等式，得解答达标检测1 2 43 答案解析√1 2 43∴ a＋ 2b＋ 3c的最小值为 9.答案解析√1 2 43 答案解析16当且仅当 a＝ b＝ c＝ d时取等号 .1 2 43 证明规律与方法2.要求 ax＋ by＋ z的最大值，利用柯西不等式 (ax＋ by＋ z)2≤(a2＋ b2＋12)(x2＋ y2＋ z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧 .对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它 .本课结束第二章 几个重要的不等式§2 排序不等式学习目标1.了解顺序和、乱序和、逆序和的有关概念 .2.掌握排序不等式的结构特征，并能应用排序不等式证明一些不等式 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 排序不等式思考 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4件、 5件及 2件，现在选择商店中单价为 3元、 2元和 1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有 3×2×1＝ 6(种 )不同的购买方案 .(2)5×3＋ 4×2＋ 2×1＝ 25(元 )，这种方案花钱最多；5×1＋ 4×2＋ 2×3＝ 19(元 )，这种方案花钱最少 .梳理 (1)顺序和、乱序和、逆序和的概念设实数 a1， a2， a3， b1， b2， b3满足 a1≥a2≥a3， b1≥b2≥b3，则 a1b1＋a2b2＋ a3b3≥ ≥a1b3＋ a2b2＋ a3b1，其中 j1， j2， j3是 1,2,3的任一排列方式 .上式当且仅当 a1＝ a2＝ a3(或 b1＝ b2＝ b3)时取 “＝ ”号 .通常称 a1b1＋ a2b2＋ a3b3为顺序和， 为乱序和， a1b3＋a2b2＋ a3b1为逆序和 (倒序和 ).(2)排序不等式① 定理 1：设 a， b和 c， d都是实数，如果 a≥b， c≥d，那么 ≥_______，此式当且仅当 (或 )时取 “＝ ”号 . ac＋ bdad＋ bca＝ b c＝ d② 定理 2： (排序不等式 )设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn ，则 (顺序和 ) ≥( 乱序和)____________________≥( 逆序和 ) .其中 j1， j2， … ， jn是 1,2， … ， n的任一排列方式，上式当且仅当_______________(或 )时取 “ ＝ ” 号 .a1b1＋ a2b2＋ …＋ anbna1bn＋ a2bn－ 1＋ …＋ anb1a1＝ a2＝ … ＝ an b1＝ b2＝ …＝ bn题型探究类型一 利用排序不等式证明不等式命题角度 1 字母已定序问题证明又顺序和不小于乱序和，故可得∴ 原不等式成立 .反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组 .证明证明 因为 0＜ a≤b≤c，所以 0＜ a＋ b≤c＋ a≤b＋ c，又 0＜ a2≤b2≤c2，由排序不等式可知，顺序和大于等于乱序和，命题角度 2 字母大小顺序不定问题证明证明 由不等式的对称性，不妨设 a≥b≥c＞ 0，由顺序和 ≥乱序和得到两个不等式：反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据 .跟踪训练 2 设 a， b， c∈ R＋，利用排序不等式证明：证明证明 不妨设 0＜ a≤b≤c，类型二 利用排序不等式求最值解答解 由于 a， b， c的对称性，不妨设 a≥b≥c＞ 0，反思与感悟 求最小 (大 )值，往往所给式子是顺 (逆 )序和式，然后利用顺(逆 )序和不小 (大 )于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小 (大 )值 .解答达标检测1 2 43解析 不妨设 a≥b≥c＞ 0，则 a2≥b2≥c2＞ 0.由排序不等式，得 a2a＋ b2b＋ c2c≥a2b＋ b2c＋ c2a，当且仅当 a＝ b＝ c时，等号成立，所以 P≥Q.1.设 a， b， c均为正数，且 P＝ a3＋ b3＋ c3， Q＝ a2b＋ b2c＋ c2a，则 P与 Q的大小关系是A.P＞ Q B.P≥Q C.P＜ Q D.P≤Q答案解析√1 2 43解析 a1c1＋ a2c2＋ … ＋ a5c5≤a1b1＋ a2b2＋ a3b3＋ a4b4＋ a5b5＝ 2×3＋ 7×4＋ 8×6＋ 9×10＋ 12×11＝ 304.2.已知 a1＝ 2， a2＝ 7， a3＝ 8， a4＝ 9， a5＝ 12， b1＝ 3， b2＝ 4， b3＝ 6，b4＝ 10， b5＝ 11.将 bi(i＝ 1,2,3,4,5)重新排列记为 c1， c2， c3， c4， c5，则a1c1＋ a2c2＋ … ＋ a5c5的最大值是A.324 B.314C.304 D.212答案解析√1 2 43解析 设 0＜ a1≤a2≤a3≤…≤an ，3.n个正数与这 n个正数的倒数的乘积的和的最小值为 ___.答案解析n则由排序不等式，得逆序和 ≤乱序和 ≤顺序和，1 2 43证明 由题意不妨设 a≥b＞ 0.证明规律与方法1.