1、1第 13 练 数列的综合问题明晰考情 1.命题角度：考查等差数列、等比数列的判定与证明；以 an， Sn的关系为切入点，考查数列的通项、前 n 项和等；数列和不等式的综合应用.2.题目难度：中档难度或偏难考点一 等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧 判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若 an1 an d， d 为常数 ，则 an为等差(比)(an 1an q， q为 常 数 ， 且 q 0)数列(2)中项公式法(3)通项公式法1已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， an0， anan1 S n1，其中 为常数(1)证明： an2 an ；(2)是否存在 ，使得 an为等
2、差数列？并说明理由(1)证明 由题设知， anan1 S n1，an1 an2 S n1 1，两式相减得 an1 (an2 an) a n1 ，由于 an1 0，所以 an2 an .(2)解 由题设知， a11， a1a2 S 11，可得 a2 1.由(1)知， a3 1.令 2a2 a1 a3，解得 4.故 an2 an4，由此可得数列 a2n1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n1 4 n3；数列 a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2n4 n1.所以 an2 n1， an1 an2，因此存在 4，使得数列 an为等差数列2已知数列 an满足 a12，且 an1
3、2 an2 n1 ， nN *.(1)设 bn ，证明： bn为等差数列，并求数列 bn的通项公式；an2n2(2)在(1)的条件下，求数列 an的前 n 项和 Sn.解 (1)把 an2 nbn代入到 an1 2 an2 n1 ，得 2n1 bn1 2 n1 bn2 n1 ，两边同除以 2n1 ，得 bn1 bn1，即 bn1 bn1， bn为等差数列，首项 b1 1，公差为 1，a12 bn n(nN *)(2)由 bn n ，得 an n2n，an2n Sn12 122 232 3 n2n，2 Sn12 222 332 4( n1)2 n n2n1 ，两式相减，得 Sn2 12 22 3
4、2 n n2n1(1 n)2n1 2， Sn( n1)2 n1 2( nN *)3已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn2 an(1) n(nN *)(1)求数列 an的前三项 a1， a2， a3；(2)求证：数列 为等比数列，并求出 an的通项公式an23 1n(1)解 在 Sn2 an(1) n(nN *)中分别令 n1,2,3，得Error!解得Error!(2)证明 由 Sn2 an(1) n(nN *)，得Sn1 2 an1 (1) n1 (n2)，两式相减，得 an2 an1 2(1) n(n2)，an2 an1 (1) n (1) n43 232 an1 (1) n1 (
5、1) n(n2)，43 23 an (1) n232 (n2)an 123 1n 1故数列 是以 a1 为首项，2 为公比的等比数列an23 1n 23 133 an (1) n 2n1 ，23 13 an 2n1 (1) n13 23 (1) n(nN) *.2n 13 23考点二 数列的通项与求和方法技巧 (1)根据数列的递推关系求通项的常用方法累加(乘)法形如 an1 an f(n)的数列，可用累加法；形如 f(n)的数列，可用累乘法an 1an构造数列法形如 an1 ，可转化为 ，构造等差数列 ；nanman n 1an 1 1an mn 1an形如 an1 pan q(pq0，且 p
6、1)，可转化为 an1 p 构造等比数列qp 1 (an qp 1).anqp 1(2)数列求和的常用方法倒序相加法；分组求和法；错位相减法；裂项相消法4已知数列 an的首项 a11，前 n 项和为 Sn(nN *)，且数列 是公差为 2 的等差数Snn列(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn(1) nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由已知得 1( n1)22 n1，Snn所以 Sn2 n2 n.当 n2 时， an Sn Sn1 2 n2 n2( n1) 2( n1)4 n3.而 a11413 满足上式，所以 an4 n3， nN *.(2)由(1)可得 bn(1)
7、nan(1) n(4n3)当 n 为偶数时， Tn(15)(913)(4 n7)(4 n3)4 2 n；n2当 n 为奇数时， n1 为偶数， Tn Tn1 bn1 2( n1)(4 n1)2 n1.综上， TnError!5已知数列 an， bn满足 a1 ， an bn1， bn1 .14 bn1 a2n4(1)求数列 bn的通项公式；(2)设 Sn a1a2 a2a3 a3a4 anan1 ，求 Sn.解 (1) bn1 bn1 an1 an .bnbn2 bn 12 bna1 ， b1 ，14 34因为 bn1 1 1 ，12 bn bn 12 bn所以 1 ，1bn 1 1 2 bn
