1、1四 弦切角的性质学习目标1.理解弦切角的定义及性质，并能解决与弦切角有关的问题.2.理解弦切角定理，并能应用定理证明相关的几何问题.知识链接1.在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？提示 前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.2.在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？提示 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3.如下图，圆周角 CAB，让射线 AC绕点 A旋转，产生无数个圆周角，当 AC
2、绕点 A旋转至与圆相切时，停止旋转，得 BAE.这时 BAE还是圆周角吗？为什么？提示 不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角.预习导引1.弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫作弦切角.弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图；(2)圆心在角的一边上，如图；(3)圆心在角的内部，如图.22.弦切角定理文字语言弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角符号语言AB与 O相切于点 A， AC与 O相交于点 A， C，点 D在 O上，但不在弦切角 BAC所夹的弧上，则 BAC ADC图形语言作用 证明两个角相等要点一 利用弦切角定理求角例 1 如图，一圆过直
3、角三角形 ABC的直角顶点 C，且与斜边 AB相切于 D点， AD DB， G为 中点， F为 上任一点.求证： CFG EFD.CD CE 证明 连接 CD， AB切圆于 D点， CDB DFC. G为 的中点，CD CDB DFC2 CFG. D为直角三角形 ACB的斜边中点， CD AD， CDB2 DCE. DCE EFD， CFG EFD.规律方法 1.本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切角定理和圆周角定理.2.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切
4、角.跟踪演练 1 如图，四边形 ABCD内接于 O， BC是直径， MN与 O相切， 切点为A， MAB35，则 D_.解析 如图，连接 BD，由弦切角定理知： ADB MAB35， BDC90，故 ADC ADB BDC125.3答案 125要点二 利用弦切角定理证明线段成比例例 2 如图所示，梯形 ABCD内接于 O， AD BC，过 B点引 O的切线分别交 DA的延长线和CA的延长线于 E， F点.(1)求证： AB2 AEBC；(2)已知 BC8， CD5， AF6，求 EF的长.证明 (1) BE切 O于 B， ABE ACB.又 AD BC， EAB ABC， EAB ABC， ，
5、 AB2 AEBC.AEAB ABBC解 (2)由(1)知 EAB ABC， .BEAC ABBC又 AE BC， ， .EFAF BEAC ABBC EFAF又 AD BC， ， AB CD，AB CD ， EF .58 EF6 308 154规律方法 1.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理.2.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.跟踪演练 2 如图， PA， PB是 O的切线，点 C在 上， CD
6、 AB， CE PA， CF PB，垂足AB 分别为 D， E， F.求证： CD2 CECF.证明 连接 CA， CB. PA， PB是 O的切线.4 CAP CBA， CBP CAB.又 CD AB， CE PA， CF PB，Rt CAERt CBD，Rt CBFRt CAD， ， ， ，即 CD2 CECF.CACB CECD CBCA CFCD CECD CDCF要点三 弦切角定理综合应用例 3 如图所示，以 ABD的边 AB为直径作半圆 O交 AD于 C点，过点 C的切线 CE和 BD互相垂直，垂足为 E点.求证： AB BD.证法 1 如图所示，连接 OC. CE是 O的切线，
7、OC CE.又 BD CE， OC BD， ACO D.又 OA OC， ACO A， A D， AB BD.证法 2 由证法 1知 OC BD.又 AO BO， AC CD， OC BD.12又 OC AB， AB BD.12规律方法 借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等.跟踪演练 3 如图所示，割线 PBA过圆心 O， PT为 O的切线， T为切点， APT的平分线PD分别交 BT， AT于 C， D.求证： CTD为等腰三角形.证明 TDC A APT， PT是圆 O的切线， PTB A.12在 PTC
8、中， TCD BTP APT，12 TDC TCD， CTD为等腰三角形.5(1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半，这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.圆心角 圆周角 弦切角定义 顶点在圆心的角顶点在圆上，两边和圆相交的角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角图形角与弧的关系 AOB的度数 的度数AB ACB的度数 的度12AB 数 ACB的度数 的度12AC 数1.如图所示， AB是 O的一条弦， EC与
9、O相切于点 B， D是 O上的任一点(不与 A， B重合)，则下列为弦切角的是( )A. ADB B. AOBC. ABC D. BAO解析 ADB是圆周角， AOB是圆心角， ABC是弦切角， BAO不是弦切角.答案 C2.如图所示， MN与 O相切于点 M， Q和 P是 O上两点， PQM70，则 NMP等于( )A.20 B.70C.110 D.160解析 NMP是弦切角， NMP PQM70.答案 B3.已知 AB切 O于 A点，圆周被 AC所分成的优弧与劣弧之比为 31，则夹劣弧的弦切角 BAC_.解析 优弧与劣弧之比为 31，劣弧所对的圆心角为 90，所对的圆周角为 45，故由弦切
