1、13.1.3 概率的基本性质【选题明细表】 知识点、方法 题号事件关系的判断 1,2,4,9互斥、对立事件的概率 3,5,6,7,10概率的应用 8,11,121.(2017山西太原期末)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( D )(A)至多有一次中靶 (B)两次都中靶(C)只有一次中靶 (D)两次都不中靶2.下列四个命题:(1)对立事件一定是互斥事件;(2)A,B 为两个事件,则 P(AB)=P(A)+P(B);(3)若 A,B,C 三事件两两互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1;(4)事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B是对立事件.其中假命
2、题的个数是( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:(1) 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件(2) 只有当 A,B 互斥时,才有 P(AB)=P(A)+P(B)(3) 虽然 A,B,C 三个事件两两互斥,但其并事件不一定是必然事件(4) 只有当 A,B 互斥,且满足 P(A)+P(B)=1 时,A,B 才是对立事件故选 D.3.已知 P(A)=0.1,P(B)=0.2,则 P(AB)等于( D )(A)0.3 (B)0.2 (C)0.1 (D)不确定解析:由于不能确定 A 与 B 互斥,则 P(AB)的值不能确定.故选 D.4.给出以下三个命题:(1)将一枚硬币抛
3、掷两次,记事件 A:“两次都出现正面”,事件 B:“两次都出现反面”,则事件 A 与事件 B 是对立事件;(2)在命题(1)中,事件 A 与事件 B 是互斥事件;(3)在 10 件产品中有 3 件是次品,从中任取 3 件,记事件 A:“所取 3 件中最多有 2 件是次品”,事件 B:“所取 3 件中至少有 2 件是次品”,则事件 A 与事件 B 是互斥事件.其中命题正确的个数是( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:命题(1)不正确,命题(2)正确,命题(3)不正确.对于(1)(2),因为抛掷两次硬币,除事件A,B 外,还有“第一次出现正面,第二次出现反面”和“第一次出现反面,第
4、二次出现正面”两种事件,所以事件 A 和事件 B 不是对立事件,但它们不会同时发生,所以是互斥事件;对于(3),若所取的 3 件产品中恰有 2 件次品,则事件 A 和事件 B 同时发生,所以事件 A 和事件 B不是互斥事件.故选 B.5.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人去参加演讲比赛,所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为,那么所选 3 人中都是男生的概率为( A )452(A) (B) (C) (D)解析:设 A=3 人中至少有 1 名女生,B=3 人都为男生,则 A,B 为对立事件,所以 P(B)=1-P(A)= .156.如果事件 A 和 B 是互斥事件,且事件 AB 的概率
5、是 0.8,事件 A 的概率是事件 B 的概率的3 倍,则事件 B 的对立事件的概率为 . 解析:根据题意有 P(AB)=P(A)+P(B)=4P(B)=0.8,所以 P(B)=0.2,则事件 B 的对立事件的概率为 1-0.2=0.8.答案:0.87.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为 ,乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 14解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
6、+ = .37 1928答案:19288.一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标有号码 1,2,3,10.从中任取一球,求下列事件的概率.(1)A=球的标号数不大于 3;(2)B=球的标号数是 3 的倍数;(3)C=球的标号数是质数.解:(1)球的标号数不大于 3 包括三种情况,即球的标号数分别为 1,2,3,易知 P(A)=P(球的标号为 1)P(球的标号为 2)P(球的标号为 3)= + + = .110(2)球的标号数是 3 的倍数包括三种情况,即球的标号数分别为 3,6,9,易求 P(B)= + += .(3)球的标号数是质数包括四种情况,即球的标号数分别是 2,3,5,7,易知
7、P(C)= + + += = .259.如果事件 A,B 互斥,记 , 分别为事件 A,B 的对立事件,那么( B )(A)AB 是必然事件(B) 是必然事件(C) 与 一定互斥(D) 与 一定不互斥解析:用 Venn 图解决此类问题较为直观,如图所示, 是必然事件,故选 B.310.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组,3 个小组分别有 39,32,33 个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图 所示.现随机选取一个成员,他属于至少 2 个小组的概率是 ,他属于不超过 2 个小组的概率是 . 解析:“至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况,故他属于至
8、少两个小组的概率为P= = .35“不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”,其对立事件是“3 个小组”.故他属于不超过 2 个小组的概率是P=1- = .1315答案: 35 131511.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如表所示.一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x,y 的值,并估
9、计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率)解:(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的随机样本,顾客购物一次的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 =1.9(分钟).115+1.530+225+2.520+310100(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A 1,A2,A3分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”
10、“一位顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”“一位顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得P(A1)= = ,P(A2)= = ,P(A3)= = .14因为 A=A1A 2A 3,且 A1,A2,A3彼此互斥,所以 P(A)=P(A1A 2A 3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = .14故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .412.小明家楼下有一个小超市,他在观察小超市的顾客流量时,发现某一时刻有 n 个人在小超市内的概率为 P(n),且 P(n)与时刻 t 无关,统计得到 P(n)=求在某一时刻,这个小超市里一个人也没有的概率 P(0)的值.解:根据题意知,在某一时刻这个小超市内最多只有 5 个人.0 个人,1 个人,2 个人,3 个人,4个人,5 个人在小超市内是互斥事件,所以 P(0)+P(1)+P(5)=1,即P(0)1+( )1+( )5=1,得 P(0)= .12 12 3263