对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种 “搭配 ”的顺序被分为三种形式：顺序和、逆序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的 “次序 ”，两种较为简单的是 “顺与逆 ”，而乱序和也就是不按 “常理 ”的顺序了 .2.排序不等式的本质两实数序列同方向单调 (同时增或同时减 )时所得两两乘积之和最大，反方向单调 (一增一减 )时所得两两乘积之和最小 .3.排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即 a1＝ a2＝ … ＝ an或 b1＝ b2＝ b3＝ … ＝ bn.4.排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题 .因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题 .本课结束第二章 §3 数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的基本原理 .2.了解数学归纳法的应用范围 .3.会用数学归纳法证明一些简单问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下 .思考 1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 ① 第一辆自行车倒下；② 任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下 .思考 2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案 适合解决一些与正整数 n有关的问题 .梳理 数学归纳法的概念及步骤(1)数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤：① 证明当 时命题成立；② 假设当 ____________________时命题成立，证明当 时命题也成立 .在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立 .这种证明方法称为数学归纳法 .n＝ n0n＝ k＋ 1n＝ k(k∈ N＋，且 k≥n0)(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与 有关的数学命题的证明 .(3)数学归纳法的基本过程正整数题型探究类型一 用数学归纳法证明等式(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈ N＋ )时，等式成立，证明即当 n＝ k＋ 1时，等式也成立 .由 (1)(2)可知，原等式对 n∈ N＋均成立 .反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n＝ n0时命题的形式，二是要准确把握由 n＝ k到 n＝ k＋ 1时，命题结构的变化特点 .并且一定要记住：在证明 n＝ k＋ 1成立时，必须使用归纳假设 .证明(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈ N＋ )时，等式成立，当 n＝ k＋ 1时， 12＋ 22＋ 32＋ … ＋ k2＋ (k＋ 1)2所以当 n＝ k＋ 1时等式也成立 .由 (1)(2)可知，等式对任何 n∈ N＋都成立 .类型二 证明与整除有关的问题例 2 求证： x2n－ y2n(n∈ N＋ )能被 x＋ y整除 .证明证明 (1)当 n＝ 1时， x2－ y2＝ (x＋ y)(x－ y)能被 x＋ y整除 .(2)假设 n＝ k(k≥1， k∈ N＋ )时， x2k－ y2k能被 x＋ y整除，那么当 n＝ k＋ 1时， x2k＋ 2－ y2k＋ 2＝ x2·x2k－ y2·y2k－ x2y2k＋ x2y2k＝ x2(x2k－ y2k)＋ y2k(x2－ y2).∵ x2k－ y2k与 x2－ y2都能被 x＋ y整除，∴ x2(x2k－ y2k)＋ y2k(x2－ y2)能被 x＋ y整除 .即当 n＝ k＋ 1时， x2k＋ 2－ y2k＋ 2能被 x＋ y整除 .由 (1)(2)可知，对任意正整数 n，命题均成立 . 反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式 .这往往要利用 “添项 ”与 “减项 ”“因式分解 ”等变形技巧来凑出 n＝ k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证 .跟踪训练 2 用数学归纳法证明： n3＋ (n＋ 1)3＋ (n＋ 2)3能被 9整除 (n∈ N＋ ).证明证明 (1)当 n＝ 1时， 13＋ 23＋ 33＝ 36能被 9整除，所以结论成立 .(2)假设当 n＝ k(k∈ N＋， k≥1)时结论成立，即 k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3能被 9整除 .