1、2.2.2 反证法考点一：用反证法证明否定性命题1.设a n是公比为 q 的等比数列， Sn 是它的前 n 项和(1)求证：数列S n不是等比数列；(2)数列S n是等差数列吗？为什么？分析 本题(1)是否定性命题，可以尝试反证法解析 (1)证法 1：(反证法)若S n是等比数列，则 S S 1S3，即 a (1q)2 212a 1a1(1q q2)a 10，(1q) 21qq 2，即 q0，这与 q0 矛盾，故 Sn不是等比数列证法 2：只需证明 SnSn2 S ，2n 1S n1 a 1qS n，S n2 a 1qS n1 ，S nSn2 S S n(a1qS n1 )(a 1qS n)S
2、n12n 1a 1(SnS n1 )a 1an1 0.(2)当 q1 时，S n是等差数列当 q1 时，S n不是等差数列，否则 S1，S 2，S 3 成等差数列即 2S2S 1S 3，2a 1(1q)a 1a 1(1qq 2)来源:学优高考网 gkstk由于 a10，2(1 q)2 qq 2，qq 2，q1，q0，与 q0 矛盾2.平面上有四个点，没有三点共线证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为 A、B、C 、D.考虑ABC，点 D 在ABC 之内或之外两种情况(1)如果点 D 在 ABC 之内(图 1)，根据假设以
3、D 为顶点的三个角都是锐角，其和小于270，这与一个圆周角等于 360矛盾(2)如果点 D 在 ABC 之外(图 2)，根据假设BAD 、B、BCD、D 都小于 90，这和四边形内角之和等于 360矛盾综上所述，原结论成立.考点二：用反证法证明“至多” “至少”等类型问题1.设 f(x)x 2bx c ，x 1,1，证明：b1，12 12 b2f(x)在 x1,1上是单调递减函数，Error! b 与 b0.与假设矛盾，所以假设不成立故原命题成立即 a，b，c 至少有一个大于 0.考点三：用反证法证明唯一性问题1.已知：一点 A 和平面 .求证：经过点 A 只能有一条直线和平面 垂直解析 根据
4、点 A 和平面 的位置关系，分两种情况证明(1)如图 1，点 A 在平面 内，假设经过点 A 至少有平面 的两条垂线 AB、AC，那么AB、AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 ，平面 和平面 相交于经过点 A 的一条直线 a.因为 AB平面 ，AC平面 ，a，所以 ABa，ACa，在平面 内经过点 A 有两条直线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图 2，点 A 在平面 外，假设经过点 A 至少有平面 的两条垂线 AB 和 AC(B、C 为垂足)，那么 AB、AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 ，平面 和平面 相交于直线 BC，因为 A
5、B平面 ，AC平面 ，BC，所以 ABBC，ACBC.在平面 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点 A 只能有平面 的一条垂线2.求证：两条相交直线有且只有一个交点证明 假设结论不成立，即有两种可能：无交点；不只有一个交点(1)若直线 a，b 无交点，那么 ab 或 a，b 是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线 a，b 不只有一个交点，则至少有两个交点 A 和 B，这样同时经过点 A，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾故假设不成立，原命题正确考点四：反证法的综合应用1.已知 0x0或 f(x0)x01，由 f(x)在1，)上为增函数，则 f(f(x0)f(x0)，来源:学优高考网 gkstk又 f(f(x0)x 0，x 0f(x0)，与假设矛盾，若 x0f(x0)1，则 f(x0)f(f(x0)，又 f(f(x0)x 0，f(x 0)x0也与假设矛盾综上所述，当 x01，f(x 0)1 且 f(f(x0)x 0时有 f(x0)x 0.2.已知 p3q 32，求证：pq2.来源:gkstk.Com证明 假设 pq2，那么 p2q，p 3(2q) 3812q6q 2q 3.将 p3q 32 代入得，6q 212q60，即 6(q1) 20.由此得出矛盾pq2.来源:学优高考网
