1、一模型界定由于电场或磁场的周期性变化、或是由于电场与磁场在空间上的有界分布，引起带电粒子在空间运动时在运动形式的周期性重现，其解通常需由自然数 n 来表达的一类问题二模型破解（I）在电场或磁场随时间发生周期性变化而引起带电粒子在空间运动的周期性时:通常需要先分析带电粒子在一个周期内的运动情况，再综合考虑粒子在整个空间中的运动以及题目对粒子运动要求例 1.如图甲所示，在真空中半径为 r 的虚线所围的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向与纸面垂直，在磁场右侧有一对平行金属板 M 和 N，两板间距离也为 r，板长为 2r，两板的中心线 O1O2与磁场区域的圆心 O 在同一直线上，两板左端与 O1也在同一
2、直线上。今有一电荷量为 q、质量为 m 的带正电的粒子，以速率 从圆周上的 P 点沿垂直于半径 OO1，并指向圆心 O 的方向进入磁场，当从圆周上的 O1点飞出磁场时，0v给 M、N 板加上如图乙所示电压 ，最后粒子刚好以平行于 N 板的速度从 N 板边缘飞出，不计平行金属板两u端的边缘效应及粒子所受的重力，求：例题图（1）磁场的磁感应强度 B 的大小和方向；（2）交变电压的周期 T 和电压 U0的值；（3）若 t=T2 时，将粒子从 MN 板右侧沿板的中心线 O2O1仍以速率 射入 MN 板之间，请画出粒子0v经过磁场中的运动轨迹，并求出粒子从磁场中射出的点到 P 点的距离。例答图【答案】
3、（1） 垂直纸面向外 （2） 其中 （3）qrmvB002nvrTqmvU20,21nr（2）带电粒子在电场中水平方向始终是做速度大小为 的匀速直线运动；竖直方向上前半个周0v期内做匀加速运动，后半个周期内做匀减速运动。由于电压的峰值相同，可知每个周期结束时粒子在竖直方向上的分速度恰好减小到零由于粒子从板间飞出时速度水平，即在竖直方向上最终速度为零，则可知：粒子通过金属板的时间有： 其中 nTt,321从水平方向看： vr02从竖直方向看： )(21anrmqUa0由以上各式得： 0nvrT其中 qn200,321（3）由（2）中知粒子飞离电场即进入磁场时的位置是上板边缘，速度大小仍为 v0，
4、方向水平做出粒子在电场及磁场中运动轨迹如图乙所示，由于粒子在磁场中匀速圆周运动的半径 ，rR设粒子在磁场出射点为 ，由几何关系可得：Q30 = 901O所以射出点到 P 点的距离 = Pr2例 2.如图甲所示，匀强磁场方向垂直直角坐标系 xoy 向里，磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律如图乙所示，在 t0 时刻一个带负电的粒子（重力不计）经电压为 U 的电场加速后，由原点 O 沿 y 轴正方向射入磁场中例题图(1)若粒子比荷 ，求带电粒子从原点出发到再次回到原点所用时间 t；02tBmq(2)若粒子比荷 ，求带电粒子在 010t 0时间内运动轨迹的长度 s；0t(3)若粒子比荷 ，同时在
5、xoy 平面内加上匀强电场，电场方向与 y 轴正方向相同，电场强度0tBmqE 随时间 t 的变化规律如图丙所示，运动一段时间后带电粒子能够回到原点 O，试确定匀强电场 E 的可能取值【答案】 （1） （2） （3） （n=1,2,3,)0tT0BUts0102tUBnvE又 02tBmq解得 T则 0t(3)若粒子的比荷变为 ，则带电粒子在磁场中的运动周期0tBmq 012tT在加速电场中被加速后速度为 v1据动能定理有21vUq所以 002tBUv在 0t 时间内无电场而仅有磁场，粒子做匀速圆周运动，轨道半径设为 R1，粒子转过的圆心角，t 时刻经 x 轴沿 y 轴负方向运动的速率为 v1
