2018-2019学年高中数学 第三章 推理与证明课件（打包6套）北师大版选修1-2.zip

1.1 归纳推理第三章 §1 归纳与类比1.了解归纳推理的含义 .2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用 .学习目标问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 (1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说 “天下乌鸦一般黑 ”；(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电 .以上属于什么推理？答案 属于归纳推理 .符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 .知识点 归纳推理梳理 归纳推理的定义及特征定义根据一类事物 中 事物 具有某种属性，推断该类事物 中 ______事物 都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理特征(1)归纳推理是 由 到 ，由 到 的 推理 .(2)利用归纳推理得出的 结论 是 正确的部分 每一个部分 整体 个别 一般不一定[思考辨析 判断正误 ]1.归纳推理得到的结论可作为定理应用 .( )2.由个别到一般的推理为归纳推理 .( )3.由归纳推理得出的结论一定是正确的 .( )×√×题型探究例 1 (1)观察下列等式：1＋ 1＝ 2×1，(2＋ 1)(2＋ 2)＝ 22×1×3，(3＋ 1)(3＋ 2)(3＋ 3)＝ 23×1×3×5，…照此规律，第 n个等式可为 _______________________________________.类型一 归纳推理在数与式中的应用答案(n＋ 1)(n＋ 2)…(n ＋ n)＝ 2n×1×3×…×(2n － 1)解析解析 观察规律可知，左边为 n项的积，最小项和最大项依次为 (n＋ 1)，(n＋ n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n个等式为 (n＋ 1)(n＋ 2)…(n ＋ n)＝ 2n×1×3×…×(2n － 1).(2)已知 f(x)＝ ，设 f1(x)＝ f(x)， fn(x)＝ fn－ 1(fn－ 1(x))(n1，且n∈ N＋ )，则 f3(x)的表达式为 _______________，猜想 fn(x)(n∈ N＋ )的表达式为_______________.答案解析又 ∵ fn(x)＝ fn－ 1(fn－ 1(x))，引申探究在本例 (2)中，若把 “fn(x)＝ fn－ 1(fn－ 1(x))”改为 “fn(x)＝ f(fn－ 1(x))”，其他条件不变，试猜想 fn(x) (n∈ N＋ )的表达式 .解答又 ∵ fn(x)＝ f(fn－ 1(x))，反思与感悟 已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式 (或不等式 )中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式 (或不等式 )中结构形成的特征；(3)提炼出等式 (或不等式 )的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论 .解答类型二 归纳推理在数列中的应用解答解 当 n＝ 1时， a1＝ 1，… ，反思与感悟 用归纳推理解决数列问题的方法在求数列的通项和前 n项和公式中，经常用到归纳推理得出结论，在得出具体结论后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想得出结论 .跟踪训练 2 如图所示的三角形数阵叫 “莱布尼兹调和三角形 ”，则运用归纳推理得到第 11行第 2个数 (从左往右数 )为答案√解析例 3 如图 (1)是一个水平摆放的小正方体木块，图 (2)，图 (3)是由 (1)中的小正方体木块叠放而成的 .按照这样的规律摆放下去，第 7个图形中，小正方体木块的总个数是 ____.类型三 归纳推理在图形中的应用答案91解析解析 记第 n个图形中木块的总数为 an，观察前三个图形中的木块数可知， a1＝ 1，a2＝ 1＋ (1＋ 4)＝ 1＋ 5＝ 6，a3＝ 1＋ 5＋ (5＋ 4)＝ 1＋ 5＋ 9＝ 15，按照题中的规律放下去，可知，第 7个图形中小木块的总个数为 1＋ 5＋ 9＋ … ＋ 25＝ 91.反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练 3 如图，在所给的四个选项中，能使两组图呈现一定的规律性的为答案√解析解析 观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次向左移动一格，由第二组的前两个图，可知整体图形再次向左移动一格，第三个图，左边没有格的情况下，应从最右边出现，故选 A.达标检测1.