1、16 平面向量数量积的坐标表示内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)知识点 1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 ab x1x2 y1y2.(2)模、夹角、垂直的坐标表示：【预习评价】1已知向量 a(4,7)，向量 b(5,2)，则 ab的值是( )A34 B27C43 D6解析 ab(4,7)(5,2)45726.答案 D2设向量 (1,0)， (1,1)，则向量 ， 的夹角为( )O
2、A OB OA OB A. B. 6 4C. D.3 2解析 cos ，11 01112 12 12 0， ， .2 3答案 C知识点 2 直线的方向向量(1)定义：与直线 l共线的非零向量 m称为直线 l的方向向量(2)性质：给定斜率为 k的直线 l的一个方向向量为 m(1， k)【预习评价】1直线 2x3 y10 的一个方向向量是( )2A(2，3) B(2,3)C(3,2) D(3,2)答案 D2过点 A(2,1)且与向量 a(3,1)平行的直线方程为_答案 x3 y50题型一 平面向量数量积的坐标运算【例 1】 已知向量 a与 b同向， b(1,2)， ab10，求：(1)向量 a的坐
3、标；(2)若 c(2，1)，求( ac)b.解 (1)设 a b( ，2 ) ab10， cos 010，5 5解得 2. a(2,4)(2)(ac)b(224(1) b0 b0.规律方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算【训练 1】 已知向量 a(1,3)， b(2,5)， c(2,1)求：(1) ab；(2)(a b)(2a b)；(3)( ab)c， a(bc)解 (1) ab(1,3)(2,5)123517.(2) a b(1,3)(2,5
4、)(3,8)，2a b2(1,3)(2,5)(2,6)(2,5)(0,1)，( a b)(2a b)(3,8)(0,1)30818.(3)(ab)c17 c17(2,1)(34,17)，a(bc) a(2,5)(2,1)(1,3)(2251)9(1,3)(9,27)题型二 平面向量的夹角问题【例 2】 已知 (2,1)， (1,7)， (5,1)，设 C是直线 OP上的一点(其中 O为坐OP OA OB 标原点)(1)求使 取得最小值时的 ；CA CB OC (2)对(1)中求出的点 C，求 cos ACB.解 (1)点 C是直线 OP上的一点，向量 与 共线，OC OP 设 t (tR)，O
5、C OP 3则 t(2,1)(2 t， t)，OC (12 t,7 t)，CA OA OC (52 t,1 t)，CB OB OC (12 t)(52 t)(7 t)(1 t)CA CB 5 t220 t125( t2) 28.当 t2 时， 取得最小值，此时 (4,2)CA CB OC (2)由(1)知 (4,2)，OC (3,5)， (1，1)，CA CB | | ，| | ， 358.CA 34 CB 2 CA CB cos ACB .CA CB |CA | |CB | 41717规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤【训练 2】 已知向量 a e1 e2， b4 e13 e2，其中 e
6、1(1,0)， e2(0,1)(1)试计算 ab及| a b|的值；(2)求向量 a与 b夹角的余弦值解 (1) a e1 e2(1,0)(0,1)(1，1)，b4 e13 e24(1,0)3(0,1)(4,3)， ab413(1)1，|a b| . 4 1 2 3 1 2 25 4 29(2)由 ab| a|b|cos ，cos .ab|a|b| 125 2104【例 3】 设平面向量 a(1,1)， b(0,2)求 a2 b的坐标和模的大小解 a(1,1)， b(0,2)， a2 b(1,1)2(0,2)(1，3)，| a2 b| .12 3 2 10【迁移 1】 若 c3 a( ab)b
7、，求| c|.解 ab x1x2 y1y22， c3(1,1)2(0,2)(3，1)，| c| .32 1 2 10【迁移 2】 若 ka b与 a b共线，求 k的值解 a(1,1)， b(0，2)，ka b k(1,1)(0，2)( k， k2)a b(1,1)(0，2)(1，1) ka b与 a b共线， k2( k)0. k1.【迁移 3】 若 ka b的模等于 .求 k的值10解 ka b k(1,1)(0，2)( k， k2) ka b的模等于 .10 ，k2 k 2 2 10化简得 k22 k30，解得 k1 或 k3.即当 k1 或 k3 时满足条件规律方法 1.已知向量 a(
8、 x， y)求其模，主要利用公式| a| 求解x2 y22形如( ma nb)(ka eb)(m， n， k， eR)的坐标运算，有两条途径：其一，展开转化为 a2， ab， b2的坐标运算；其二，先求 ma nb与 ka eb的坐标，再运算.课堂达标1已知 a(3，1)， b(1，2)，则 a与 b的夹角 为( )A. B. 6 4C. D.3 2解析 | a| ，| b| ， ab5.10 55cos .ab|a|b| 5105 22又 0， a与 b的夹角为 .4答案 B2已知向量 a(2，3)， b(3， m)，且 a b，则 m_解析 由题意，得233 m0， m2.答案 23若 a
9、(2,3)， b(4,7)，则 a在 b方向上的射影是_解析 ab13，| b| ，65|a|cos .ab|b| 1365 136565答案 6554已知平面向量 a(2,4)， b(1,2)，若 c a( ab)b，则| c|_.解析 a(2,4)， b(1,2)， ab2(1)426， c a6 b， c2 a212 ab36 b220126365128.| c|8 .2答案 8 25已知 a(4,3)， b(1,2)(1)求 a与 b的夹角 的余弦值；(2)若( a b)(2 a b)，求实数 的值解 (1) ab4(1)322，|a| 5，| b| ，42 32 1 2 22 5co
10、s .ab|a|b| 255 2525(2) a b(4 ，32 )，2 a b(7,8)，又( a b)(2 a b)，( a b)(2a b)7(4 )8(32 )0， .529课堂小结1设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a bx1x2 y1y2 0.6应用该条件要注意：由 a b可得 x1x2 y1y20；反过来，由 x1x2 y1y20 可得 a b.2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.基础过关1已知向量
11、 a(5,6)， b(6,5)，则 a与 b( )A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向解析 ab56650， a b.答案 A2已知 a(3,2)， b(1,0)，向量 a b与 a2 b垂直，则实数 的值为( )A B.17 17C D.16 16解析 由 a(3,2)， b(1,0)，知 a b(3 1,2 )， a2 b(1,2)又( a b)(a2 b)0，3 14 0， .17答案 A3平面向量 a与 b的夹角为 60， a(2,0)，| b|1，则| a2 b|等于( )A. B23 3C4 D12解析 a(2,0)，| b|1，| a|2， ab21cos 601.