6、；在 t 2t 时间内无磁场而仅有电场，21T粒子受到沿 y 轴负方向的电场力作用，做初速度为 v1的匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 0mEqa设 2t0时刻粒子的速度为 v2，据运动学的知识有 )2(02ta在 2t 3t 时间内无电场而仅有磁场，粒子的运动轨道半径设为 R2，转过的圆心角仍为 ，但速度v2v1，所以 R2R1；在 3t 4t 时间内无磁场而仅有电场，粒子受到沿 y 轴负方向的电场力作用，做初速度为 v2的匀减速直线运动，4t 时刻的速度大小又变为 v1；粒子在空间上完成了一个周期性运动，此后在4t 5t 时间内的运动情况与 0t 时间内相同；，粒子的运动轨迹如图所示，欲使
7、粒子回到原点，由几何关系，半径 R1和 R2之间必须满足又 ，2)(n120vmqB220RvqB解得 （n=1,2,3,) 0102tUnvE三模型演练1.平行金属，板长 1.4 米，两板相距 30 厘米，两板间匀强磁场的 B 为 1.310-3特斯拉，两板间所加电压随时间变化关系如甲图所示。当 t=0 时，有一个 a 粒子从左侧两板中央以 V=4103米/秒的速度垂直于磁场方向射入，如乙图所示。不计 a 粒子的重力，求：该粒子能否穿过金属板间区域 ?若不能，打在何处?若能，则需多长时间? (已知 a 粒子电量 q=3.210-19库，质量 m=6.6410-27千克)甲乙练图则在不加电压的
8、时间内， a 粒子恰好能在磁场中运动一周。当两板间又加上第 2 个周期和第 3 个周期的电压时， a 粒子将重复上述的运动。粒子在板间做匀速直线运动的时间为 ,而由上述分析可知,粒子在板间每匀速运动svLt4105.3经过一个 时间,就要做一个完整的圆周运动,粒子做匀速直线运动阶段数为 ,故做圆st410 5.31t周运动的个数为 3,粒子在板间运动的总时间为 ,其运动轨迹如图所示。sTt4105.632.如图甲所示，竖直挡板 MN 左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度 E=40N/C，磁感应强度 B 随时间 t 变化的关系图象如图乙所
9、示，选定磁场垂直纸面向里为正方向 t=0 时刻，一质量 m=810-4kg、电荷量 q=+210-4C 的微粒在 O 点具有竖直向下的速度 v=0.12m/s， O是挡板 MN 上一点，直线 OO与挡板 MN 垂直，取 g=10m/s2求：MNO Ov练 2 图甲BE练 2 图乙Ot/sB/T0.8-0.85 15 25 3510 20 30（1）微粒再次经过直线 OO时与 O 点的距离；（2）微粒在运动过程中离开直线 OO的最大高度；（3）水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与 O 点间的距离应满足的条件【答案】 （1）1.2m（2）2.48m（3） L=（1.2 n+0.6) m （
10、 n=0，1，2)（3）若微粒能垂直射到挡板上的某点 P， P 点在直线 OO下方时，由图象可知，挡板 MN 与 O 点间的距离应满足 L=（2.4 n+0.6)m（ n=0，1，2) 若微粒能垂直射到挡板上的某点 P， P 点在直线 OO上方时，由图象可知，挡板 MN 与 O 点间的距离应满足 L=（2.4 n+1.8) m （ n=0，1，2) 两式也可合写成 L=（1.2 n+0.6) m （ n=0，1，2)3.在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图甲所示磁场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化情况如图乙所示该区域中有一条水平直线 MN，D
11、是 MN 上的一点在 t0 时刻，有一个质量为 m、电荷量为q 的小球(可看做质点 )，从 M 点开始沿着水平直线以速度v0做匀速直线运动，t 0时刻恰好到达 N 点经观测发现，小球在 t2t 0至 t3t 0时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线 MN 上的 D 点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过 D 点求：甲 乙练 3 图(1)电场强度 E 的大小(2)小球从 M 点开始运动到第二次经过 D 点所用的时间(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)【答案】 （1） （2） （3）qmgE0321qBmtt0)34(qBmnT(2)小球从 M 点到达 N 点所用时间 t1t 0
