1、1第二讲 直线与圆的位置关系讲末复习1.圆周角定理圆周角定理：圆上一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，其度数等于它所对的弧的度数的一半.推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.相交弦所成角定理：圆的两条相交弦所成角的度数等于它所夹的弧与它的对顶角所夹弧的度数和的一半.2.圆内接四边形的性质与判定(1)圆内接四边形的性质定理 1 圆内接四边形对角互补.定理 2 圆内接四边形的外角等于它的内对角.(2)圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.
2、推论 1 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆.2推论 2 如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.3.圆的切线的性质与判定(1)圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.(2)圆的切线的判定定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等.推论 经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.4.弦切角(1)弦切角的概念：顶点在圆上，一
3、边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角.弦切角必须具备三个条件：顶点在圆上，一边是圆的切线，一边是过切点的弦.三者缺一不可.(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，其度数等于它所夹的弧的度数的一半.推论 同弧(或等弧)上的弦切角相等；同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等.5.圆幂定理(1)相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的
4、两条线段长的比例中项.逆定理 从圆外一点引圆的割线，如果圆上一点与这点的连线是这点到割线与圆的交点的两条线段的比例中项，那么这点与圆上点的连线是圆的切线.3题型一 分类讨论思想分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想.当我们面临的数学问题不能以统一形式解决时，可以把已知条件的范围划分为若干个子集，在各个子集内分别讨论问题的解，然后通过综合各类解而得到原问题的解答，这种解决问题的思想方法叫做分类讨论的思想方法.应用分类讨论的思想方法解题的一般步骤是：(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全域；(2)合理分类，统一标准，不重不漏；(3)逐段逐类讨论，分级进行；(4)归纳总结，作出整个题目的结论.例
5、1 已知： O 的直径 AB2 cm，过 A 点的两条弦 AC cm， AD cm，求 CAD 所夹圆内部分的面积 S.2 3解 符合条件的圆有两种情况：(1)圆心 O 在 CAD 内部，如图(1).连接 OC， OD，过 O 作 OE AD 于 E. OA OC1， AC ， OC AB.2 OA1， AE AD ， OE ，12 32 12 OAE30， BOD60. S S AOC S 扇形 BOC S AOD S 扇形 BOD 11 1 2 12 (cm2).12 14 12 3 12 60360 12 4 34 6 2 34 512(2)圆心 O 在 DAC 外部时，如图(2)，有
6、S S AOC S 扇形 BOC S AOD S 扇形 BOD (cm2).12 4 34 6 2 34 12 CAD 所夹圆的部分的面积为 cm2或 cm2.(2 34 512) (2 34 12)4规律方法 分析所给条件，正确把握 C、D 两点与直径 AB 的位置关系，从而确定分类的标准，以避免只考虑AC、 AD 在直径 AB 同侧或异侧一种情况.跟踪演练 1 已知 O1与 O2相交于 A， B， O1的半径 r15， O2的半径 r24， AB6，求 O1O2的长.解 若 O1， O2在 AB 的异侧(如图(1)所示)， O1O2垂直平分 AB， AC3， O1C 4，O1A2 AC2O
7、2C ，O2A2 AC2 7 O1O2 O1C O2C4 .7若 O1， O2在 AB 的同侧(如图(2)所示)，易得 O1O24 .综上可知 O1O2的长为 4 或 4 .7 7 7题型二 化归思想化归思想又称转化思想，是把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或易解决的问题，最终求得问题的解答.在解决直线与圆的位置的有关问题时，常常需作辅助线，通过作辅助可将圆的问题化归为特殊三角形或四边形的问题，使问题得到解决.例 2 如图所示，已知在 ABC 中， AD 为 BAC 的平分线，以 C 为圆心， CD 为半径的半圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交
8、 AE 于点 M，且 B CAE， EF FD43.(1)求证： AF DF；(2)求 AED 的正弦值；(3)如果 BD10，求 ABC 的面积.(1)证明 ADE B BAD， DAE DAC CAE，又 BAD DAC， B CAE， ADE DAE. AE DE.又 DE 是半圆的直径， DFE90， AF DF.5(2)解 如图所示，过 A 作 AG BE 于 G. EF FD43，设 FE4 x，则 FD3 x.在 ADE 中， DE5 x， AE5 x， AF DF3 x. S ADE DEAG ADEF，12 12 AG x.ADEFDE 6x4x5x 245sin AED .