10、角定理可知，6弦切角 BAC45.答案 454.如图， O的弦 AB的延长线和切线 EP相交于点 P， E为切点， APE的平分线和 AE， BE分别相交于 C， D.求证： EC ED.证明 PE切 O于点 E， BEP A， PC平分 APE，34，又13 A，24 BEP，12， EC ED.一、基础达标1.已知，如图， PA切 O于点 A， BC是 O的直径， BC的延长线交 AP于 P， AE BP交 O于 E，则图中与 CAP相等的角的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 如图所示，连接 OA， OE，则 AOE为等腰三角形. OC AE， OC垂直平分 AE， ACE为
11、等腰三角形， EAC AEC CAP ABP.答案 C2.如图所示，已知 O的直径 AB与弦 AC的夹角为 35，过 C点的切线 PC与 AB的延长线交于点 P，则 P等于( )A.15 B.20C.25 D.30解析 如图，连接 BC，7 PC是 O的切线， PCB CAB35.又 PBC CAB ACB3590125， P1801253520.答案 B3.如图， AB是 O的直径， EF切 O于 C， AD EF于 D， AD2， AB6，则 AC的长为( )A.2 B.3C.2 D.43解析 如图，连接 BC，由 AB是直径，得 AC BC，由弦切角定理可知， ACD ABC， ABC
12、ACD， ，ACAD ABAC AC2 ABAD6212， AC2 .3答案 C4.如图所示，已知 AB和 AC分别是 O的弦和切线， A为切点， AD为 BAC的平分线，且交 O于 D， BD的延长线与 AC交于 C， AC6， AD5，则 CD_.解析 由 AC为切线，得 CAD B.由题意知 CAD BAD， DAB B， AD BD5.又 CAD B， C C， ACD BCA， ，即 CDBC AC2， CD(BD CD)ACBC CDAC AC2，即 CD(5 CD)36，解得 CD4(负值舍去).答案 45.如图所示， AB， AC是 O的两条切线，切点分别为 B， C， D是优
13、弧 BC上的点，已知 BAC80，那么 BDC_.解析 连接 OB， OC，则 OB AB， OC AC， BOC180 BAC100， BDC BOC50.12答案 5086.如图所示，已知圆上的弧 ，过 C点的圆的切线与 BA的延长线交于点 E，求证：AC BD (1) ACE BCD；(2)BC2 BECD.证明 (1)因为 ，所以 BCD ABC.AC BD 又因为 EC与圆相切于点 C，故 ACE ABC，所以 ACE BCD.(2)因为 ECB CDB， EBC BCD，所以 BDC ECB，故 ，BCBE CDBC即 BC2 BECD.二、能力提升7.如图所示， PA， PB是
14、O的两条切线， A， B为切点， C是 上的一点，已知 O半径为AB r， PO2 r，设 PAC PBC ， APB .则 ， 的大小关系是( )A. B. C. D.不能确定解析 如图，连接 OA， OB，则 OA PA，又 PO2 r2 OA， APO30， APB60， POA POB60，又 PAC PBC AOB60， .12答案 B8.如图，圆 O的直径 AB6， C为圆周上一点， BC3，过 C作圆的切线 l，过 A作 l的垂线 AD，垂足为点 D，则线段 CD的长为_.9解析 因为圆 O的直径 AB6， C为圆周上一点，则 AC BC，从而 cos CBA .又因为 l是圆
15、O的切线，36 12由弦切角定理得 DCA CBA，从而 cos DCAcos CBA .又因为 AD CD，所以 CD ACcos DCA12 .62 3212 332答案 3329.如图，已知 PA是圆 O(O为圆心)的切线，切点为 A， PO交圆 O于 B， C两点， AC ， PAB30，则线段3PB的长为_.解析 如图，连接 OA，又 PA为 O切线， OAP90， C PAB30， OBA OAB60， P PAB30， PB AB.又 AC ， BC为 O直径，3 CAB90， AB1， PB1.答案 110.如图， AD是 ABC的角平分线，经过点 A， D的 O和 BC切于
16、D，且与 AB， AC相交于E， F.求证： EF BC.证明 如图所示，连接 DF. DC是 O的切线，42.又 AD平分 BAC，12，41.10又由圆周角定理得13，34， EF BC.11.如图， AB为 O的直径，直线 CD与 O相切于 E， AD垂直 CD于 D， BC垂直 CD于 C， EF垂直 AB于 F，连接AE， BE.证明 (1) FEB CEB；(2)EF2 ADBC.证明 (1)由直线 CD与 O相切，得 CEB EAB.由 AB为 O的直径，得 AE EB，从而 EAB EBF ；2又 EF AB，得 FEB EBF .2从而 FEB EAB.故 FEB CEB.(
17、2)由 BC CE， EF AB， FEB CEB， BE是公共边，得 Rt BCERt BFE，所以 BC BF.类似可证 Rt ADERt AFE，得 AD AF.又在 Rt AEB中， EF AB，故 EF2 AFBF，所以 EF2 ADBC.三、探究与创新12.如图所示，点 P在 O外， PC是 O的切线，切点为 C，直线 PO与 O相交于 A， B两点.(1)探索 BCP与 P的关系；11(2)若 A30，则 PB与 PA有什么关系？(3) A可能等于 45吗？为什么？解 (1) PC为 O的切线， BCP A.在 PCA中， A P ACB BCP180，又 AB是 O的直径， ACB90， BCP .90 P2(2)若 A30，则 BCP A30， P30. PB BC， BC AB，12 PB PA，即 PA3 PB.13(3) A不可能等于 45.理由如下：设 A45，如图(2)所示，则 B45， BCP45， CP AB，与题干中 PC与 AB交于点 P矛盾， A不可能等于 45.