12、| a2 b| 2 .a2 4ab 4b2 3答案 B4已知 a(3， )， b(1,0)，则( a2 b)b_.3解析 a2 b(1， )，3(a2 b)b11 01.3答案 15若平面向量 a(1，2)与 b的夹角是 180，且| b|4 ，则 b_.57解析 由题意可设 b a( ，2 )， 0，则| b|2 24 25 280， 4， b4 a(4,8)答案 (4,8)6已知平面向量 a(1， x)， b(2 x3， x)(xR)(1)若 a b，求 x的值；(2)若 a b，求| a b|.解 (1) a b， ab0，即 1(2x3) x( x)0，解得 x1 或 x3.(2) a
13、 b，1( x) x(2x3)0，解得 x0 或 x2.又| a b| a b 2 ，|a|2 2ab |b|2| a b|2 或 2 .57已知 a(1,2)， b(1， )，分别确定实数 的取值范围，使得：(1)a与 b的夹角为直角；(2)a与 b的夹角为钝角；(3)a与 b的夹角为锐角解 设 a与 b的夹角为 ，ab(1,2)(1， )12 .(1)因为 a与 b的夹角为直角，所以 cos 0，所以 ab0，即 12 0，所以 .12(2)因为 a与 b的夹角为钝角，所以 cos 0 且 cos 1，所以 ab0，且 a与 b不反向由 ab0，得 12 0，故 ，12由 a与 b共线得
14、2，故 a与 b不可能反向所以 的取值范围为 .( ， 12)(3)因为 a与 b的夹角为锐角，所以 cos 0，且 cos 1，所以 ab0 且 a， b不同向8由 ab0，得 ，由 a与 b同向得 2.12所以 的取值范围为 (2，)(12， 2)能力提升8.如图所示，矩形 ABCD中， AB4，点 E为 AB的中点，若 ，则| |DE AC DE ( )A. B252 3C3 D2 2解析 以 A为坐标原点，建立坐标系则 A(0,0)， E(2,0)， C(4， x)， D(0， x)(x0) (2， x)， (4， x)DE AC ，DE AC 24( x)x0， x2 .2 (2，2
15、 )，| | 2 .DE 2 DE 22 22 2 3答案 B9已知 (3,1)， (0,5)，且 ， ，则点 C的坐标是( )OA OB AC OB BC AB A. B.( 3， 294) ( 3， 294)C. D.(3，294) (3， 294)解析 设 C的坐标为( x， y)，则( x3， y1)， (3,4)， ( x， y5)AC AB BC 由 ， ，得AC OB BC AB Error!解得 x3， y .294答案 B10已知点 A(1,2)， B(3,4)， C(2,2)， D(3,5)，则向量 在向量 上的投影为AB CD _9解析 由题意知 (2,2)， (1,3)
16、，设 和 的夹角为 ，则向量 在向量 上的AB CD AB CD AB CD 投影为| |cos .AB AB CD |CD | 2 610 2105答案 210511设 a(2， x)， b(4,5)，若 a与 b的夹角 为钝角，则 x的取值范围是_解析 为钝角，cos 0，ab|a|b|即 ab85 x0， x .85 a b时有4 x100，即 x ，52当 x 时， a(2， ) b，52 52 12 a与 b反向，即 .故 a与 b的夹角为钝角时，x 且 x .85 52答案 x 且 x85 5212在 ABC中， (2,3)， (1， k)，若 ABC是直角三角形，求 k的值AB
17、AC 解 (2,3)， (1， k)，AB AC (1， k3)BC AC AB 若 A90，则 213 k0， k ；AB AC 23若 B90，则 2(1)3( k3)0，AB BC k ；113若 C90，则 1(1) k(k3)0，AC BC k .3132故所求 k的值为 或 或 .23 113 31321013(选做题)设向量 a， b满足| a|1，| b|1，且 a与 b具有关系|ka b| |a kb|(k0)3(1)a与 b能垂直吗？(2)若 a与 b夹角为 60，求 k的值解 (1)因为| ka b| |a kb|，3所以( ka b)23( a kb)2，因为| a| b|1.所以 k212 kab3(1 k22 kab)，所以 ab .因为 k210，所以 ab0，即 a与 b不垂直k2 14k(2)因为 a与 b夹角为 60，且| a| b|1，所以 ab| a|b|cos 60 .12所以 .所以 k1.k2 14k 12
