1、3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.学会用作差法比较两实数的大小.知识点一 不等关系与不等式的概念思考 限速 40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，用不等式如何表示？答案 v40.梳理 (1)用数学符号“” “” “” “” “”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.(2)符号“”和“”的含义：如果 a，b 是两个实数，那么 ab，即为 ab 或ab；ab 即为 abab0；abab0；a0，ab0，a 3b 3a2bab 2.
2、综上所述，a 3b 3a 2bab 2.反思与感悟 比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的一般步骤是作差恒等变形判断差的符号下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.跟踪训练 2 已知 x1，试比较 x31 与 2x22x 的大小.解 (x31)(2x 22x)x 32x 22x1(x 3x 2)(x 22x1)x 2(x1)(x 1) 2(x1)(x 2x1)( x1) ，(x 12)2 34 2 0 ，x 10，(x 12) 34(x1) 0，(x 12)2 34x3 1 2x22x.命 题
3、角 度 2 作 差 法 证 明 不 等 式例 3 证明函数 f(x)x 3(xR )为增函数.证明 任取 x1，x 2R，且 x1 x2，则 f(x1)f(x 2)x x (x 1x 2)(x x 1x2x )( x1x 2) .31 32 21 2 (x1 12x2)2 34x2因为 x1x 2，所以 x1x 20，又 2 x 0，(x1 12x2) 342所以(x 1x 2) 0，(x1 12x2)2 34x2即 f(x1)f(x 2)0，所以 f(x1)f(x 2).所以函数 f(x)x 3(xR)为增函数.反思与感悟 有时证明 ab 不易，可以转为证明其等价命题 ab0，因为作差过程中
4、使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决.跟踪训练 3 若 ab，ab0，求证： .1a 1b证明 .1a 1b b aaba b， ba0.又 ab0， 0，即 0， .b aab 1a 1b 1a 1b1.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式表示就是( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!答案 D解析 “不低于”即“” ， “高于”即“” ， “超过”即“” ，x95，y380，z45.2.已知 ab0，bbb
5、a B.ababC.abba D.abab答案 C解析 由 ab0，知 ab，a0，ab ba.3.比较(a3)(a 5)与(a2)( a4)的大小.解 (a3)(a5)(a2)(a4) (a 22a15)( a22 a8)70ab；ab0ab；ab|b| D.a2b 22ab答案 D解析 a0，b0，而 ab 的符号不确定，|b|与|a| 的大小也不确定； (ab) 20，则 a2b 22ab，故选 D.3.设 xaxa2C.x2a2ax答案 B解析 x 2axx( xa)0，x2ax.又 axa 2a(xa)0，axa2，x2axa2.4.不等式：a 222a；a 2b 22(ab1) ；
6、a 2b 2ab 恒成立的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案 D解析 a 222a(a1) 210，a2 22a，对；a2b 22(ab1)a 22a1b 22b1(a1) 2(b1) 20，对.a2b 2aba 2ab 2 0，b24 3b24 (a b2) 3b24对.5.若 A 3， B 2，则 A，B 的大小关系是( )1x2 1xA.ABB.A BC. ABD.不确定答案 A解析 AB 3 2 1 2 0.1x2 1x 1x2 1x (1x 12) 34AB.6.已知 a1，a 2(0，1)，记 Ma 1a2，Na 1a 21，则 M 与 N 的大小关系是( )A.MNB.
7、MNC.MND.不确定答案 B解析 MNa 1a2a 1a 21(a 11)( a21).a1， a2(0，1)，a1 10，a 210，MN0，MN.7.已知实数 a，b，c 满足 bc64a3a 2，c b44 aa 2，则 a，b，c 的大小关系为( )A.abcB. bc aC.bcaD. bac答案 A解析 由 cb44aa 2(2a) 20，得 bc ，再由 bc64a3a 2，c b44aa 2，得 2b22a 2，因为 1a 2a 2 0，(a 12) 34所以 b1a 2a，所以 abc.二、填空题8.b 克糖水中有 a 克糖(ba0)，若再添上 m 克糖( m0)，则糖水就
8、变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：.答案 a mb mab解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了.9.若 xR，则 与 的大小关系为.x1 x2 12答案 x1 x2 12解析 0.x1 x2 12 2x 1 x221 x2 x 1221 x2 .x1 x2 1210.(x5)(x7)与(x 6) 2 的大小关系为.答案 (x5)(x7) N解析 0N.三、解答题12.设 x，y，zR，比较 5x2y 2z 2 与 2xy4x2z2 的大小.解 5x2y 2z 2(2xy4x 2z2)4x 24x1x 22xyy 2z 22z1(2x 1)2(x y )2( z1) 20，5x2y 2z
9、 22xy4x2z2，当且仅当 xy 且 z1 时取等号.1213.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5 元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的 92%付款.某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个) ，若设购买茶杯为 x 个，付款为 y(元)，试分别建立两种优惠办法的 y 与 x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？解 由优惠办法(1)得 y12045(x4) 5x 60( x4) ，由优惠办法(2)得y2(5x204)92% 4.6x73.6( x4).y1y 20.4x 13.6(x4)，
10、令 y1y 20，得 x34，当购买 34 只茶杯时，两种办法付款相同；当 4x34 时，y 1y 2，优惠办法(1) 省钱；当x34 时，y 1y 2，优惠办法 (2)省钱.四、探究与拓展14.已知 a，b 为正实数，试比较 与 的大小.ab ba a b解 ( ) (ab ba) a b (ab b) (ba a) .a bb b aa a ba bab a b2a bab因为 a，b 为正实数，所以 0， 0，( )20，a b ab a b所以 0，a b2a bab所以 .ab ba a b15.规定 ABA 2B 2，A BAB，A，BR ，若 Mab，N ab，a，bR ，判断MN 与 MN 的大小.解 MN M 2N 2(ab) 2( ab) 22a 22b 2.MN MN(ab)( ab)a 2b 2，MN MN 2a22b 2( a2b 2)a 23b 20，所以 MNMN .