根据给出的数塔猜测 123 456×9＋ 7等于1×9＋ 2＝ 1112×9＋ 3＝ 111123×9＋ 4＝ 1 1111 234×9＋ 5＝ 11 11112 345×9＋ 6＝ 111 111…A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 1131 2 3 4 5 答案√解析解析 由数塔猜测应是各位都是 1的七位数，即 1 111 111.1 2 3 4 5 答案解析√1 2 3 4 5 答案√解析1.2 类比推理第三章 §1 归纳与类比1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理 .2.正确认识合情推理在数学中的重要作用 .学习目标问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星； (2)有大气层，在一年中也有季节更替； (3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案 类比推理 .知识点一 类比推理梳理 类比推理的定义及特征定义由于两类不同对象具有 某些 的 特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也 具有 的 其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理特征① 类比推理 是 之间 的推理；② 利用类比推理得出的 结论 是 正确的类似类似两类事物特征不一定思考 归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理 .联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假 .知识点二 合情推理梳理 合情推理的定义及分类定义：根据实验和实践的结果、个人的 和 、已有的 和正确的结论 (定义、公理、定理等 )，推测出某些结果的推理方式 .分类：常见的合情推理有 推理与 推理 .经验 直觉 事实归纳 类比[思考辨析 判断正误 ]1.由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理 .( )2.类比推理是从特殊到特殊的推理 .( )3.合乎情理的推理一定是正确的 .( )√×√题型探究类型一 平面图形与立体图形间的类比解答反思与感悟 (1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下： 平面图形 空间图形点 直线直线 平面边长 面积面积 体积三角形 四面体线线角 面面角跟踪训练 1 在平面几何里，有勾股定理： “设 △ ABC的两边 AB， AC互相垂直，则 AB2＋ AC2＝ BC2”.拓展到空间 (如图 )，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是__________________________________________________________________________________.答案解析解析 类比条件：类型二 数列中的类比推理例 2 在等差数列 {an}中，若 a10＝ 0，证明：等式 a1＋ a2＋ … ＋ an＝ a1＋ a2＋ … ＋ a19－ n(nb⇒ acbc”；② 由 “a(b＋ c)＝ ab＋ ac”类比得到 “sin(A＋ B)＝ sin A＋ sin B”；③ 由 “平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行 ”，类比得到 “空间中，垂直于同一直线的两直线相互平行 ”；④ 由 “分数的分子、分母同乘一个非零的数，分数值不变 ”类比得到 “分数的分子、分母同乘一个非零的式子，分数值不变 ”.其中正确结论的个数为A.0 B.1 C.2 D.3类型三 定义、定理或性质中的类比解析 答案√解析 当 c≤0时， ① 中类比的结论不正确；显然 ② 中类比的结论不正确；空间中，垂直于同一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故 ③ 中类比的结论不一定成立；④ 中类比的结论是正确的 .反思与感悟 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，例如实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数 0与零向量分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位 .因此我们可以从这四个方面进行类比 .答案√解析达标检测1.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是A.三角形 B.梯形C.平行四边形 D.矩形1 2 3 4 5 答案√解析解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选 C.1 2 3 4 5 答案2.下面使用类比推理，得出的结论正确的是A.若 “a·3＝ b·3，则 a＝ b”类比出 “若 a· 0＝ b· 0，则 a＝ b”B.“若 (a＋ b)c＝ ac＋ bc”类比出 “(a·b)c＝ ac·bc”解析解析 显然 A， B， D不正确，只有 C正确 .√1 2 3 4 5 答案解析3.