则当 n＝ k＋ 1时， (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3＋ (k＋ 3)3＝ [k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3]＋ [(k＋ 3)3－ k3]＝ [k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3]＋ 9k2＋ 27k＋ 27＝ [k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3]＋ 9(k2＋ 3k＋ 3).因为 k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3能被 9整除， 9(k2＋ 3k＋ 3)也能被 9整除，所以 (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3＋ (k＋ 3)3也能被 9整除，即当 n＝ k＋ 1时结论也成立 .由 (1)(2)知，命题对一切 n∈ N＋成立 .达标检测1 2 43解析 边数最少的凸 n边形为三角形，故 n0＝ 3.1.用数学归纳法证明 “凸 n边形的内角和等于 (n－ 2)π”时，归纳奠基中 n0的取值应为A.1 B.2 C.3 D.4答案解析√1 2 43解析 当 n＝ 1时， n＋ 1＝ 2，故左边所得的项为 1＋ a＋ a2.A.1 B.1＋ a＋ a2C.1＋ a D.1＋ a＋ a2＋ a3答案解析√1 2 43解析 34(k＋ 1)＋ 1＋ 52(k＋ 1)＋ 1＝ 34k＋ 5＋ 52k＋ 3＝ 81×34k＋ 1＋25×52k＋ 1＝ 81×34k＋ 1＋ 81×52k＋ 1－ 56×52k＋ 1＝ 81×(34k＋ 1＋ 52k＋ 1)－56×52k＋ 1.3.用数学归纳法证明 34n＋ 1＋ 52n＋ 1(n∈ N)能被 8整除，当 n＝ k＋ 1时， 34(k＋ 1)＋ 1＋ 52(k＋ 1)＋ 1应变形为___________________________________________________________. 答案解析81×(34k＋ 1＋ 52k＋ 1)－ 56×52k＋ 1(或 25×(34k＋ 1＋52k＋ 1)＋56×34k＋1)1 2 43证明 (1)当 n＝ 1时，左边＝ 1，右边＝ 1，等式成立 .(2)假设当 n＝ k(k≥1， k∈ N＋ )时，等式成立，即 1＋ 3＋ … ＋ (2k－ 1)＝ k2，那么，当 n＝ k＋ 1时，1＋ 3＋ … ＋ (2k－ 1)＋ [2(k＋ 1)－ 1]＝ k2＋ [2(k＋ 1)－ 1]＝ k2＋ 2k＋ 1＝ (k＋ 1)2.所以当 n＝ k＋ 1时等式成立 .由 (1)(2)可知，等式对任意正整数 n都成立 .4.用数学归纳法证明 1＋ 3＋ … ＋ (2n－ 1)＝ n2(n∈ N＋ ).证明规律与方法1.应用数学归纳法时应注意的问题(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是 n＝ 1，有时需验证 n＝ 2， n＝ 3.(2)对 n＝ k＋ 1时式子的项数以及 n＝ k与 n＝ k＋ 1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障 .(3)“假设 n＝ k时命题成立，利用这一假设证明 n＝ k＋ 1时命题成立 ”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范 .2.判断利用数学归纳法证明问题是否正确(1)要看有无归纳奠基 .(2)证明当 n＝ k＋ 1时是否应用了归纳假设 .3.与 n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明 .其中关键问题是从当 n＝k＋ 1时的表达式中分解出 n＝ k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立 .本课结束3.2 数学归纳法的应用第二章 §3 数学归纳法与贝努利不等式学习目标1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式 .2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式 .3.体会归纳 —猜想 —证明的思想方法 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 用数学归纳法证明与正整数 n有关的不等式思考 1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？答案 (1)归纳奠基：验证初始值 .(2)归纳递推：在假设 n＝ k成立的前提下，证明 n＝ k＋ 1时问题成立 .思考 2 证明不等式与证明等式有什么不同？答案 证明不等式需注意的是对式子进行 “放缩 ”.梳理 利用数学归纳法证明不等式在运用数学归纳法证明不等式时，由 n＝ k时命题成立，推导 n＝ k＋ 1命题成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、______等结合进行 .比较法 分析法 综合法 放缩法知识点二 贝努利不等式对任意实数 x≥－ 1和任何正整数 n，有 (1＋ x)n≥1＋ nx.题型探究类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式证明(2)假设当 n＝ k(k∈ N＋， k≥2)时，命题成立，即当 n＝ k＋ 1时，命题成立 .