12、由于在 t2t 0至 t3t 0时间内的某一时刻，小球又竖直向下经过直线 MN 上的 D 点,则小球从 N 点经过 个圆周到达 P 点，所以 (n=0,1,2,3)43n 0002 2)34()3(qBmnnt 小球从 P 点运动到 D 点的位移 ,0qmvRx小球从 P 点运动到 D 点的时间 03Bvt所以时间 0321qmtt或 , )4(0nqBmt 1)34(0nt(3)小球运动一个周期的轨迹如图所示小球的运动周期为：T8t 0(或 (n=0,1,2,3)0)(qBmT（II）在由于电场或磁场在空间的有界分布而引起带电粒子在空间上的运动周期性时:需要先分析粒子在空间完成一个周期运动后
13、，再分析题目要求与粒子周期性运动之间的关联（i）在电场或磁场的边界是直线边界时，通常需要从粒子在一个周期内运动的距离与整个运动之间的空间联系上来考虑例 3.如图所示的直角坐标系中，在直线 02lx的 y 轴区域内存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中 x 轴上方的电场的方向沿 y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向。在电场左边界上),2(0lA到 ),2(0lC区域内，连续分布着电荷量为 +q，质量为 m 的粒子。从某时刻起由 A 点到 C 点间的粒子，依次连续以相同的速度 0v沿 x 轴正方向射入电场。若从 A 点射入的粒子，恰好从 y 轴上的),(0l沿 x 轴正方向射
14、出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。例 3 题图（1）求匀强电场的电场强度 E：（2）求 AC 间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿 x 轴正方向运动？【答案】 （1） 02qLmV（2）AC 间 y 坐标为 ),321(02nL（2）设到 C 点的距离为 y处射出的粒子通过电场后也沿 x 轴正方向，粒子第一次达 x 轴用时 t，水平位移为 x，则tVx0 2)(1tmqEy粒子从电场射出时的速度方向也将沿 x 轴正方向，则nL20解之得： 0201)(1LnVqEy 即 AC 间 y 坐标为 ),32例 4.如图所示，在 x 轴上方有一匀强电场，场强为 E，方向竖直向
15、下在 x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里在 x 轴上有一点 P，离原点的距离为 a.现有一带电量q 的粒子，质量为 m，从 y 轴上某点由静止开始释放，要使粒子能经过 P 点，其初始坐标应满足什么条件？ (重力作用忽略不计)例 4 题图【答案】 (n=1,2,3)mEnqaBy28模型演练4.如图所示， 1L和 2为平行的虚线， 1L上方和 2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度相同的匀强磁场， AB两点都在 上。带电粒子从 A点以初速 v与 成 03斜向上射出，经过偏转后正好过 B点，经过 点时速度方向也斜向上，不计重力。下列说法中正确的是练 4 图A、带电粒子经过 B点
16、时的速度一定跟在 A点的速度相同；B、若将带电粒子在 A点时的初速度变大（方向不变） ，它仍能经过 B点；C、若将带电粒子在 点时的初速度方向改为与 2L成 06角斜向上，它就不一定经过 B点；D、粒子一定带正电荷；练 4 题答图【答案】AB5.在如图所示的 坐标系中， 的区域内存在着沿 轴正方向、场强为 E 的匀强电场， 的区-xoy0yy 0y域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场。一带电粒子从 轴上的 点以沿 轴正方y(0,)Phx向的初速度射出，恰好能通过 轴上的 点。己知带电粒子的质量为 ，带电量为 。 、 、x(,0)Ddmqd均大于 0。不计重力的影响。q练 5 图