根据 “正三角形的内切圆切于三边的中点 ”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点√解析 正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心 .§2 数学证明第三章 推理与证明1.理解演绎推理的意义 .2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 .3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 .学习目标问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点 .(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被 2整除， (2100＋ 1)是奇数，所以 (2100＋ 1)不能被 2整除 .答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理 .知识点一 演绎推理的含义梳理 定义 从一般性的原理出发， 推出 的 结论的推理特点 由 的 推理某个特殊情况下一般到特殊思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案 分为三段 .大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电 .知识点二 三段论梳理 一般模式 常用格式大前提 _______________ M是 P小前提 _________________ S是 M结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S是 P已知的一般原理所研究的特殊情况题型探究类型一 演绎推理与三段论解答例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式 .(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；解 平行四边形的对角线互相平分， 大前提菱形是平行四边形， 小前提菱形的对角线互相平分 . 结论解答(2)等腰三角形的两底角相等， ∠ A， ∠ B是等腰三角形的两底角，则∠ A＝ ∠ B；解 等腰三角形的两底角相等， 大前提∠ A， ∠ B是等腰三角形的两底角， 小前提∠ A＝ ∠ B. 结论解答(3)通项公式为 an＝ 2n＋ 3的数列 {an}为等差数列 .解 在数列 {an}中，如果当 n≥2时， an－ an－ 1为常数，则 {an}为等差数列，大前提当通项公式为 an＝ 2n＋ 3时，若 n≥2，则 an－ an－ 1＝ 2n＋ 3－ [2(n－ 1)＋ 3]＝ 2(常数 )， 小前提通项公式为 an＝ 2n＋ 3的数列 {an}为等差数列 . 结论反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系 .有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 .跟踪训练 1 (1)推理： “① 矩形是平行四边形； ② 正方形是矩形； ③ 所以正方形是平行四边形 ”中的小前提是 ____.(填序号 )(2)函数 y＝ 2x＋ 5的图像是一条直线，用三段论表示为大前提： ______________________________________；小前提： _______________________；结论： ____________________________.②答案一次函数 y＝ kx＋ b(k≠0)的图像是一条直线函数 y＝ 2x＋ 5是一次函数函数 y＝ 2x＋ 5的图像是一条直线类型二 三段论的应用例 2 如图， D， E， F分别是 BC， CA， AB上的点， ∠ BFD＝ ∠ A，DE∥ BA，求证： ED＝ AF，写出三段论形式的演绎推理 .证明命题角度 1 用三段论证明几何问题证明 因为同位角相等，两直线平行， 大前提∠ BFD与 ∠ A是同位角，且 ∠ BFD＝ ∠ A， 小前提所以 FD∥ AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提DE∥ BA，且 FD∥ AE， 小前提所以四边形 AFDE为平行四边形 . 结论因为平行四边形的对边相等， 大前提ED和 AF为平行四边形 AFDE的对边， 小前提所以 ED＝ AF. 结论反思与感悟 (1)用 “三段论 ”证明命题的格式(2)用 “三段论 ”证明命题的步骤① 理清证明命题的一般思路；② 找出每一个结论得出的原因；③ 把每个结论的推出过程用 “三段论 ”表示出来 .跟踪训练 2 已知：在空间四边形 ABCD中，点 E， F分别是 AB， AD的中点，如图所示，求证： EF∥ 平面 BCD.证明证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提点 E， F分别是 AB， AD的中点， 小前提所以 EF∥ BD. 结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF 平面 BCD， BD￿ 平面 BCD， EF∥ BD， 小前提所以 EF∥ 平面 BCD. 结论例 3 设函数 f(x)＝ 其中 a为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数a的取值范围 .