由 (1)(2)可知，不等式对一切 n∈ N＋， n≥2都成立 .反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一 .(2)假设当 n＝ k(k1， k∈ N＋ )时，不等式成立，证明所以当 n＝ k＋ 1时，不等式成立 .由 (1)(2)知，对于任意大于 1的正整数 n，不等式均成立 .类型二 利用数学归纳法证明与数列有关的不等式当 n≥2时， an＝ Sn－ Sn－ 1，即 Sn－ Sn－ 1＝－ 2SnSn－ 1.解答② 假设当 n＝ k(k≥1 ， k∈N ＋ )时，不等式成立，证明即当 n＝ k＋ 1时，不等式成立 .由 ①② 可知，对任意 n∈ N＋不等式都成立 .反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础 .(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明 .证明达标检测1 2 43解析 由题知， n的最小值为 3，所以第一步验证 n＝ 3是否成立 .1.用数学归纳法证明 3n≥n3(n≥3， n∈ N＋ )，第一步验证A.n＝ 1 B.n＝ 2C.n＝ 3 D.n＝ 4答案解析√1 2 43 答案解析√1 2 43 答案解析1 2 434.用数学归纳法证明： 2n＋ 2＞ n2， n∈ N＋ .证明1 2 43证明 (1)当 n＝ 1时，左边＝ 21＋ 2＝ 4；右边＝ 1，左边＞右边；当 n＝ 2时，左边＝ 22＋ 2＝ 6，右边＝ 22＝ 4，所以左边＞右边；当 n＝ 3时，左边＝ 23＋ 2＝ 10，右边＝ 32＝ 9，所以左边＞右边 .因此当 n＝ 1,2,3时，不等式成立 .(2)假设当 n＝ k(k≥3且 k∈ N＋ )时，不等式成立，即 2k＋ 2＞ k2.当 n＝ k＋ 1时， 2k＋ 1＋ 2＝ 2·2k＋ 2＝ 2(2k＋ 2)－ 2＞ 2k2－ 2＝ k2＋ 2k＋ 1＋ k2－ 2k－ 3＝ (k2＋ 2k＋ 1)＋ (k＋ 1)(k－ 3)≥k2＋ 2k＋ 1＝ (k＋ 1)2(因为k≥3，所以 k－ 3≥0， k＋ 1＞ 0). 1 2 43所以 2k＋ 1＋ 2＞ (k＋ 1)2.故当 n＝ k＋ 1时，原不等式也成立 .由 (1)(2)知，原不等式对任何 n∈ N＋都成立 . 规律与方法数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由 n＝ k到 n＝ k＋ 1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行 “放大 ”或者 “缩小 ”，才能使用到 n＝ k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一 .(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程 .本课结束第二章 几个重要的不等式章末复习学习目标1.梳理本章的重点知识，构建知识网络 .2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用 .3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成 “ 归纳 —猜想 —证明 ” 的思维模式 .知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.柯西不等式定理 1：对任意实数 a， b， c， d，有 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥(ac＋ bd)2.当向量 (a， b)与向量 (c， d)共线时，等号成立 .2.排序不等式定理 1：设 a， b和 c， d都是实数，如果 a≥b， c≥d，那么 ac＋ bd≥ad＋ bc.当且仅当 a＝ b(或 c＝ d)时取 “＝ ”号 .定理 2： (排序不等式 )设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn ，则 (顺序和 )a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn≥(乱序和 ) ≥(逆序和 )a1bn＋ a2bn－ 1＋ … ＋ anb1.其中 j1， j2， … ， jn是 1， 2， … ， n的任一排列方式，上式当且仅当 a1＝a2＝ … ＝ an(或 b1＝ b2＝ … ＝ bn)时取 “＝ ”号 .3.贝努利不等式对任何实数 x≥－ 1和任何正整数 n，有 (1＋ x)n≥1＋ nx.4.数学归纳法数学归纳法原理是证明关于正整数 n的命题 .步骤： (1)验证当 n取第一个值 n0(如 n0＝ 1或 2等 )时命题正确 .(2)假设当 n＝ k时 (k∈ N＋， k≥n0)命题正确，证明当 n＝ k＋ 1时命题也正确 .题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式证明又已知 a， b， c， d不全相等，则 ① 中等号不成立 .反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会 .