9、AGAE 245x5x 2425(3)解 B CAE， AEC BEA， AEC BEA. AE2 ECEB， BE 10 x.AE2EC 25x252x BD5 x，5 x10， x2.从而 AG x .245 485 S ABC BCAG x72.12 12(5x 52x) 245规律方法 本题综合性较强，在(1)的证明中，把证明 AF DF 的问题转化为证明 AE DE 的问题，进而又转化为证明 DAE ADE 的问题；在(2)的解答中，通过作辅助线，把求 sin AED 的问题转化为求 sin AEG 的问题，进而转化为求 AG， AE 的问题；在(3)的解答中，把求 S ABC的问题
10、转化为求 BC 与 AG 的问题，如此等等，每一步都体现着转化与化归的思想方法.跟踪演练 2 如图，在 ABC 和 ACD 中， ACB ADC90， BAC CAD， O 是以AB 为直径的圆， DC 的延长线与 AB 的延长线交于点 E.(1)求证： DC 是 O 的切线；(2)若 EB6， EC6 ，求 BC 的长.26(1)证明 AB 是 O 的直径， ACB90，点 C 在 O 上.连接 OC，可得 OCA OAC DAC， OC AD.又 AD DC， DC OC. OC 为半径， DC 是 O 的切线.(2)解 DC 是 O 的切线， EC2 EBEA.又 EB6， EC6 ，2
11、 EA12， AB6.又 ECB EAC， CEB AEC， ECB EAC， ，即 AC BC.BCAC ECEA 22 2又 AC2 BC2 AB236， BC2 .3题型三 函数方程思想在直线与圆的位置关系中，涉及很多数量关系，既有角的大小，也有线段的长度，在求它们的大小时，有时不太方便，这时我们可以利用相似三角形或有关定理建立以欲求量为未知数的函数或方程，通过求函数的最值或解方程求出所要求的量，这种函数方程的思想在直线与圆的位置关系中有广泛的应用.例 3 如图(1)所示，四边形 ABCD 是半径为 1 的半圆的内接等腰梯形，其下底是半圆的直径.写出该梯形的周长y 与腰长 x 之间的函数
12、关系式，当腰长为多少时，周长最长？并求出周长的最大值.解 如图(2)所示，过点 O 作 OE DC 于点 E，过点 D 作 DF AB 于点 F，连接 OD.设 DE m， OE n，则 DF n， AF AO FO1 m，且腰长 x0.当点 D， C 重合时，腰长 x 最大，但此时四边形 ABCD 就不是等腰梯形了， x ，即 0x .2 2在 Rt OED 和 Rt AFD 中，根据勾股定理，得：x2 n2(1 m)2，712 n2 m2.得 2m2 x2，即 DC2 m2 x2. y AB BC CD DA22 x2 x2 x22 x4( x1) 25.当 x1 时， y 取最大值 5.
13、即当腰长为 1 时，等腰梯形 ABCD 的周长最长，最大值为 5.规律方法 解本题的关键是建立周长 y 与腰长 x 之间的函数关系式.过点 O 作 OE DC， E 为垂足，过点 D 作DF AB， F 为垂足，这样将四边形中的线段的长度计算问题转化为直角三角形中的边长的计算问题.跟踪演练 3 如图所示，已知 O 与 ABC 的各边分别切于点 D， E， F，且 AB7 cm， BC5 cm， AC8 cm.求 AD， BE， CF 的长.解 O 与 ABC 各边切于点 D， E， F， AD AF， BD BE， CE CF.设 AD x， BE y， CF z.则 解得x y 7，x z
14、5，z x 8， ) x 5，y 2，z 3.) AD 的长为 5 cm， BE 的长为 2 cm， CF 的长为 3 cm.题型四 数形结合思想数形结合思想是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，通过对图形的认识，数与形的转化，化抽象为具体，化难为易，使问题得到解决.例 4 在 Rt ABC 中， C90， AC3 cm， BC4 cm.(1)求 ABC 内切圆的半径；(2)若移动圆心 O 的位置，使 O 保持与 ABC 的边 AC， BC 都相切.求半径 r 的取值范围；当 O 的半径为 cm 时，求圆心 O 的位置.127解析 (1)如图，在 Rt ABC 中，
15、 C90， AC3 cm， BC4 cm. AB 5 cm.AC2 BC2设 O 与 ABC 三边分别相切于点 D， E， F，连接 OD， OE， OF，则 OD BC， OE AC， OF AB.8又 OD OE， C90，四边形 CEOD 为正方形.内切圆的半径 r 1 cm.AC BC AB2 3 4 52(2)如图，设与 AC， BC 相切的最大圆与 AC， BC 的切点分别为 A， D，连接 OA， OD，则四边形 AODC 为正方形， OA AC3 cm.半径 r 的取值范围为 0r3 cm.如图，当圆心 O 在 AB 上时，设 O 与 AC， BC 分别切于点 E， D，连接
