1、12.2 绝对值不等式的解法学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax b| c，| ax b| c，| x a| x b| c，| x a| x b| c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解知识点一 | ax b| c(c0)和| ax b| c(c0)型不等式的解法思考 1 | x|2 说明实数 x有什么特征？答案 因为 x在数轴上对应的点 x到原点的距离大于等于 2，所以 x2 或 x2.思考 2 若|2 x3|5，求 x的取值范围答案 x|1 x4梳理 (1)含绝对值不等式| x| a与| x| a的解法| x| aEr
2、ror!| x| aError!(2)|ax b| c(c0)和| ax b| c(c0)型不等式的解法| ax b| c c ax b c，| ax b| cax b c或 ax b c.知识点二 | x a| x b| c(c0)和| x a| x b| c(c0)型不等式的解法思考 如何去掉| x a| x b|的绝对值符号？答案 采用零点分段法即令| x a| x b|0，得x1 a， x2 b，(不妨设 a b)|x a| x b|Error!梳理 | x a| x b| c和| x a| x b| c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的
3、几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键(3)通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键2特别提醒：解 含 绝 对 值 不 等 式 的 关 键 是 去 掉 绝 对 值 符 号 ， 去 绝 对 值 符 号 的 关 键 是 “零 点 分段 ”法 类型一 | ax b| c(c0)与| ax b| c(c0)型的不等式的解法例 1 解下列不等式：(
4、1)|5x2|8；(2)2| x2|4.解 (1)|5 x2|85 x28 或 5x28 x2 或 x ，65原不等式的解集为Error!.(2)原不等式等价于Error!由得 x22 或 x22， x0 或 x4，由得4 x24，2 x6.原不等式的解集为 x|2 x0 或 4 x6反思与感悟 | ax b| c和| ax b| c型不等式的解法(1)当 c0 时，| ax b| cax b c或 ax b c，|ax b| c c ax b c；(2)当 c0 时，| ax b| c的解集为 R，| ax b| c的解集为；(3)当 c0 时，| ax b| c的解集为 R，| ax b|
5、 c的解集为.跟踪训练 1 解下列不等式：(1)3| x2|4；(2)|x1|4|2.解 (1)方法一 原不等式等价于Error!由得 x23 或 x23， x1 或 x5，由得4 x24，2 x6.原不等式的解集为 x|2 x1 或 5 x6方法二 3| x2|43 x24 或4 x235 x6 或2 x1.原不等式的解集为 x|2 x1 或 5 x6(2)|x1|4|22| x1|422| x1|6Error!Error!Error!5 x1 或 3 x7.不等式| x1|4|2 的解集为 x|5 x1 或 3 x73类型二 | x a| x b| c(c0)和| x a| x b| c(
6、c0)型不等式的解法例 2 解关于 x的不等式：|3 x2| x1|3.解 方法一 分类(零点分段)讨论法|3x2|0，| x1|0 的根 ，1 把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定23义，代数式|3 x2| x1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集因为当 x 时，|3 x2| x1|23 x1 x34 x，23所以当 x 时，|3 x2| x1|334 x3 x0.23因此，不等式组Error!的解集为 x|x0因为当 x1 时，|3 x2| x1|3 x21 x2 x1，23所以当 x1 时，|3 x2| x1|3 x2.23因此，不等式组Er
7、ror!的解集为.因为当 x1 时，|3 x2| x1|3 x2 x14 x3，所以当 x1 时，|3 x2| x1|34 x33 x .32因此，不等式组Error!的解集为Error!.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即 x|x0Error! Error! .方法二 构造函数 f(x)|3 x2| x1|3，则原不等式的解集为 x|f(x)0f(x)Error!作出函数 f(x)的图像，如图它是分段线性函数，函数的零点是 0和 .32由图像可知，当 x(，0) 时，有 f(x)0.(32， )4所以原不等式的解集是(，0) .(32， )反思与感悟 | x a| x b|
8、c(c0)，| x a| x b| c(c0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图像法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况跟踪训练 2 解不等式| x7| x2|3.解 方法一 | x7| x2|可以看成数轴上的动点(坐标为 x)到对应点7 的距离与到对应点 2的距离的差，先找到这个差等于 3的点，即 x1.由图易知不等式|x7| x2|3 的解为 x1，即 x(，1方法二 令 x70， x20，得 x7， x2.当 x7 时，不等式变为 x7 x23，93 成立， x7.当7 x2 时，不等式变为 x7 x23，即 2x2，
9、 x1，7 x1.当 x2 时，不等式变为 x7 x23，即 93 不成立， x.原不等式的解集为(，1方法三 将原不等式转化为| x7| x2|30，构造函数 y| x7| x2|3，即 yError!作出函数的图像，由图像可知，当 x1 时， y0，即| x7| x2|30，所以，原不等式的解集为(，1类型三 含绝对值不等式的恒成立问题例 3 已知函数 f(x)|2 x1|2 x a|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若关于 x的不等式 f(x) a恒成立，求实数 a的取值范围5解 (1)当 a3 时， f(x)|2 x1|2 x3|， f(x)6 等价于|2 x1