∴ 原结论成立 . 证明类型二 利用排序不等式证明不等式证明 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋ bB＋ cC＝ aA＋ bB＋ cC，aA＋ bB＋ cC≥bA＋ cB＋ aC，aA＋ bB＋ cC≥cA＋ aB＋ bC.三式相加，得 3(aA＋ bB＋ cC)≥(a＋ b＋ c)(A＋ B＋ C)证明引申探究证明证明 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.由 0＜ b＋ c－ a， 0＜ a＋ b－ c， 0＜ a＋ c－ b，有 0＜ A(b＋ c－ a)＋ C(a＋ b－ c)＋ B(a＋ c－ b)＝ a(B＋ C－ A)＋ b(A＋ C－ B)＋ c(A＋ B－ C)＝ a(π－ 2A)＋ b(π－ 2B)＋ c(π－ 2C)＝ (a＋ b＋ c)π－ 2(aA＋ bB＋ cC).反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合 .这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择 .(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷 .证明 由 a， b， c的对称性，不妨设 a≥b≥c，证明等号成立的条件为 a＝ b＝ c.类型三 归纳 — 猜想 — 证明例 3 已知数列 {an}的第一项 a1＝ 5且 Sn－ 1＝ an(n≥2， n∈ N＋ ).(1)求 a2， a3， a4，并由此猜想 an的表达式；解答解 a2＝ S1＝ a1＝ 5， a3＝ S2＝ a1＋ a2＝ 10，a4＝ S3＝ a1＋ a2＋ a3＝ 5＋ 5＋ 10＝ 20， (2)用数学归纳法证明 {an}的通项公式 .证明证明 ① 当 n＝ 2时， a2＝ 5×22－ 2＝ 5，公式成立 .② 假设当 n＝ k时成立，即 ak＝ 5×2k－ 2(k≥2， k∈ N＋ )，当 n＝ k＋ 1时，由已知条件和假设，有 ak＋ 1＝ Sk＝ a1＋ a2＋ … ＋ ak＝ 5＋ 5＋ 10＋ … ＋ 5×2k－ 2故当 n＝ k＋ 1时公式也成立 .由 ①② 可知，对 n≥2， n∈ N＋均有 an＝ 5×2n－ 2.反思与感悟 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路：观察 —— 归纳—— 猜想 —— 证明 .即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明 .跟踪训练 3 在数列 {an}， {bn}中， a1＝ 2， b1＝ 4，且 an， bn， an＋ 1成等差数列， bn， an＋ 1， bn＋ 1成等比数列 (n∈ N＋ ).(1)求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，并猜想 an， bn的表达式；解答猜想 an＝ n(n＋ 1)， bn＝ (n＋ 1)2.(2)用数学归纳法证明你的猜想 .证明证明 ① 当 n＝ 1时，由 a1＝ 2， b1＝ 4知，结论正确 .② 假设当 n＝ k(k≥1， k∈ N＋ )时结论正确，即 ak＝ k(k＋ 1)， bk＝ (k＋ 1)2.则当 n＝ k＋ 1时，ak＋ 1＝ 2bk－ ak＝ 2(k＋ 1)2－ k(k＋ 1)＝ (k＋ 1)(k＋ 2)， 即当 n＝ k＋ 1时结论正确 .由 ①② 知猜想的结论正确 .类型四 利用柯西不等式或排序不等式求最值例 4 (1)求实数 x， y的值，使得 (y－ 1)2＋ (x＋ y－ 3)2＋ (2x＋ y－ 6)2达到最小值 .解答解 由柯西不等式，得(12＋ 22＋ 12)×[(y－ 1)2＋ (3－ x－ y)2＋ (2x＋ y－ 6)2]≥[1×(y－ 1)＋ 2×(3－ x－ y)＋ 1×(2x＋ y－ 6)]2＝ 1， 解 设 b1， b2， b3， b4， b5是 a1， a2， a3， a4， a5的一个排列，且 b1＜b2＜ b3＜ b4＜ b5.因此 b1≥1， b2≥2， b3≥3， b4≥4， b5≥5. 解答反思与感悟 利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理 .在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易 .(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略 .解答达标检测1 2 43 5∴ y≤3 ， y的最大值为 3.答案解析√√1 2 43 5 答案解析∴ P≥Q ，当且仅当 a1＝ a2＝ … ＝ an0时等号成立 . 1 2 43 5A.P＝ Q B.PQC.P0 ，1 2 43 5解析 (k＋ 1)3＋ 5(k＋ 1)＝ k3＋ 3k2＋ 3k＋ 1＋ 5k＋ 5＝ k3＋ 5k＋ 3k2＋ 3k＋ 6＝ k3＋ 5k＋ 3k(k＋ 1)＋ 6.4.用数学归纳法证明 “n3＋ 5n能被 6整除 ”的过程中，当 n＝ k＋ 1时，对式子 (k＋ 1)3＋ 5(k＋ 1)应变形为 ___________________.答案解析k3＋ 5k＋ 3k(k＋ 1)＋ 6