17、(1)若粒子只在电场作用下直接到达 D 点，求粒子初速度的大小 ；0v(2)若粒子在第二次经过 轴时到达 D 点，求粒子初速度的大小x(3)若粒子在从电场进入磁场时到达 D 点，求粒子初速度的大小 ；0v【答案】 （1） （2） （3）mhqEdv0BEhqdv20 BEnmhqnd121206.如图所示的直角坐标系中，第、象限内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，在 x=2 L 与 y 轴之间第、象限内存在大小相等，方向相反的匀强电场，场强方向如图所示。在 A（2 L， L）到C（2 L，0）的连线上连续分布着电量为 q、质量为 m 的粒子。从 t=0 时刻起，这些带电粒子依次以相同的速度 沿 x
18、 轴正方向射出。从 A 点射入的粒子刚好沿如图所示的运动轨迹从 y 轴上的 A（0， L）沿 x 轴正方向穿过 y 轴。不计粒子的重力及它们间的相互作用，不考虑粒子间的碰撞。练 6 图（1）求电场强度 E 的大小（2）在 AC 间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿 x 轴正方向穿过 y 轴（3）若从 A 点射入的粒子，恰能垂直返回 x2 L 的线上，求匀强磁场的磁感应强度 B【答案】 （1）2mvEqL（2） y= 21n （ n = 1，2，3，） （3）（2）设到 C 点距离为 y 处射出的粒子通过电场后也沿 x 轴正方向，粒子第一次达 x 轴用时 t，水平位移为 x， 则 x= t 2
19、1()yat 若满足 2L=n2 x，则从电场射出时速度方向沿 x 轴正方向 解得： 211()yatLn 即 AC 间 y 坐标为 y= 2 （ n = 1，2，3，） 的粒子通过电场后能沿 x 轴正方向穿过 y 轴 （3）粒子在磁场中运动时 vqBmR 若满足 21(,3)RLn 粒子经磁场和电场后能垂直返回 x-2 L 的线上， 得 B= （ n = 1，2，3，） (ii)在折线边界上,粒子通过转角处时,最常见的一种方式是以转角为运动轨迹圆心的转动.例 3如图所示，边长为 L 的等边三角形 ABC 为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 B，三角形
20、外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为B.把粒子源放在顶点 A 处，它将沿A 的角平分线发射质量为 m、电荷量为 q、初速度为 v0的带正电的粒子（粒子重力不计）.则下列说法正确的是 k.5.uCABv0例 3 题图A.若 v0= mqL，则粒子第一次到达 B 点所用的时间为 qBmB.若 v0= B2，则粒子第一次到达 B 点所用的时间为 32C.若 v0= mqL，则粒子第一次到达 C 点所用的时间为 qBmD.若 v0= B2，则粒子第一次到达 C 点所用的时间为 3【答案】BC模型演练7.如图所示，边长为 L 的等边三角形 ABC 为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的
21、磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 B，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为 B.把粒子源放在顶点 A 处，它将沿A 的角平分线发射质量为 m、电荷量为 q、初速度为 v0的带正电的粒子（粒子重力不计）s.若 ，则粒子第一次到达 C 点所用的时间为多少？qv30CABv0练 7 题图【答案】 13mqB【解析】：粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力 rvmBq20练 7 答题图8.如图所示，空间某竖直平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小均为 B.折线的顶角A=90 0,P、Q 是折线上的两点，AP=AQ=