10、|2 x3|60，令 g(x)|2 x1|2 x3|6，令|2 x1|0，|2 x3|0，得 x1 ， x2 .12 32 g(x)Error!作出 y g(x)的图像，如图， f(x)6 的解集为1,2(2) f(x)|2 x1|2 x a|(2 x1)(2 x a)| a1|， f(x)min| a1|.要使 f(x) a恒成立，只需| a1| a成立即可由| a1| a，得 a1 a或 a1 a， a ，12 a的取值范围是 .( ，12)引申探究若 f(x)|2 x1|2 x a|且 f(x) a恒成立，求 a的取值范围解 f(x)|2 x1|2 x a|(2 x1)(2 x a)|
11、a1|， f(x)max| a1|. f(x) a恒成立，| a1| a，当 a0时， a ，12当 a0 时，|1|0，且 a2 x a2，由| x24|1，得 x 或 x .3 5 5 3Error! 即 0 a 2，5或Error! 无解二、填空题6不等式 1 成立的充要条件是_|a b|a| |b|答案 | a| b|解析 1 0|a b|a| |b| |a b| |a| |b|a| |b|(|a| b|)|a b|(| a| b|)0(| a| b|)而| a b| a| b|，| a b|(| a| b|)0.| a| b|0，即| a| b|.7若关于 x的不等式| ax2|3
12、的解集为Error!，则 a_.答案 3解析 | ax2|3，1 ax5.当 a0 时， x ，与已知条件不符；1a 5a当 a0 时， xR，与已知条件不符；当 a0 时， x ，5a 1a又不等式的解集为Error!，故 a3.8已知函数 f(x)| x a| a， g(x)4 x2，若存在 x0R 使 g(x0) f(x0)，则 a的取值范围是_答案 ( ，178解析 若存在 x0R 使 g(x0) f(x0)，则 x2| x a| a40 有解当 x a时， x2 x40，显然有解；当 x a时， x2 x2 a40，由 14(2 a4)0，10解得 a .1789已知函数 f(x)|
13、2 x1| x3，若 f(x)5，则 x的取值范围是_答案 1,1解析 由题意可知，|2 x1| x35，即|2 x1|2 x，所以Error! 或Error!解得 x1 或1 x ，12 12故 x的取值范围是 xError!10已知集合 A x|x4| x1|5， B x|a x6且 A B(2， b)，则a b_.答案 7解析 | x4| x1|表示数轴上一点到 1,4两点的距离之和，根据 1,4之间的距离为 3，可得到与 1,4距离和为 5的点是 0,5，所以| x4| x1|5 的解集是 x|0x5，所以a2， b5.11已知函数 f(x)| x1|2 x a|的最小值为 3，则实数
14、 a_.答案 4 或 8解析 当 a2 时，f(x)Error!当 a2 时，f(x)Error!由可得 f(x)min f( )| 1|3，a2 a2解得 a4 或 8.三、解答题12已知函数 f(x)|2 x a|2 x3|， g(x)| x1|2.(1)解不等式| g(x)|5；(2)若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1) g(x2)成立，求实数 a的取值范围解 (1)由| x1|2|5，得5| x1|25，即7| x1|3，得不等式的解集为 x|2 x4(2)因为对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1) g(x2)成立，所以 y|y f(x)y|y g(x)又 f(
15、x)|2 x a|2 x3|(2 x a)(2 x3)| a3|， g(x)| x1|22，所以| a3|2，解得 a1 或 a5.11故实数 a的取值范围为1，)(，513已 知 a b 1， 对 任 意 的 a， b (0， )， |2x 1| |x 1|恒 成 立 ， 求 x的 取 值1a 4b范 围 .解 因为 a0， b0 且 a b1，所以 ( a b) 5 9，1a 4b (1a 4b) ba 4ab当且仅当 a ， b 时，等号成立，13 23故 的最小值为 9，1a 4b因为对任意的 a， b(0，)，使 |2 x1| x1|恒成立，1a 4b所以|2 x1| x1|9，当
16、x1 时，2 x9，所以7 x1；当1 x 时，3 x9，12所以1 x ；12当 x 时， x29，所以 x11.12 12综上所述， x的取值范围是7,11四、探究与拓展14(2018全国)设函数 f(x)5| x a| x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a的取值范围解 (1)当 a1 时， f(x)5| x1| x2|Error!可得 f(x)0 的解集为 x|2 x3(2)f(x)1 等价于| x a| x2|4.而| x a| x2| a2|，且当( x a)(x2)0 时等号成立故 f(x)1 等价于| a2|4.由| a2|4 可
17、得 a6 或 a2.所以 a的取值范围是(，62，)15设函数 f(x)| x1| x2|.12(1)画出函数 y f(x)的图像；(2)若不等式| a b| a b| a|f(x)(a0， a， bR)恒成立，求实数 x的取值范围解 (1)当 x1 时， f(x)( x1)( x2)2 x3；当 1 x2 时， f(x)( x1)( x2)1；当 x2 时， f(x)( x1)( x2)2 x3.所以 f(x)Error!图像如图所示(2)由| a b| a b| a|f(x)，得 f(x)|a b| |a b|a|又因为 2，|a b| |a b|a| |a b a b|a|所以 2 f(x)，解不等式 2| x1| x2|，得 x .12 52即实数 x的取值范围是 12， 52