解答命题角度 2 用三段论证明代数问题解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为 R， 大前提因为 f(x)的定义域为 R， 小前提所以 x2＋ ax＋ a≠0恒成立 . 结论所以 Δ＝ a2－ 4a0，∴ 在 (－ ∞， 0)和 (2－ a，＋ ∞)上， f′(x)0，∴ f(x)的单调增区间为 (－ ∞， 0)， (2－ a，＋ ∞).当 a＝ 2时， f′(x)≥0恒成立，∴ f(x)的单调增区间为 (－ ∞，＋ ∞).当 20，∴ f(x)的单调增区间为 (－ ∞， 2－ a)， (0，＋ ∞).综上所述，当 01)，证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋∞)上是增加的 .证明证明 方法一 (定义法 )任取 x1， x2∈ (－ 1，＋ ∞)，且 x10，且 a1，所以 而－ 10， x2＋ 10，所以 f(x2)－ f(x1)0，所以 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上是增加的 .方法二 (导数法 )又因为 a1，所以 ln a0， ax0，所以 axln a0，所以 f′(x)0.达标检测1.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果 ∠ A与 ∠ B是两条平行直线的同旁内角，则 ∠ A＋ ∠ B＝ 180°B.某校高三 1班有 55人， 2班有 54人， 3班有 52人，由此得高三所有班人数超过 50人C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质1 2 3 4 5 答案√解析解析 A是演绎推理， B， D是归纳推理， C是类比推理 .1 2 3 4 5 答案2.“因为对数函数 y＝ logax是增函数 (大前提 )，又 是对数函数 (小前提 )，所以 是增函数 (结论 ).”下列说法正确的是A.大前提错误导致结论错误B.小前提错误导致结论错误C.推理形式错误导致结论错误D.大前提和小前提都错误导致结论错误解析解析 y＝ logax是增函数错误，故大前提错误 .√§3 综合法与分析法第三章 推理与证明1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点 .2.会用综合法、分析法解决问题 .学习目标问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知 a， b0，求证： a(b2＋ c2)＋ b(c2＋ a2)≥4abc.证明：因为 b2＋ c2≥2bc， a0，所以 a(b2＋ c2)≥2abc.又因为 c2＋ a2≥2ac， b0，所以 b(c2＋ a2)≥2abc.因此 a(b2＋ c2)＋ b(c2＋ a2)≥4abc.答案 利用已知条件 a0， b0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论 .知识点一 综合法梳理 综合法的定义及特点(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过 ，一步一步地接近要证明的 ，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法 .(2)思路：综合法的基本思路是 “由因导果 ”.(3)模式：综合法可以用以下的框图表示演绎推理 结论其中 P为条件， Q为结论 .思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件 .知识点二 分析法梳理 分析法的定义及特征(1)定义：从求证的 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的，直到归结为这个命题的 ，或者归结为__________________等 .我们把这样的思维方法称为分析法 .(2)思路：分析法的基本思路是 “执果索因 ”.(3)模式：若用 Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：结论充分条件 条件 定义、公理、定理[思考辨析 判断正误 ]1.综合法是执果索因的逆推证法 .( )2.分析法就是从结论推向已知 .( )3.分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆 .( )×√×题型探究类型一 用综合法证明不等式证明例 1 已知 a， b， c∈ R，且它们互不相等，求证： a4＋ b4＋ c4＞ a2b2＋b2c2＋ c2a2.证明 ∵ a4＋ b4≥2a2b2， b4＋ c4≥2b2c2， a4＋ c4≥2a2c2，∴ 2(a4＋ b4＋ c4)≥2(a2b2＋ b2c2＋ c2a2)，即 a4＋ b4＋ c4≥a2b2＋ b2c2＋ c2a2.又 ∵ a， b， c互不相等，∴ a4＋ b4＋ c4＞ a2b2＋ b2c2＋ c2a2.