1、2.2.2 反证法1.用反证法证明命题“如果实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )A.假设 a,b,c 都是偶数B.假设 a,b,c 都不是偶数C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数解析:“至少有一个 ”的否定是“一个都没有”.答案:B2.命题“ABC 中,若 AB,则 ab”的结论的否定应该是( )A.aAPC,求证 :BAP CAP.答案:BAP= CAP BAP CAP6.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是 . 解析:对此命题的否定有两部分 :一是“任何三
2、角形”,二是“ 至少有两个”.“ 任何三角形” 的否定是“存在一个三角形” ,“至少有两个”的否定是“最多有一个”.答案:“存在一个三角形 ,其外角最多有一个钝角”7.命题“a,b 是实数,若|a-1 |+|b-1|=0,则 a=b=1”.用反证法证明时应假设为 . 解析:a=b=1 是 a=1 且 b=1.又“p 且 q”的否定为“( p)或( q)”,a=b=1 的否定为 a1 或 b1.答案:a1 或 b18.设a n是公比为 q 的等比数列,S n 是它的前 n 项和.(1)求证:数列 Sn不是等比数列;(2)数列 Sn是等差数列吗?为什么?解:(1) 反证法 :假设S n是等比数列,
3、则 =S1S3,即 (1+q)2=a1a1(1+q+q2).a10,(1+q)2=1+q+q2,即 q=0,与 q0 矛盾 ,故S n不是等比数列.(2)当 q=1 时,S n是等差数列.当 q1 时,S n不是等差数列 .假设 q1 时, Sn是等差数列, 则 S1,S2,S3 成等差数列,即2S2=S1+S3.2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于 a10,2(1+q)=2+q+q2,q=q2,q1,q=0,与 q0 矛盾.当 q1 时, Sn不是等差数列 .9.若下列三个方程:x 2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程
4、有实根,试求a 的取值范围 .解:若三个方程均无实根,则解得 即- a-1.设 A= ,则 RA= .故所求实数 a 的取值范围是 .10.已知直线 ax-y=1 与曲线 x2-2y2=1 相交于 P,Q 两点,是否存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O?若存在,试求出 a 的值;若不存在, 请说明理由 .解:不存在.理由如下:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,则 OPOQ.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 =-1,(ax1-1)(ax2-1)=-x1x2,即(1+a 2)x1x2-a(x1+x2)+1=0.由题意得(1-2a 2)x2+4ax-3=0,x1+x2= ,x1x2= .(1+a2) -a +1=0,即 a2=-2,这是不可能的.假设不成立,故不存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O.
