1、1第四章 数系的扩充与复数的引入滚动训练三(12)一、选择题1复数 z对应的点在第二象限，它的模为 3，实部是 ，则 是( )5 zA 2i B 2i5 5C. 2i D. 2i5 5考点 题点 答案 B解析 设复数 z的虚部为 b，则 z bi， b0，53 ， b2(舍负)， z 2i，5 b2 5则 z的共轭复数是 2i，故选 B.52若| z1| z1|，则复数 z对应的点在( )A实轴上 B虚轴上C第一象限 D第二象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 | z1| z1|，点 Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点 Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的
2、中垂线上3已知 i是虚数单位， a， bR，则“ a b1”是“( a bi)22i”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 当“ a b1”时， “(a bi)2(1i) 22i”成立，故“ a b1”是“( a bi)22i”的充分条件；当“( a bi)2 a2 b22 abi2i”时，“a b1”或“ a b1” ，故“ a b1”不是“( a bi)22i”的必要条件；2综上所述， “a b1”是“( a bi)22i”的充分不必要条件4设复数 z ，则 z 等于( )2 1
3、i zA1B. C2D42考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 z 1i，2 1 i 1 i 1 i 2 2i2 1i， z (1i)(1i)2.z z5若复数 z满足 z(i1) ，则复数 z的虚部为( )2i 1A1B0CiD1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 B解析 z(i1) ，2i 1 z 1，2i 1i 1 2 2 z的虚部为 0.6已知复数 z1 ai(aR)(i 是虚数单位)， i，则 a等于( )zz 35 45A2B2C2D12考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 B解析 由题意可得 i，1 ai1 ai
4、 35 45即 i i，1 ai21 a2 1 a2 2ai1 a2 1 a21 a2 2a1 a2 35 45 ， ， a2，故选 B.1 a21 a2 35 2a1 a2 457设 z1， z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A若| z1 z2|0，则 1 2z zB若 z1 2，则 1 z2z z3C若| z1| z2|，则 z1 1 z2 2z zD若| z1| z2|，则 z z21 2考点 共轭复数的定义及应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 D解析 对于 A，若| z1 z2|0，则 z1 z20， z1 z2，所以 1 2为真；z z对于 B，若 z1 2，则 z1和 z
5、2互为共轭复数，z所以 1 z2为真；z对于 C，设 z1 a1 b1i， z2 a2 b2i(a1， b1， a2， b2R)，若| z1| z2|，则 ， z1 1 a b ， z2 2 a b ，a21 b21 a2 b2 z 21 21 z 2 2所以 z1 1 z2 2为真；z z对于 D，若 z11， z2i，则| z1| z2|为真，而 z 1， z 1，所以 z z 为假故21 2 21 2选 D.二、填空题8已知 z是纯虚数， 是实数，那么 z_.z 21 i考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 2i解析 设 z bi(bR， b0)，则 z 21 i bi
6、21 i bi 21 i1 i1 i 2 b b 2i2 2 b2i是实数，b 22所以 b20， b2，所以 z2i.9复数 z满足(34i) z510i，则| z|_.考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 5解析 由(34i) z510i 知，|34i| z|510i|，即 5|z|5 ，解得| z| .5 510设复数 z1i， z2 ， z z1 z2，则 z在复平面内对应的点位于第_象2 3i|3 4i|限考点 复数四则运算的综合应用4题点 与混合运算有关的几何意义答案 一解析 z2 i， z1i ，2 3i|3 4i| 2 3i32 42 2 3i5 25 35则
7、 z z1 z2i i i.25 35 25 25 z在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限(25， 25)11已知复数 z(2 ai)(1 bi)的实部为 2，i 是虚数单位，其中 a， b为正实数，则4a 1 b的最小值为_(12)考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2 2解析 复数 z(2 ai)(1 bi)2 a b(12 ab)i的实部为 2，其中 a， b为正实数，2 a b2， b22 a.则 4a 1 b4 a2 12 a4 a 2 2 ，(12) 24a 4a24a 2当且仅当 a ， b 时取等号14 32三、解答题12计算：(1) ； 1
8、i2 ii3(2) ；1 2i2 31 i2 i(3) ；1 i1 i2 1 i1 i2(4) .1 3i3 i2考点 复数四则运算的综合运算题点 复数的混合运算解 (1) 1 i2 ii3 13i. 3 i i 3 ii ii(2)1 2i2 31 i2 i5 3 4i 3 3i2 i i2 i i.i2 i5 15 25(3) 1 i1 i2 1 i1 i2 1.1 i2i 1 i 2i 1 i 2 1 i2(4) 1 3i3 i2 3 i i3 i2 i3 i i. i3 i4 14 3413已知复数 z1 mi(i是虚数单位， mR)，且 (3i)为纯虚数( 是 z的共轭复数)z z(
9、1)设复数 z1 ，求| z1|；m 2i1 i(2)设复数 z2 ，且复数 z2所对应的点在第四象限，求实数 a的取值范围a i2017z考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系解 z1 mi， 1 mi.z(3i)(1 mi)(3i)(3 m)(13 m)i，z又 (3i)为纯虚数，zError! 解得 m3. z13i.(1)z1 i， 3 2i1 i 3 2i1 i1 i1 i 52 12| z1| .( 52)2 ( 12)2 262(2) z13i，z2 ，a i1 3i a i1 3i1 3i1 3i a 3 3a 1i10又复数 z2所对应的点在第四象限，Erro
10、r! 解得Error!3 a .13四、探究与拓展14设复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，则 y x的概率为( )6A. B. 34 12 12 1C. D. 14 12 12 1考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决距离、角、面积答案 C解析 复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1 为半径的圆以及圆内部分y x是图中阴影部分，如图，复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，则 y x的概率为 .14 1211 14 1215设 z是虚数， z 是实数，且1 2.1z(1)求| z|的值及 z的实
11、部的取值范围；(2)设 ，求证： 为纯虚数1 z1 z考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为 z是虚数，所以可设 z x yi(x， yR，且 y0)，则 z ( x yi) x yi i.1z 1x yi x yix2 y2 (x xx2 y2) (y yx2 y2)因为 是实数，且 y0，所以 y 0，即 x2 y21.yx2 y2所以| z|1，此时 2 x.又1 2，所以12 x2.所以 x1，127即 z的实部的取值范围是 .(12， 1)(2)证明 1 z1 z 1 x yi1 x yi1 x yi1 x yi1 x2 y2 .1 x2 y2 2yi1 2x x2 y2又 x2 y21，所以 i.y1 x因为 y0，所以 为纯虚数
