1、第四讲测评(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用数学归纳法证明当 nN +时,1+ 2+22+25n-1 是 31 的倍数时,当 n=1 时原式为( )A.1 B.1+2C.1+2+3+4 D.1+2+22+23+24解析:左边=1+2+2 2+25n-1,所以 n=1 时,应为 1+2+251-1=1+2+22+23+24.答案:D2.从一楼到二楼的楼梯共有 n 级台阶,每步只能跨上 1 级或 2 级,走完这 n 级台阶共有 f(n)种走法,则下面的猜想正确的是( )A.
2、f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n3)B.f(n)=2f(n-1)(n2)C.f(n)=2f(n-1)-1(n2)D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n3)解析:分别取 n=1,2,3,4 验证,得 f(n)=答案:A3.用数学归纳法证明 3nn3(n3,nN )第一步应验证( )A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4解析:由 n3,nN 知,应验证 n=3.答案:C4.用数学归纳法证明“n 3+(n+1)3+(n+2)3(nN +)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况,只需展开 ( )A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+
3、(k+2)3解析:假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除.当 n=k+1 时,( k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设,只需将( k+3)3 展开,让其出现 k3 并且剩余部分能被 9 整除.答案:A5.下列说法中正确的是( )A.若一个命题当 n=1,2 时为真,则此命题为真命题B.若一个命题当 n=k 时成立且推得 n=k+1 时也成立,则这个命题为真命题C.若一个命题当 n=1,2 时为真,则当 n=3 时这个命题也为真D.若一个命题当 n=1 时为真,n=k 时为真能推得 n=k+1 时亦为真,则此命题为真
4、命题解析:由完全归纳法可知,只有当 n 的初始取值成立且由 n=k 成立能推得 n=k+1 时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C 项均不全面.答案:D6.若命题 A(n)(nN +)在 n=k(kN +)时成立,则有当 n=k+1 时命题也成立.现知命题对 n=n0(n0N +)时成立,则有( )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于 n0 的正整数不成立 ,对大于或等于 n0 的正整数都成立C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定 ,对大于或等于 n0 的正整数都成立D.以上说法都不正确解析:数学归纳法证明的结论只是对 n 的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值
5、前的正整数不一定成立.答案:C7.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)( n+n)=2n13(2n-1)(nN) 时,证明从 n=k 到 n=k+1 的过程中,相当于在假设成立的那个式子的两边同乘( )A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2)C. D.解析:当 n=k 时 ,左边最后一项为( k+k),当 n=k+1 时,左边最后一项应为 (k+1+k+1)=(2k+2),所以 n=k到 n=k+1 时,式子左边增加了两项(2 k+1),(2k+2),减少了一项(k+1) .所以两边应同乘 .答案:D8.利用数学归纳法证明“对任意偶数 n,an-bn 能被 a+b 整除”时,其第二步论证应该
6、是( )A.假设当 n=k 时命题成立 ,再证当 n=k+1 时命题也成立B.假设当 n=2k 时命题成立,再证当 n=2k+1 时命题也成立C.假设当 n=k 时命题成立,再证当 n=k+2 时命题也成立D.假设当 n=2k 时命题成立,再证当 n=2(k+1)时命题也成立解析:第 k 个偶数应是 2k,所以应假设当 n=2k 时命题成立,再证当 n=2(k+1)时也成立.答案:D9.用数学归纳法证明“4 2n-1+3n+1(nN +)能被 13 整除”的第二步中,当 n=k+1 时为了使用归纳假设,对42k+1+3k+2 变形正确的是( )A.16(42k-1+3k+1)-133k+1B.
7、442k+93kC.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1D.3(42k-1+3k+1)-1342k-1解析:4 2k+1+3k+2=1642k-1+3k+2=16(42k-1+3k+1)+3k+2-163k+1=16(42k-1+3k+1)-133k+1.答案:A10.用数学归纳法证明不等式 1+ + 成立时,起始值至少应取( )A.7 B.8 C.9 D.10解析:原不等式可化为 ,即 2 ,即 2- ,所以 2- ,即,即 .故 266,故 n7,因此起始值最小取 8.答案:B二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.已知
8、n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- + =2 时,若已假设 n=k(k2 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 n= 时等式成立. 解析: n=k 为偶数 , 下一个偶数为 n=k+2.答案:k+ 212.已知 1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c 对一切 nN +都成立,那么 a= ,b= ,c= . 解析:取 n=1,2,3,得解得 a= ,b= ,c= .答案:13.用数学归纳法证明 cos +cos 3+cos(2n-1)= (sin 0,nN), 在验证 n=1 时,等式右边的式子是 . 解析:当 n=1 时,右边= =cos.答案:cos 14.用数学
9、归纳法证明 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时 ,从“n=k 到 n=k+1”,左边需增添的代数式是 . 解析:当 n=k 时 ,左边共有 2k+1 个连续自然数相加,即 1+2+(2k+1),则当 n=k+1 时,左边共有2k+3 个连续自然数相加,即 1+2+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).答案:(2k+ 2)+(2k+3)15.用数学归纳法证明 + ,假设 n=k 时,不等式成立,则当 n=k+1 时,应推证的目标是 . 解析:注意不等式两边含变量 “n”的式子,因此当 n=k+1 时,应该是含“n”的式子发生
10、变化,所以 n=k+1时,应为 + .答案: +三、解答题(本大题共 4 小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6 分) 求数列: , ,的前 n 项和 Sn.解:S 1= ;S2= ;S3= ;由以上计算可猜想数列的前 n 项和 Sn= + .下面用数学归纳法证明此等式对任何 nN +都成立.证明:(1)当 n=1 时,左边= ,右边= ,等式成立.(2)假设当 n=k(kN +,k1)时,等式成立,即 + .当 n=k+1 时, += ,这就是说,当 n=k+1 时,等式成立,即 Sn= + .根据(1)(2)知,等式对于任何 nN +都成立.17.(6 分
11、) 设x n是由 x1=2,xn+1= (nN +)定义的数列,求证 xn2 .xn 显然成立.下面用数学归纳法证明 xn , . xk+1= .即 xk+10,整数 p1,nN +.(1)证明:当 x-1 且 x0 时,(1+x) p1+px;(2)数列a n满足 a1 ,an+1= an+ ,证明:a nan+1 .证明:(1)用数学归纳法证明. 当 p=2 时,(1+x) 2=1+2x+x21+2x,原不等式成立. 假设 p=k(k2,kN +)时,不等式(1+x) k1+kx 成立.当 p=k+1 时,(1+x )k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以 p=k+1 时,原不等式也成立.综合 可得,当 x-1,x0 时 ,对一切整数 p1,不等式(1+x )p1+px 均成立.(2)先用数学归纳法证明 an . 当 n=1 时,由题设 a1 知 an 成立. 假设 n=k(k1,kN +)时,不等式 ak 成立.由 an+1= an+ 易知 an0,nN +.当 n=k+1 时, =1+ .由 ak 0 得-11+p .因此 c,即 ak+1 .所以 n=k+1 时,不等式 an 也成立.综合 可得,对一切正整数 n,不等式 an 均成立.再由 =1+ 可得 an+1 ,nN +.