16、OE， OD，则四边形 OECD 为正方形， OE CE r. OE AC， BC AC， BC OE. ，即 . r cm.OEBC AEAC r4 3 r3 127当 r cm 时，圆心 O 在 C 的平分线与 AB 的交点处.127规律方法 将计算与具体图形相结合是解决问题的关键，通过分析图形的位置关系，得到数量关系.跟踪演练 4 两圆半径分别为 4 和 2，如果它们有两条互相垂直的公切线，求它们的圆心距.解 当一条直线为两圆的内公切线，另一条直线为两圆的外公切线时，如图(1)所示，可得O1O2 2 .22 62 10当两条直线都为两圆的内公切线时，如图(2)所示，可得 O1O2 6 .
17、62 62 2当两条直线都为两圆的外公切线时，如图(3)所示，可得 O1O2 2 .22 22 2综上可知，它们的圆心距为 2 或 6 或 2 .10 2 2体验高考1.(2015天津高考)如图，在圆 O 中， M， N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD， CE 分别经过点9M， N.若 CM2， MD4， CN3，则线段 NE 的长为( )A. B.383C. D.103 52解析 设 AM MN NB x，由相交弦定理得 CMMD AMMB，242 x2， x2.再利用相交弦定理得CNNE NBAN.3 NE24， NE .83答案 A2.(2015重庆高考)如图，圆 O 的弦 AB， C
18、D 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA6， AE9， PC3， CE ED21，则 BE_.解析 由切割线定理，知 PA2 PCPD，即 623 PD，解得 PD12，所以 CD PD PC9，又因为 CE ED21，所以 CE6， ED3.由相交弦定理，知 AEBE CEED，即9BE63，解得 BE2.答案 23.(2015湖北高考)如图， PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的割线，且 BC3 PB，则_.ABAC解析 由切割线定理知 PA2 PBPC，且 BC3 PB，所以 PA2 PB.由弦切角定理知 PAB ACP，又 APC
19、BPA，所以 PAB PCA.所以 .ABAC PAPC 12答案 124.(2015广东)如图，已知 AB 是圆 O 的直径， AB4， EC 是圆 O 的切线，切点为C， BC1，过圆心 O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD_.解析 如图所示，连接 OC，因为 OD BC，又 BC AC，所以 OP AC.又 O 为 AB 线段的中点，所以 OP BC .在 Rt OCD 中， OC AB2，由直角三角形的射影定理可得12 12 12OC2 OPOD，即 OD 8，故应填 8.OC2OP 2212答案 85.(2013湖南高考)如图，在半径为 的 O
20、 中，弦 AB， CD 相交于点710P， PA PB2， PD1，则圆心 O 到弦 CD 的距离为_.解析 由相交弦定理得 APPB DPPC，从而 PC 4，所以 DC5，所以圆心 O 到弦 CD 的距离等于APPBDP .（ 7） 2 (52)2 32答案 326.(2014湖南高考)如图，已知 AB， BC 是 O 的两条弦， AO BC， AB ， BC2 ，则 O3 2的半径等于_.解析 如图，设 AO， BC 的交点为 D，由已知可得 D 为 BC 的中点，则在直角三角形 ABD 中，AD 1，设圆的半径为 r，延长 AO 交圆 O 于点 E，由圆的相交弦定理可知 BDCD AD
21、DE，即( )AB2 BD2 222 r1，解得 r .32答案 327.(2013广东高考)如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上.延长 BC 到点 D 使 BC CD，过点 C 作圆 O 的切线交 AD 于点 E.若 AB6， ED2，则 BC_.解析 如图，连接 OC，则 OC CE， OCA ACE90， OAC OCA， OAC ACE90.易知 Rt ACBRt ACD，则 OAC EAC. EAC ACE90， AEC90，在 Rt ACD 中，由射影定理得： CD2 EDAD，又 CD BC， AD AB，将 AB6， ED2 代入式，得 CD 2 ， BC2 .
