1、15.函数与导数1(2018浙江省杭州二中模拟)已知函数 f(x) ln x.2x2 x(1)求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)求证： f(x)0.(1)解 f(x) ln x的定义域是(0，)，2x2 xf( x) ， 22x 1x2 x2 1x x3 2x2 3x 2x2 x2所以 f(1) ，又 f(1)1，则切线方程为 x2 y30.12(2)证明 令 h(x) x32 x23 x2，则 h( x)3 x24 x3，设 h( x)0 的两根为 x1， x2，由于 x1x210，则 h(x)在(0， x2)上是单调递减的，在( x2，)上是单调递增的而 h(0)
2、0，所以 h(x)在(0，)上存在唯一零点 x0，且 x0(1,2)，所以 f(x)在(0， x0)上单调递减，在( x0，)上单调递增所以 f(x) f(x0) ln x0，2x20 x0因为 x0(1,2)，ln x00， f(x) 0，所以 f(x)0.2x20 x02已知函数 f(x) x2( a2) x alnx(aR)(1)求函数 y f(x)的单调区间；(2)当 a1 时，证明：对任意的 x0， f(x)e x x2 x2.(1)解 函数 f(x)的定义域是(0，)，f( x)2 x( a2) .ax 2x2 a 2x ax x 12x ax当 a0 时， f( x)0 对任意
3、x(0，)恒成立，所以函数 f(x)在区间(0，)上单调递增当 a0 时，由 f( x)0，得 x ，a2由 f( x)0，得 0 x ，a22所以函数 f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减(a2， ) (0， a2)(2)证明 当 a1 时， f(x) x2 xln x，要证明 f(x)e x x2 x2，只需证明 exln x20，设 g(x)e xln x2，则问题转化为证明对任意的 x0， g(x)0，令 g( x)e x 0，得 ex ，1x 1x容易知道该方程有唯一解，不妨设为 x0，则 x0满足 0ex ，1x0当 x变化时， g( x)和 g(x)的变化情况如下表：x
4、 (0， x0) x0 (x0，)g( x) 0 g(x) 单调递减 单调递增g(x)min g(x0) 0eln x02 x02，1x0因为 x00，且 x01，所以 g(x)min2 22 20，1x0x0 1因此不等式得证3已知函数 f(x) x22 x2 alnx(aR)(1)若 a1，求函数在 A(1,1)处的切线方程；(2)若函数 y f(x)有两个极值点 x1， x2，且 x1 .5 2ln24(1)解 当 a1 时， f(x) x22 x2ln x，f( x)2 x2 ， f(1)1，1x所以函数在 A(1,1)处的切线方程 y1 f(1)( x1)，化简，得 x y0.(2)
5、证明 函数的定义域为(0，)，f( x)2 x2 ，ax 2x2 2x ax则 x1， x2是方程 2x22 x a0 的两个根，所以 x1 x21， x1x2 ，a2所以 a2 x22 x ，23又 x10，则 g(t)在 上为增函数，(12， 1)所以 g(t)g ，(12) 5 2ln24所以 f(x2) .5 2ln244.已 知 函 数 f(x) lnx， g(x) f(x) ax2 bx， 函 数 g(x)的 图 象 在 点 (1， g(1)处 的 切 线 平行 于 x轴 .(1)确定 a与 b的关系；(2)若 a0，试讨论函数 g(x)的单调性解 (1)依题意得 g(x)ln x
6、 ax2 bx， x0，则 g( x) 2 ax b，1x由函数 g(x)的图象在点(1， g(1)处的切线平行于 x轴得，g(1)12 a b0， b2 a1.(2)由(1)得 g( x) .2ax2 (2a 1)x 1x (2ax 1)(x 1)x函数 g(x)的定义域为(0，)，当 a0 时， g( x) ，x 1x由 g( x)0得 01；当 a0时，令 g( x)0，则 x1 或 x ，12a若 0 时，12a 12由 g( x)0得 x1或 01，即 00得 x 或 0 时，函数 g(x)在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递12 (0， 12a) (12a， 1) (1，
7、)增5已知函数 f(x) xlnx， g(x)( x2 ax3)e x(a为实数)(1)当 a5 时，求函数 g(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间 t， t2( t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数 x1， x2 ，使方程 g(x)2e xf(x)成立，求实数 a的取值范1e， e围解 (1)当 a5 时， g(x)( x25 x3)e x， g(1)e， g( x)( x23 x2)e x，故切线的斜率为 g(1)4e，所以切线方程为 ye4e( x1)，即 4ex y3e0.(2)f(x) xlnx的定义域为(0，)，因为 f( x)ln x1，令 f( x
8、)0，得 x ，1e所以在(0，)上，当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0， 1e) 1e (1e， )f( x) 0 f(x) 极小值(最小值) 当 t 时，在区间 t， t2上， f(x)为增函数，1e所以 f(x)min f(t) tlnt，5当 00，3x 3x则 h( x)1 .2x 3x2 x 3x 1x2当 x变化时， h( x)， h(x)的变化情况如下表：x (1e， 1) 1 (1，e)h( x) 0 h(x) 极小值(最小值) 因为 h 3e2， h(e) e2， h(1)4，(1e) 1e 3e所以 h(e) h 42e 0， f(x)在 上单调递增，(a2， e) (a2， e)所以 f(x)的最小值为6f a aln a .(a2) a24 a2 (lna2 a4 1)因为 2 ，所以 f(e)0，e2 2ee 1所以 a2e，综上， a1.