反思与感悟 综合法证明问题的步骤：跟踪训练 1 已知 a， b， c为不全相等的正实数，证明又 a， b， c为不全相等的正实数，且上述三式等号不能同时成立，类型二 分析法的应用证明当 a＋ b0时，用分析法证明如下：∵ a2＋ b2≥2ab 对一切实数恒成立，反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知 (已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等 ).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的 .它的常见书写表达式是 “要证 ……只需 ……” 或 “⇐”.证明证明 因为 ab0，所以 a2abb2，所以 a2－ ab0.例 3 △ ABC的三个内角 A， B， C成等差数列，其对边分别为 a， b， c.求证： (a＋ b)－ 1＋ (b＋ c)－ 1＝ 3(a＋ b＋ c)－ 1.证明类型三 分析法与综合法的综合应用证明 要证 (a＋ b)－ 1＋ (b＋ c)－ 1＝ 3(a＋ b＋ c)－ 1，即证 c(b＋ c)＋ a(a＋ b)＝ (a＋ b)(b＋ c)，即证 c2＋ a2＝ ac＋ b2.因为 △ ABC三个内角 A， B， C成等差数列，所以 B＝ 60°.由余弦定理，得 b2＝ c2＋ a2－ 2cacos 60°，即 b2＝ c2＋ a2－ ac.所以 c2＋ a2＝ ac＋ b2成立，命题得证 .证明只需证 a＋ b＋ (a＋ b)c(1＋ a＋ b)c，即证 a＋ bc.而 a＋ bc显然成立，反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程 .跟踪训练 3 已知 a， b， c是不全相等的正数，且 0b0时，才有 a2b2，√1 2 3 4 5 答案A.a B.bC.c D.随 x取值不同而不同√解析∴cba.1 2 3 4 5 答案4.已知 f(x)＝ (x∈ R)是奇函数，那么实数 a的值为 __.1解析∴a ＝ 1.§4 反证法第三章 推理与证明1.了解反证法是间接证明的一种基本方法 .2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题 .学习目标问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立 .这种证明方法叫作反证法 .(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 .这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等 .已知条件知识点 反证法假设 定义、公理、定理[思考辨析 判断正误 ]1.反证法属于间接证明问题的方法 .( )2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理 .( )3.反证法的实质是否定结论导出矛盾 .( )×√√题型探究类型一 用反证法证明否定性命题例 1 已知 a， b， c， d∈ R，且 ad－ bc＝ 1，求证： a2＋ b2＋ c2＋ d2＋ ab＋ cd≠1.证明 假设 a2＋ b2＋ c2＋ d2＋ ab＋ cd＝ 1.因为 ad－ bc＝ 1，所以 a2＋ b2＋ c2＋ d2＋ ab＋ cd＋ bc－ ad＝ 0，即 (a＋ b)2＋ (c＋ d)2＋ (a－ d)2＋ (b＋ c)2＝ 0.所以 a＋ b＝ 0， c＋ d＝ 0， a－ d＝ 0， b＋ c＝ 0，则 a＝ b＝ c＝ d＝ 0，这与已知条件 ad－ bc＝ 1矛盾，故假设不成立 .所以 a2＋ b2＋ c2＋ d2＋ ab＋ cd≠1. 证明反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有 “不 ”“不是 ”“不可能 ”“不存在 ”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法 .(2)用反证法证明数学命题的步骤证明∵ a， b， c成等比数列， ∴ b2＝ ac， ②∴ a＝ c，从而 a＝ b＝ c.这与已知 a， b， c不成等差数列相矛盾，类型二 用反证法证明 “至多、至少 ”类问题证明证明 假设 (2－ a)b， (2－ b)c， (2－ c)a都大于 1.因为 a， b， c∈ (0,2)，所以 2－ a0,2－ b0,2－ c0.即 33，矛盾 .所以 (2－ a)b， (2－ b)c， (2－ c)a不能都大于 1.例 2 a， b， c∈ (0,2)，求证： (2－ a)b， (2－ b)c， (2－ c)a不能都大于 1.证明∵ a， b， c都是小于 1的正数，∴ 1－ a,1－ b,1－ c都是正数 .反思与感悟 应用反证法常见的 “结论词 ”与 “反设词 ”当命题中出现 “至多 ”“至少 ”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂 .这时，可用反证法证明，证明时常见的 “结论词 ”与 “反设词 ”如下：结论词 反设词 结论词 反设词至少有一个 一个也没有 对所有 x成立 存在某个 x不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x不成立 存在某个 x成立至少有 n个 至多有 n－ 1个 p或 q ￿ 綈 p且 綈 q至多有 n个 至少有 n＋ 1个 p且 q ￿￿ 綈 p或 綈 q 证明跟踪训练 2 已知 a， b， c是互不相等的实数，求证：由 y1＝ ax2＋ 2bx＋c， y2＝ bx2＋ 2cx＋ a和 y3＝ cx2＋ 2ax＋ b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 .证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x轴有两个不同的交点，由 y1＝ ax2＋ 2bx＋ c， y2＝ bx2＋ 2cx＋ a， y3＝ cx2＋ 2ax＋ b，得其对应方程的 Δ1＝ 4b2－ 4ac≤0， Δ2＝ 4c2－ 4ab≤0，且 Δ3＝ 4a2－ 4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋ 4c2＋ 4a2－ 4ac－ 4ab－ 4bc≤0，所以 2a2＋ 2b2＋ 2c2－ 2ab－ 2bc－ 2ac≤0，所以 (a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (a－ c)2≤0，所以 a＝ b＝ c.这与题设 a， b， c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证 .例 3 求证：方程 2x＝ 3有且只有一个根 .类型三 用反证法证明唯一性命题证明证明 ∵ 2x＝ 3， ∴ x＝ log23.这说明方程 2x＝ 3有根 .下面用反证法证明方程 2x＝ 3的根是唯一的 .假设方程 2x＝ 3至少有两个根 b1， b2(b1≠b2)，则 ＝ 3, ＝ 3，两式相除得 ＝ 1，∴ b1－ b2＝ 0，则 b1＝ b2，这与 b1≠b2矛盾 .∴ 假设不成立，从而原命题得证 .反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明 “有且只有一个 ”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性 .当证明结论是以 “有且只有 ”“只有一个 ”“唯一存在 ”等形式出现的命题时，可先证 “存在性 ”，由于假设 “唯一性 ”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性 .跟踪训练 3 若函数 f(x)在区间 [a， b]上是增加的，求证：方程 f(x)＝ 0在区间 [a， b]上至多有一个实根 .证明证明 假设方程 f(x)＝ 0在区间 [a， b]上至少有两个实根，设 α， β为其中的两个实根 .因为 α≠β，不妨设 αβ，又因为函数 f(x)在 [a， b]上是增加的，所以 f(α)f(β).这与假设 f(α)＝ 0＝ f(β)矛盾，所以方程 f(x)＝ 0在区间 [a， b]上至多有一个实根 .达标检测1.证明 “在 △ ABC中至多有一个直角或钝角 ”，第一步应假设A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角1 2 3 4 5 答案√1 2 3 4 5 答案2.用反证法证明 “在三角形中至少有一个内角不小于 60°”，应先假设这个三角形中A.有一个内角小于 60° B.每一个内角都小于 60°C.有一个内角大于 60° D.每一个内角都大于 60°√1 2 3 4 5 答案3.用反证法证明 “在同一平面内，若 a⊥ c， b⊥ c，则 a∥ b”时，应假设A.a不垂直于 c B.a， b都不垂直于 cC.a⊥ b D.a与 b相交√1 2 3 4 5 答案4.下面关于反证法的说法正确的有 _____.(填序号 )① 反证法的应用需要逆向思维；② 反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；③ 反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；④ 使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可 .①②解析解析 反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否定结论时，一定要全面否定，不能只否定一点，故 ①② 正确；使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，否则证明是不完全的，故 ④ 错误；反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾，故 ③ 错误 .1 2 3 4 5 证明故原命题成立 .规律与方法用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的 .(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 .(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的 .本课结束章末复习第三章 推理与证明1.整合本章知识要点 .2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等 .3.