22、L现有一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子从 P 点沿 PQ 方向射出，不计粒子的重力(1)若在 PQ 间加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使粒子以速度 v0从 P 点沿直线运动到 Q 点，求场强的大小和方向(2)撒去电场，为使粒子从 P 点射出后，途经折线的顶点 A 到达 Q 点，则初速度 v 应满足什么条件？并求出粒子从 P 点经 A 点到达 Q 点所用时间的最小值【答案】 （1） E = v0B 方向竖直向下（2） （ n =1、2、3） tmin = mqBLv2 mqB（iii）在磁场边界是圆形边界且粒子穿过边界时速度沿磁场半径方向:通常需要从粒子在每相邻两次通过磁场边界时转过的圆
23、弧所对应的磁场圆心角与整个运动的联系上来考虑注意磁场半径与轨迹半径、转过的圆心角与转过圆弧对应的磁场圆心角之间的差异.边界两侧磁场方向相反时,粒子沿径向穿过边界,若粒子运动经过 n 段圆弧能回到原出发点,粒子与磁场圆心连线可转过 k(k=1,2,3,)圈:(一)若界面两侧磁感应强度大小相等,则边界内外的每段圆弧的半径相等,每段圆弧对应的磁场圆心角 相等. a 粒子在边界内转过的是一劣弧,在边界外转过的是一优弧,边界内外两相邻的圆弧恰好可合成一个完 b整的圆周,即边界内外两相邻圆弧对应的运动轨迹圆心角之和恰好等于 21,由于 可知 ,即(n=2k+1,2k+2,2k+3,) c 2knkn2每段
24、圆弧对应转过的圆心角 与 的关系: d 粒子转过的是一段优弧时 ;粒子转过的是一段劣弧时 .粒子转动半径 R 与区域半径 r 的关系: e 2cottanr例 4.在某平面上有一半径为 R 的圆形区域，区域内外均有垂直于该平面的匀强磁场，圆外磁场范围足够大，已知两部分磁场方向相反且磁感应强度都为 B，方向如图所示。现在圆形区域的边界上的 A 点有一个电量为 ，质量为 的带电粒子以沿半径且垂直于磁场方向向圆外的速度经过该圆形边界，已知该粒子qm只受到磁场对它的作用力。例 4 题图（1）若粒子在其与圆心 O 连线旋转一周时恰好能回到 A 点，试粒子运动速度 V 的可能值。（2）在粒子恰能回到 A
25、点的情况下，求该粒子回到 A 点所需的最短时间。【答案】 （1） V= ， （ n=3，4，5） （2）mBqRta qBmTt1（2）粒子做圆周运动的周期 T= Bqm2因为粒子每次在圆形区域外运动的时间和圆形区域内运动的时间互补为一个周期 T，所以粒子穿越圆形边界的次数越少，所花时间就越短，因此取 n=3代入到可得32而粒子在圆形区域外运动的圆弧的圆心角为 35)(故所求的粒子回到 A 点的最短运动时间qBmTt12模型演练9.如 图 所 示 ， 直 线 MN 下 方 无 磁 场 ， 上 方 空 间 存 在 两 个 匀 强 磁 场 ， 其 分 界 线 是 半 径 为 R 的 半 圆 ， 两
26、 侧的 磁 场 方 向 相 反 且 垂 直 于 纸 面 ， 磁 感 应 强 度 大 小 都 为 B。 现 有 一 质 量 为 m、 电 荷 量 为 q 的 带 负 电 微 粒 从 P点 沿 半 径 方 向 向 左 侧 射 出 ， 最 终 打 到 Q 点 ， 不 计 微 粒 的 重 力 。 求 ：（ 1） 微 粒 在 磁 场 中 运 动 的 周 期 ；（ 2） 从 P 点 到 Q 点 ， 微 粒 的 运 动 速 度 大 小 及 运 动 时 间 ；（ 3） 若 向 里 磁 场 是 有 界 的 ， 分 布 在 以 O 点 为 圆 心 、 半 径 为 R 和 2R 的 两 半 圆 之 间 的 区 域
