1、学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杨晓辉 2.2.2 椭圆的简单几何性质课前预习学案一、 预习目标：预习椭圆的四个几何性质二、 预习内容：(1)范围:- ，椭圆落在-组成的矩形中(2)对称性:图象关于 轴对称图象关于 轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的-yx-，简称- 轴、 轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，x对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： -加两焦点-共有六个特殊点. 叫椭圆的- ， 叫椭圆的 -长分别为 分别为椭圆的-和21A21Bba2,-.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 ace2)(
2、1a10e椭圆形状与 的关系： ，椭圆变-，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆e0,为椭圆在 时的特例 椭圆变-，直至成为极限位置线段 ，此时也可0,1ce 21F认为圆为椭圆在 时的特例 三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、学习目标：1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解 a,b,c,e 的几何意义。2 初步利用椭圆的几何性质解决问题。学习重难点：椭圆的几何性质的探讨以及 a,b,c,e 的关系二、学习过程：探究一 观察椭圆 的形状，)0(12bayx你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点
3、比较特殊？1 、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是 。_椭圆上点的纵坐标的范围是 。._（2）由椭圆的标准方程 知)0(12bayx 1,即 ； 1；即 2ax_x_2by_y因此 位于直线 和 围成的矩形里。)0(12byx2 、对称性（1）从图形上看，椭圆关于 ， ， 对称_（2）在椭圆的标准方程 中)0(12bayx 把 x 换成-x 方程不变，说明图像关于 轴对称把 y 换成-y 方程不变，说明图像关于 轴对称_把 x 换成-x，同时把 y 换成-y 方程不变，说明图形关于 对称，因_此 是椭圆的对称轴， 是椭圆的对称中心，椭圆的对称_中心叫做 来源:高考学习网 3 、
4、顶点（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有 个交点，分别为：( , ) ( , ) ( , ) ( , )A2A1B2（2）线段 叫做椭圆的 ，其长度为1_线段 叫做椭圆的 ，其长度为B2a 和 b 分别叫做椭圆的 和探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁” ，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？4 、椭圆的离心率来源:_st.Com（1）定义： 叫做椭圆的离心率，用_表示，即 （2）由于 ac0，所以离心率 e 的取值范围是 _（3）若 e 越接近 1，则 c 越接近 a，从而 越 ，因而椭圆越2cab.若 e 越接近 0，则 c 越接近 0，从而 越 ，因而_
5、2椭圆越接近于 ._三、反思总结：下面把焦点在 x 轴和在 y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：标准方程 )0(,12bayax )0(,12baxa图形范围对称性顶点坐标焦点坐标轴长 短轴长 ，长轴长 ._离心率四 、 当 堂 检 测 ：1对于椭圆 ，下列说法正确的是（ ）A焦点坐标是 B长轴长是 5来源:高考.试题库 ST%C准线方程是 D离心率是 2离心率为 、且经过点 的椭圆的标准方程为（ ）来源:高考(试#题库 ST-A B 或 C D 或 答案：1D 2D课后练习与提高1若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 m=（ ）x12myx2A B C D32338322. 椭圆 的
6、焦点坐标是（ ）169252yxA.(5，0) B.(0，5) C.(0，12) D.(12，0)3. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0,), (0,2)，则此椭圆的方程是 （ ）A. 或 B.1642yx142yx1642yxC. D. 024已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_5若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是 _6椭圆中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，它与直线 交于 ， 两点，且 ，求椭圆方程答案 1B2C3C4 51 或 2 6设椭圆方程为 ，由 可得 由直线和椭圆方程联立消去 可得 设 ， 得 ，即 ，化简得 ，由
7、韦达定理得 ，解出 ，故所求椭圆方程为 学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杨晓辉 审稿人：张林2.2.2 椭圆的简单几何性质【教学目标】1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解 a,b,c,e 的几何意义。2 初步利用椭圆的几何性质解决问题。来源:高考学习网教学重点： 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。【教学过程】预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.师：代数
8、中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质师：由于方程 f(x，y)=0 与函数 y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量 x 都有唯一的函数值 y 与之对应，而方程中 x、y 的关系则较为复杂)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质师：好，现在我们有 3 个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质合作探究、精讲点拨。探究一 观察椭圆 的形状，)0(
9、12bayx你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1 、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是 。_椭圆上点的纵坐标的范围是 。._（2）由椭圆的标准方程 知)0(12bayx 1,即 ； 1；即 2ax_2y_y因此 位于直线 和 围成的矩形里。)0(12byx2 、对称性（1）从图形上看，椭圆关于 ， ， 对称_（2）在椭圆的标准方程 中)0(12bayx 把 x 换成-x 方程不变，说明图像关于 轴对称把 y 换成-y 方程不变，说明图像关于 轴对称_把 x 换成-x，同时把 y 换成-y 方程不变，说明图形关于对称，因此 是椭圆的对称轴，_是
10、椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做 _3 、顶点（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有 个交点，分别为：_( , ) ( , ) ( , ) ( , )1A2A1B2（2）线段 叫做椭圆的 ，其长度为_线段 叫做椭圆的 ，其长度为1B2a 和 b 分别叫做椭圆的 和探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁” ，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？4 、椭圆的离心率（1）定义： 叫做椭圆的离心率，用_表示，即 （2）由于 ac0，所以离心率 e 的取值范围是 _（3）若 e 越接近 1，则 c 越接近 a，从而 越 ，因而椭圆越2cab.若 e 越接近 0，则 c 越接
11、近 0，从而 越 ，因而_ 2椭圆越接近于 ._例 1 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴、短轴的长，焦点、顶点坐标和离心率，并用描点法画出图形分析 首先应将方程化为标准方程，计算出 a，b，c，再根据其几何性质解出即可(教师可指定一名学生板书)c=3，因此长轴、短轴的长分别为：2a=10，2b=8，焦点为：F 1(-3，0)，F2(3，0)顶点 A1(-5，0)，A 2(5，0)，B 1(0，-4)，B 2(0，4)离心率是 0.6点评：画图时应先画矩形，在第一象限内描出一些点并连成光滑的线，再根据椭圆的对称性画出整个椭圆，如图 2-34来源:_st.Com变式训练 1：椭圆的对称轴
12、是坐标轴，有两个顶点是(5，0)和(0，7)，则该椭圆的方程是 A+y=1 y+x=1 B+y=1+x=1Cy1 Dx1222 2 22 2 或 或 x xyx y2 2 22 2495495494494495 495答案 D例 2 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点 A 距地面 439 千米，远地点 B 距地面 2384 千米，地球半径 6371千米，求卫星的轨道方程(如图 2-35)分析：结合图 2-35 可知近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点解 选取坐标系如图 2-35，则 a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810，a+c=
13、OB-OF2=F2B=6371+2384=8755，所以 a=7782.5，c=972.5，b=7721.5点评：本题是一个实际应用问题，分析出近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点后转化成椭圆问题就好解决了。变式训练 2：中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴是短轴的 5 倍，且过点P(7，2)的椭圆方程是_答案： xyxy22221495149159191或反思总结，当堂检测。轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出(2)在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置(即焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上)，然后再讨论其他性质；(判断方法是“大小分长短”，即哪个字母下面的数大，焦点就在那个轴上)(3)常数 e(离心率)是焦距与长轴长的比值，与坐标轴的选择无关方法方面：(1)给出方程会求椭圆的几何性质；(2)会用待定系数法根据条件求椭圆方程检测题：椭圆中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，它与直线 交于 ， 两点，且 ，求椭圆方程（ ）作业：发导学案、布置预习。高考试题库