22、12 3 3答案 2 38.(2013重庆高考)如图，在 ABC 中， ACB90， A60， AB20，过点 C 作ABC 的外接圆的切线 CD， BD CD， BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为_.解析 由题意得 BC ABsin 6010 ，由弦切角定理知 BCD A60，所以3CD5 ， BD15，由切割线定理知， CD2 DEBD，则 DE5.3答案 59.(2013天津高考)如图， ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦，且 BD AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E， AD 与 BC 交于点 F.若 AB AC， AE6， BD5，则线段CF 的长为
23、_.解析 因为 AE 是圆的切线，且 AE6， BD5，由切割线定理可得 EA2 EBED，即 36 EB(EB5)，解得EB4.又 BAE ADB ACB ABC，所以 AE BC.又 AC BD，所以四边形 AEBC 是平行四边形，所以11AE BC6， AC EB4.又由题意可得 CAF CBA，所以 ，所以 CF .CACB CFCA CA2CB 166 83答案 8310.(2015陕西高考)如图， AB 切 O 于点 B，直线 AO 交 O 于 D， E 两点， BC DE，垂足为 C.(1)证明： CBD DBA；(2)若 AD3 DC， BC ，求 O 的直径.2(1)证明 因
24、为 DE 为 O 直径，则 BED EDB90，又 BC DE，所以 CBD EDB90，从而 CBD BED.又 AB 切 O 于点 B，得 DBA BED，所以 CBD DBA.(2)解析 由(1)知 BD 平分 CBA，则 3，BABC ADCD又 BC ，从而 AB3 .2 2所以 AC 4，所以 AD3.AB2 BC2由切割线定理得 AB2 ADAE，即 AE 6，AB2AD故 DE AE AD3，即 O 直径为 3.11.如图， O 和 O相交于 A， B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C， D 两点，连结 DB 并延长交 O 于点 E.证明：(1)ACBD ADAB；(
25、2)AC AE.12证明 (1)由 AC 与 O相切于 A，得 CAB ADB，同理 ACB DAB，所以 ACB DAB.从而 ，ACAD ABBD即 ACBD ADAB.(2)由 AD 与 O 相切于 A，得 AED BAD，又 ADE BDA，得 EAD ABD.从而 ，AEAB ADBD即 AEBD ADAB.结合(1)的结论， AC AE.12.(2015新课标全国)如图， AB 是 O 的直径， AC 是 O 的切线， BC 交 O 于点 E.(1)若 D 为 AC 的中点，证明： DE 是 O 的切线；(2)若 OA CE，求 ACB 的大小.3(1)证明 连接 AE， OE，由
26、已知得， AE BC， AC AB.在 Rt ABC 中，由已知得， DE DC，故 DEC DCE.连接 OE，则 OBE OEB.又 ACB ABC90，所以 DEC OEB90，故 OED90， DE 是 O 的切线.(2)解 设 CE1， AE x，由已知得 AB2 ， BE .3 12 x2由射影定理可得， AE2 CEBE，所以 x2 ，即 x4 x2120.12 x213可得 x ，所以 ACB60.313.(2015卓越联盟试题)如图， AB 是圆 O 的直径，弦 CD AB 于 M， E 是 CD 延长线上一点，且 AB10， CD8，3 DE4 OM， EF 是圆的切线，
27、F 是切点， BF 交 CD 于点 G.(1)求线段 EG 的长；(2)连接 FD，判断 FD 与 AB 是否平行，并加以证明.解 (1)如图，连接 AF， OF，则 A， F， G， M 四点共圆，且由 EF 是切线知 OF EF.所以 FGE BAF，且 EFG BAF(弦切角等于弦所对的圆周角).所以 FGE EFGEF EG.由 AB10， CD8 OM 3，52 42所以 ED OM4.43由 OM2 ME2 OF2 EF2 OE2EF2 OM2 ME2 OF23 28 25 248.所以 EF EG4 .3(2)如图，连接 AD，则 BAD BFD.由(1)知， GM EM EG84 3tan MBG 42 ，tan BAD tan MBGMGMB 8 432 3 MDMA 48 12 MBG BAD MBF BFD，故 FD 与 AB 不平行.
