1、12 数学证明学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系知识点一 演绎推理的含义思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被 2 整除，(2 1001)是奇数，所以(2 1001)不能被 2 整除答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理梳理定义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点 由一般到特殊的推理知识点二 三段论思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，
2、这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案 分为三段大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电梳理一般模式 常用格式大前提 已知的一般原理 M 是 P小前提 所研究的特殊情况 S 是 M结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S 是 P2类型一 演绎推理与三段论例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等， A， B 是等腰三角形的两底角，则 A B；(3)通项公式为 an2 n3 的数列 an为等差数列解 (1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱
3、形的对角线互相平分结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提 A， B 是等腰三角形的两底角，小前提 A B.结论(3)在数列 an中，如果当 n2 时， an an1 为常数，则 an为等差数列，大前提当通项公式为 an2 n3 时，若 n2，则 an an1 2 n32( n1)32(常数)，小前提通项公式为 an2 n3 的数列 an为等差数列结论反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可
4、找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练 1 (1)推理：“矩形是平行四边形；正方形是矩形；所以正方形是平行四边形”中的小前提是_(填序号)(2)函数 y2 x5 的图像是一条直线，用三段论表示为大前提：_；小前提：_；结论：_.答案 (1)(2)一次函数 y kx b(k0)的图像是一条直线函数 y2 x5 是一次函数3函数 y2 x5 的图像是一条直线类型二 三段论的应用命 题 角 度 1 用 三 段 论 证 明 几 何 问 题例 2 如图， D， E， F 分别是 BC， CA， AB 上的点， BFD A， DE BA，求证： ED AF，写出三段论形式的演绎推理证明 因为同位角相
5、等，两直线平行，大前提 BFD 与 A 是同位角，且 BFD A，小前提所以 FD AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE BA，且 FD AE，小前提所以四边形 AFDE 为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边，小前提所以 ED AF.结论反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路；找出每一个结论得出的原因；把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟踪训练 2 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，如图所示，求证： E
6、F平面 BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边，大前提点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，小前提4所以 EF BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF 平面 BCD， BD平面 BCD， EF BD，小前提所以 EF平面 BCD.结论命 题 角 度 2 用 三 段 论 证 明 代 数 问 题例 3 设函数 f(x) ，其中 a 为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范exx2 ax a围解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为 R，大前提因为 f(x)的定义域为 R，小前提所以 x2 ax a0 恒成立结论所以 a24 a0
7、，在(，0)和(2 a，)上， f( x)0， f(x)的单调增区间为(，0)，(2 a，)当 a2 时， f( x)0 恒成立， f(x)的单调增区间为(，)当 20， f(x)的单调增区间为(，2 a)，(0，)综上所述，当 01)，证明：函数 f(x)在(1，)上是增加x 2x 1的证明 方法一 (定义法)任取 x1， x2(1，)，且 x10，且 a1，所以 2,而10， x210，所以 f(x2) f(x1)0，所以 f(x)在(1，)上是增加的方法二 (导数法)f(x) ax ax1 .x 1 3x 1 3x 1所以 f( x) axlna .3x 12因为 x1，所以( x1)
8、20，所以 0.3x 12又因为 a1，所以 lna0， ax0，所以 axlna0，所以 f( x)0.故 f(x) ax 在(1，)上是增加的.x 2x 11下面几种推理过程是演绎推理的是( )A两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，则 A B180B某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人C由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D在数列 an中， a11， an (n2)，由此归纳出 an的通项公式12(an 1 1an 1)答案 A解析 A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理
9、62 “因为对数函数 ylog ax 是增函数(大前提)，又 13logyx是对数函数(小前提)，所以13logyx是增函数(结论) ”下列说法正确的是( )A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析 ylog ax 是增函数错误，故大前提错误3三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的” ，其中的“小前提”是( )ABCD答案 D4把“函数 y x2 x1 的图像是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_；小前提：_；结论：_.答案 二次函数的图像是一条抛物线 函数 y
10、 x2 x1 是二次函数 函数 y x2 x1 的图像是一条抛物线5设 m 为实数，利用三段论证明方程 x22 mx m10 有两个相异实根证明 因为如果一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的判别式 b24 ac0，那么方程有两个相异实根，大前提方程 x22 mx m10 的判别式 (2 m)24( m1)4 m24 m4(2 m1) 230，小前提所以方程 x22 mx m10 有两个相异实根结论1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特
11、殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.7一、选择题1 论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足 ”上述推理用的是( )A类比推理 B归纳推理C演绎推理 D一次三段论答案 C2正弦函数是奇函数， f(x)sin( x21)是正弦函数，因此 f(x)sin( x21)是奇函数以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确答案 C解析 由于函数 f(x)sin( x21)不是正弦函
12、数故小前提不正确3命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论” ，但推理形式错误D使用了“三段论” ，但小前提错误答案 C解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误4函数 y xcosxsin x 在下列哪个区间内是增加的( )A. B(，2)( 2， 32)C. D(2，3)(32， 52)答案 B解析 y xsinx当 x(，2)时， y0， y xcosxsin x 在(，2)上是增加的5下面几种推理中是演绎推理的是( )A因为 y2 x是指数函数，所以函数
13、y2 x经过定点(0,1)8B猜想数列 ， ， ，的通项公式为 an (nN )112 123 134 1nn 1C由圆 x2 y2 r2的面积为 r2，猜想出椭圆 1 的面积为 abx2a2 y2b2D由平面直角坐标系中圆的方程为( x a)2( y b)2 r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为( x a)2( y b)2( z c)2 r2答案 A6在 R 上定义运算： xy x(1 y)若不等式( x a)(x a)0 对任意实数 x 都成立，则 14( a2 a1)3，得 x ”的推理过程中，其大前提是3a2 a 1_答案 不等式两边同乘一个大于 0 的数，不等号方向不变11若不等式 ax22 ax20，则 x12，2 f(4 x1)，从而 f(x2) f(4 x1) f(x1)， f(x1) f(x2)0.