8、bn 1 1bn 1所以数列 是以4 为首项，1 为公差的等差数列，1bn 1所以 4( n1) n3，1bn 1所以 bn1 (nN *)1n 3 n 2n 3(2)因为 an1 bn ，1n 3所以 Sn a1a2 a2a3 a3a4 anan1 145 156 167 1n 3n 4 14 15 15 16 16 17 1n 3 1n 4 (nN *)14 1n 4 n4n 46已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an3 Sn4， bnlog 2an1 .(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)令 cn ，其中 nN *，若数列 cn的前 n 项和为 Tn，求 Tn.bn2n
9、1 1nn 1解 (1)由 a13 S143 a14，得 a11，由 an3 Sn4，知 an1 3 Sn1 4，两式相减并化简得 an1 an，14数列 an是首项为 1，公比为 的等比数列，145 an n1 ， nN *，(14)bnlog 2an1 log 2 n2 n(nN *)(14)(2)由题意知， cn .n2n 1nn 1令 Hn ，12 222 323 n2n则 Hn ，12 122 223 n 12n n2n 1得， Hn 12 12 122 123 12n n2n 11 .n 22n 1 Hn2 .n 22n又 Mn1 12 12 13 1n 1n 11 ，1n 1 n
10、n 1 Tn Hn Mn2 (nN *)n 22n nn 1考点三 数列与不等式方法技巧 数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题，而数列的条件可能是等差数列、等比数列，甚至是一个递推公式等，求解方法既要用到不等式知识(如比较法、放缩法、基本不等式法等)，又要用到数列的基础知识7已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn an(1) n2( nN *)32(1)证明 an(1) n为等比数列，并求出 an的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，证明： Tnan， nN
11、*；(2)an 1， nN *；2n 1(3)当 n2 时， an .2n 3证明 (1) an1 an ，a2n an 1an 1 1an 1 an1 1 an1 ，1an 1( an1 1)( an1)( an1) 210，故 an1 1 与 an1 同号又 a1110， an10， an1 an 0，1an 1故 an1 an， nN *.(2) ak1 1 ak1 ， kN *，1ak 1( ak1 1) 2( ak1) 2 2( ak1) 22， k N*，1ak 12当 n2 时，( an1) 2( an1) 2( an1 1) 2( an1 1) 2( an2 1) 2( a21
12、)2( a11) 2( a11) 22(n1)12 n1，又 an10，故当 n2 时， an1 .2n 1即当 n2 时， an 1.2n 1又当 n1 时， a1 10，21 1所以 an 1， nN *.2n 1(3)由(2)知 ak1 ak ， kN *，1ak 1 12k 1所以当 n2 时， an a1( a2 a1)( a3 a2)( an1 an2 )( an an1 )，即当 n2 时， an1 .13 15 12n 3当 n3 时， 12n 3 222n 322n 3 2n 5 ，2n 3 2n 59所以当 n3 时， an1 13 15 12n 31( 1)( ) ( )
13、3 5 3 2n 3 2n 5 ，2n 3又 a21 ，22 3所以 n2 时， an .2n 3例 (15 分)已知在数列 an中， a13，2 an1 a 2 an4.2n(1)证明： an1 an；(2)证明： an2 n1 ；(32)(3)设数列 的前 n 项和为 Sn，求证：1 n Sn1.1an (23)审题路线图(1)2an 1 a2n 2an 4 作 差 2an 1 2an 0 a1 3 an 1 an(2)2an 1 a2n 2an 4 变 形 放 缩 an 1 2an 2 an2 32 迭 代 an 2 (32)n 1(3)已 知 递 推 式 变 形 裂 项 1an 1an
14、 2 1an 1 2 求 和 Sn 1 1an 1 2 放 缩 结 合 2要 证 结 论规范解答评分标准证明 (1)2 an1 2 an a 4 an42n( an2) 20，2 分 an1 an3，( an2) 20， an1 an.4 分(2)2 an1 4 a 2 an an(an2)，6 分2n ，an 1 2an 2 an2 32 an2 (an1 2)32 2(an2 2)(32)n1 (a12) n1 ，(32) (32)10 an2 n1 .9 分(32)(3)2( an1 2) an(an2)，10 分 12an 1 2 1anan 2 ，12( 1an 2 1an) ，1a