理解演绎推理 .4.进一步熟练掌握直接证明与间接证明 .学习目标知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.归纳与类比(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理 .(2)类比推理：由 到 的推理 .(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论 (定义、公理、定理等 )，推测出某些结果的推理方式 .部分 整体 个别 一般特殊 特殊2.演绎推理(1)演绎推理：由 到 的推理 .(2)“三段论 ”是演绎推理的一般模式，包括：① —— 已知的一般原理；② —— 所研究的特殊情况；③ —— 根据一般原理，对特殊情况作出的判断 .一般 特殊大前提小前提结论3.综合法和分析法(1) 是从已知条件推出结论的证明方法；(2) 是从结论追溯到条件的证明方法 .4.反证法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 .这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等 .综合法分析法已知条件假设 定义、公理、定理题型探究例 1 (1)观察下列等式：类型一 合情推理……照此规律，答案解析答案解析解析 题干两图中，与 △ PAB， △ PA′B′相对应的是三棱锥 P－ ABC，P－ A′B′C′；与 △ PA′B′两边 PA′， PB′相对应的是三棱锥 P－ A′B′C′的三条侧棱 PA′， PB′， PC′.与 △ PAB的两条边 PA， PB相对应的是三棱锥 P－ ABC的三条侧棱 PA，PB， PC.反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明 .(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误 .跟踪训练 1 (1)如图所示，已知正方形 ABCD的边长为 1，以 A为圆心， AD长为半径画弧，交 BA的延长线于 P1，然后以 B为圆心， BP1长为半径画弧，交 CB的延长线于 P2，再以 C为圆心， CP2长为半径画弧，交 DC的延长线于 P3，再以 D为圆心，DP3长为半径画弧，交 AD的延长线于 P4，再以 A为圆心，AP4长为半径画弧， ……，如此继续下去，画出的第 8道弧的半径是 __，画出第 n道弧时，这 n道弧的弧长之和为 ________.答案8解析第二道弧所在圆的半径为 2，圆心角为 90°，因此弧长为 π；(2)设 P是 △ ABC内一点， △ ABC中 BC， AC， AB边上的高分别为 hA，hB， hC， P到 BC， AC， AB三边的距离依次为 la， lb， lc，则有类比到空间，设 P是四面体 ABCD内一点， A， B， C， D四个顶点到对面的距离分别是 hA， hB， hC， hD， P到这四个面的距离依次是 la， lb， lc， ld，则有 __________________.答案解析类型二 综合法与分析法证明证明 分析法∵α∈(0 ， π) ， ∴ sin α0 ，∵1 － cos α0 ，∴ 4cos α(1 － cos α)≤1 ，可变形为 4cos2α － 4cos α ＋ 1≥0 ，只需证 (2cos α － 1)2≥0 ， 显然成立 .综合法∵α∈(0 ， π) ， ∴ sin α0 ，反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点 .分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件 .跟踪训练 2 设 a， b是两个正实数，且 a≠b，求证： a3＋ b3a2b＋ ab2.证明证明 要证 a3＋ b3a2b＋ ab2成立，即需证(a＋ b)(a2－ ab＋ b2)ab(a＋ b)成立，即需证 a2－ ab＋ b2ab成立 .只需证 a2－ 2ab＋ b20成立，即需证 (a－ b)20成立 .而由已知条件可知， a≠b，所以 a－ b≠0，所以 (a－ b)20显然成立 .即 a3＋ b3a2b＋ ab2.类型三 反证法证明因为 x0且 y0，所以 1＋ x≥2y且 1＋ y≥2x，两式相加，得 2＋ x＋ y≥2x＋ 2y，所以 x＋ y≤2.这与已知 x＋ y2矛盾 .反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及 “都是 ……”“ 都不是 ……”“ 至少 ……”“ 至多 ……” 等形式的命题时，也常用反证法 .跟踪训练 3 已知： ac≥2(b＋ d).求证：方程 x2＋ ax＋ b＝ 0与方程 x2＋ cx＋ d＝ 0中至少有一个方程有实数根 .证明证明 假设两方程都没有实数根，则 Δ1＝ a2－ 4b2ac，即 ac2(b＋ d)，与已知矛盾，故原命题成立 .达标检测答案1 2 3 41.数列 5,9,17,33， x， … 中的 x等于A.47 B.65 C.63 D.1285√解析解析 5＝ 22＋ 1,9＝ 23＋ 1,17＝ 24＋ 1,33＝ 25＋ 1，归纳可得： x＝ 26＋ 1＝ 65.1 2 3 4 5√答案解析