27、， 上 述 微粒 仍 从 P 点 沿 半 径 方 向 向 左 侧 射 出 ， 且 微 粒 仍 能 到 达 Q 点 ， 求 其 速 度 的 最 大 值 。NOM P QBB【 答 案 】 （1） 2mTqB（2） 0tan2qRv （ n=2， 3， 4） 2nmtTBq （ n=2， 4， 6） 1(1)2nmtTnBq （ n=3， 5， 7） （3） 0Rv（ 3） 由 几 何 知 识 得 tan2rR ； cos2Rxn (1 分 )且 不 超 出 边 界 须 有 ： tcosn （ 1 分 ）得 21i2 （ 1 分 ）当 n=2 时 不 成 立 ， 如 图 （ 1 分 ）NOM P
28、QO1哦BO21哦BBO1 NOM P QO219ANOM P QO1哦BO21哦BO321哦BO4321哦BB BO1哦BO21哦BBM P Q NO比 较 当 n=3、 n=4 时 的 运 动 半 径 ，知 当 n=3 时 ， 运 动 半 径 最 大 ， 粒 子 的 速 度 最 大 0ta2mvrRBq（ 2 分 ）得 ： 03v （ 1 分 ）NOM P QO1哦BO21哦BO321哦BO4321哦BCChbaBBO1NMO21 O31OP Q(二)若界面两侧磁感应强度大小不等,则边界两侧的粒子运动轨迹圆弧半径不等,对应的磁场圆心角 不等，磁感应强度小即轨迹半径 a 大的区域内转过的圆弧
29、对应的磁场圆心也大粒子在边界内转过的仍是一劣弧,在边界外转过的仍是一优弧,但边界内外两相邻圆弧对应的运 b动轨迹圆心角之和不等于 2将每相邻的边界内外的两个圆弧分为一组，若恰好经过 n 组回到出发点时有： c；否则有：)(21kn 2)1(kn每段圆弧对应转过的圆心角 与 的关系仍有: d 粒子转过的是一段优弧时 ;粒子转过的是一段劣弧时 .粒子转动半径 R 与区域半径 r 的关系: e 2cottanR(III)磁场边界是弹性材料时，因粒子与器壁的碰撞而引起的周期性运动例 5.如图所示，粒子源 S 可以不断地产生质量为 m、电荷量为+q 的粒子，粒子从小孔 O1漂进(不计初速)一个水平方向的
30、加速电场，再经小孔 02进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域，其电场强度大小为E，磁感应强度大小为 B1，方向如图虚线 PQ、MN 之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B2(方向图中未画出)。现有 n 块折成直角的相同硬质塑料板 abc(不带电，宽度很窄，厚度不计)紧靠在一起，恰好放置在 PQ、MN 之间(截面图如图)，ab=bc=L，=45 0。现使粒子能沿水平虚线 0203进入 PQ、MN 之间的区域。假设粒子的重力、空气阻力均不计，粒子与板相碰后，速率不变，方向变化遵守光的反射定律。求：(1)加速电压 U(2)粒子在 B2磁场中运动的总时间 t；(3)粒子在 PQ、MN 之间运
31、动的平均速度大小 v。【答案】 （1） （2） （3）1qmEELnBqmt12214LBtsv214(2)粒子从 O3以速率 v 进入 PQ、MN 之间的区域，先水平向右匀速运动，打到 ab 板上，以大小为 v 的速度垂直于 B2磁场方向做半径为 R 的匀速圆周运动，运动一周后打到 ab 板的下表面随后又以大小为 v的速度水平向右做匀速运动 例 6.如图所示，在半径为 R 的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔 C 与平行金属板 M、 N 相通。两板间距离为 d，两板与电动势为 E 的电源连接，一带电量为 q、质量为 m 的带电粒子（重力忽略不计） ，在 C 点正下方紧靠 N 板的 A 点，无初速经电场加速后从 C 点进入磁场，与圆筒发生两次碰撞后从 C 点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。求：A=BCMNEd,R例 6 题图筒内磁场的磁感应强度大小；