15、n 1 2 1an 2 1an ，12 分1an 1an 2 1an 1 2 Sn 1a1 1a2 1an 1a1 2 1a2 2 1a2 2 1a3 2 1an 2 1an 1 2 1a1 2 1an 1 21 .13 分1an 1 2 an1 2 n，(32)0 n，1an 1 2 (23)1 n Sn1 1.15 分(23) 1an 1 2构建答题模板第一步 辨特征：认真分析所给数列的递推式，找出其结构特征第二步 巧放缩：结合要证结论，对递推式进行变换、放缩，利用作差、作商、数学归纳法、反证法等技巧逐步向欲证不等式靠近第三步 得结论：消灭目标不等式和放缩到的不等式间的差别，得出结论1(2
16、018浙江)已知等比数列 an的公比 q1，且 a3 a4 a528， a42 是 a3， a5的等差中项数列 bn满足 b11，数列( bn1 bn)an的前 n 项和为 2n2 n.(1)求 q 的值；(2)求数列 bn的通项公式解 (1)由 a42 是 a3， a5的等差中项，得 a3 a52 a44，11所以 a3 a4 a53 a4428，解得 a48.由 a3 a520，得 8 20，(q1q)解得 q2 或 q .12因为 q1，所以 q2.(2)设 cn( bn1 bn)an，数列 cn的前 n 项和为 Sn.由 cnError!解得 cn4 n1.由(1)可得 an2 n1
17、，所以 bn1 bn(4 n1) n1 ，(12)故 bn bn1 (4 n5) n2 ， n2，(12)bn b1( bn bn1 )( bn1 bn2 )( b3 b2)( b2 b1)(4 n5) n2 (4 n9) n3 7 3.(12) (12) 12设 Tn37 11 2(4 n5) n2 ， n2，12 (12) (12)则 Tn3 7 2(4 n9) n2 (4 n5) n1 ， n2，12 12 (12) (12) (12)，得 Tn34 4 24 n2 (4 n5) n1 ， n2，12 12 (12) (12) (12)因此 Tn14(4 n3) n2 ， n2.(12)
18、又 b11，所以 bn15(4 n3) n2 ， n2，(12)当 n1 时， b11 也满足上式，所以 bn15(4 n3) n2 .(12)2设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S24， an1 2 Sn1， nN *.(1)求通项公式 an；(2)求数列| an n2|的前 n 项和解 (1)由题意得Error!得Error!又当 n2 时，由 an1 an(2 Sn1)(2 Sn1 1)2 an，得 an1 3 an，又 a23 a1，数列 an的通项公式为 an3 n1 ， nN *.(2)设 bn|3 n1 n2|， nN *， b12， b21，当 n3 时，由于 3n1
19、n2，12故 bn3 n1 n2， n3.设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 T12， T23，当 n3 时， Tn3 91 3n 21 3 n 7n 22 ，经验证 T2符合上求3n n2 5n 112 TnError!3已知数列 an， bn满足 a11， b12， an1 ， bn1 .anbnan bn2(1)求证：当 n2 时， an1 an bn bn1 ；(2)设 Sn为数列| an bn|的前 n 项和，求证： Sn .109证明 (1)当 n2 时，bn an 0，an 1 bn 12 an 1bn 1 bn 1 an 122故有 bn an(n2 且 nN *)，所以
20、an an1 ，an 1bn 1bn bn1 .an 1 bn 12综上， an1 an bn bn1 .(2)由(1)知 ，bnan bn 1an 1 b1a1 2322 3 ( ) ( )，bn an bn an15 bn an故| an bn| |an 1 bn 12 an 1bn 1|bn 1 an 122bn 1 an 1bn 1 an 110 ，|bn 1 an 1|10故 Sn1 .110 110n 11 (110)n1 110 1091 (110)n1094(2017浙江)已知数列 xn满足： x11， xn xn1 ln(1 xn1 )(nN *)证明：当 nN *时，13(
21、1)0 xn1 xn；(2)2xn1 xn ；xnxn 12(3) xn .12n 1 12n 2证明 (1)用数学归纳法证明 xn0.当 n1 时， x110.假设 n k(kN *)时， xk0，那么 n k1 时，若 xk1 0，则 0 xk xk1 ln(1 xk1 )0，与假设矛盾，故 xk1 0，因此 xn0( nN *)所以 xn xn1 ln(1 xn1 ) xn1 ，因此 0 xn1 xn(nN *)(2)由 xn xn1 ln(1 xn1 )得，xnxn1 4 xn1 2 xn x 2 xn1 ( xn1 2)ln(1 xn1 )2n 1记函数 f(x) x22 x( x2
22、)ln(1 x)(x0)f( x) ln 0( x0)，2x2 xx 1 (1 x)函数 f(x)在0，)上单调递增，所以 f(x) f(0)0，因此 x 2 xn1 ( xn1 2)ln(1 xn1 ) f(xn1 )0，2n 1故 2xn1 xn (nN *)xnxn 12(3)因为 xn xn1 ln(1 xn1 ) xn1 xn1 2 xn1 ，所以 xn .12n 1由 2 xn1 xn得 2 0，xnxn 12 1xn 1 12 (1xn 12)所以 2 2 n1 2 n2 ，1xn 12 ( 1xn 1 12) (1x1 12)故 xn .12n 2综上， xn (nN *)12n 1 12n 2
