1、2.1.2 曲线方程的求法考点一 直译法求曲线的方程1、过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l 2，若 l1 交 x 轴于 A点，l 2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程解析 解法一：如图所示，设点 A(a,0)，B(0，b)，M( x，y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a2x ，b2y，即 A(2x,0)，B(0,2y)因为 l1l 2，所以 kAPkPB1.而 kAP (x1)，4 02 2xkPB ，4 2y2 0所以 1(x1)21 x2 y1整理得，x2y 5 0(x1) 因为当 x 1 时，A、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所
2、以线段 AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x2y50.综上所述，点 M 的轨迹方程是 x2y50.解法二：设 M(x，y)，则易知 A、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结 PM.因为 l1l 2，所以|PM | |AB|.而|PM| 12，x 22 y 42|AB| ，2x2 2y2所以 2 ，x 22 y 42 4x2 4y2化简，得 x2y 5 0 为所求轨迹方程点评 1. 直译法求轨迹方程是常用的基本方法，大多数题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等式整理可得2解题过程中，要注意使用某种形式时是否受到某些条件的限制而丢掉个别点，如使用斜率求解时限制条件
3、是斜率存在，因而可能漏掉斜率不存在的点必须找一找是否漏掉了有时也可能使范围扩大了，多出了不合要求的点，要通过最后的检验“防失、去伪” 2、已知两个定点 A、B 的距离为 6，动点 M 满足条件 1，求点 M 的轨迹方程MA MB 解析 以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐标系如图，则 A( 3,0)，B(3,0)，设 M(x，y)，则由 1 得，(3x ，y)(3 x ，y)MA MB 1，x 2y 28 为所求 来源:学优高考网考点二 代入法求曲线的方程来源:学优高考网 gkstk3、已知ABC 的两个顶点坐标为 A(2,0)，B(0，2)，第三个点 C 在曲线 y3x 2
4、1 上移动，求ABC 重心的轨迹方程(注：设 ABC 顶点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则ABC 重心坐标为 G( ， ) 来源:gkstk.Comx1 x2 x33 y1 y2 y33解析 设 C(x1，y 1)，重心 G(x，y)，由重心坐标公式得3x2 0x 1,3y02y 1，即 x13x2，y 13y2，C (x1，y 1)在曲线 y3x 21 上，3y2 3(3x2) 21.化简得 y 9x212x3.故ABC 的重心的轨迹方程为 y9x 212x3.( 不包括和直线AB 的交点)4、已知O：x 2y 24，P 为O 上任一点， M 在 OP 上
5、，使得 3 ，则点 M 的轨迹方程为_ OM MP 答案 x 2y 294解析 设 M(x，y)，P( x0，y 0)，由 3 得：(x，y )OM MP (3( x0x)，3( y0y)，Error!点 P 在O 上， 2 24.(4x3) (4y3)故所求轨迹方程为 x2y 2 .94考点三 定义法求曲线方程5、设圆 C：(x1) 2y 21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程解析 设所作弦的中点为 P(x，y)，连结 CP，则CPOP ，|OC|1，OC 的中点 M( ，0)，动点 P 的轨迹是以12点 M 为圆心，以 OC 为直径的圆，轨迹方程为(x )122y 2 .
6、 点 P 不能与点 O 重合，02，y .2所以所求轨迹方程是 x2y 2x0(x2，y )28、方程 x2y 20 表示的图形是 ( )A两条相交直线 B两条平行直线C两条重合直线 D一个点解析 方程 x2y 20 可化为 yx，故它表示两条相交直线9、平面内有两定点 A，B 且| AB|4，动点 P 满足| |4，则点 P 的轨迹是( )PA PB A线段 B半圆C圆 D直线答案 C解析 以 AB 的中点为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A(2,0)，B(2,0)设 P(x，y)，则 2 2(x，y )PA PB PO | |4，x 2y 24.PA PB 10、一
7、个动点到直线 x8 的距离是它到点 A(2,0)距离的 2 倍，则动点的轨迹方程为_答案 3x 24y 248解析 设 M(x，y)为轨迹上任一点，那么|x8|2 ，x 22 y2整理得，3x 24y 248.11、M 为直线 l：2xy 30 上的一动点，A(4,2) 为一定点，又点 P 在直线 AM 上运动，且 AP：PM 3，则动点 P 的轨迹方程为_答案 8x4y30解析 设点 M、P 的坐标分别为 M(x0， y0)，P(x ，y)，由题设及向量共线条件可得Error!， Error!，因为点 M(x0，y 0)在直线 2xy30 上，所以 2 30，来源:学优高考网 gkstk4x 43 4y 23即 8x4y30从而点 P 的轨迹方程为 8x4y30.来源:学优高考网 gkstk
