1、第四课时 用向量方法求空间中的距离课时演练促提升A 组1.若 O 为坐标原点,=(1,1, -2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为( )A. B.2 C. D.解析:由已知可得 A(1,1,-2),B(3,2,8).于是 P,又 C(0,1,0),故|=.答案:D2.如图,在直二面角 -l- 中,AC ,BD,ACl ,BDl ,AC=1,AB=2,BD=3,则 C,D 两点之间的距离为( )A. B.2 C. D.解析:因为,所以| 2=()2=|2+|2+|2+2()=12+22+32+2(0+0+0)=14,故|=.答案:C3.如图,在棱
2、长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点 ,则点 A1 到平面 MBD 的距离是( )A.a B.aC.a D.a解析:以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 正方体的棱长为 a, A1(a,0,a),A(a,0,0),M,B(a,a,0),D(0,0,0).设 n=(x,y,z)为平面 MBD 的一个法向量 ,来源:学优高考网 gkstk则 ,令 y=1,则 z=2,x=-1, 平面 MBD 的法向量为 n=(-1,1,2).又 =(a,0,a), 点 A1 与平面 MBD 的距离 d=a.答案:A4.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为
3、2,点 E 是 A1B1 的中点,则点 A 到直线 BE 的距离是( )A. B. C. D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则= (2,0,0),=(1,0,2),设ABE=,则 cos =,sin =.故 A 到直线 BE 的距离d=|sin =2.答案:B5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长是 1,则点 D1 到 AC 的距离为 . 解析:以 A 为原点,AB ,AD,AA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).设 M 为 AC 中点,则 M. AD1=CD1, MD1 即为点 D1 到 AC 的
4、距离.而|= , 点 D1 到 AC 的距离为.答案:来源:gkstk.Com6.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,则点 D 到平面 EFD1B1 的距离为 .解析:建立如图所示的空间坐标系.则 D1(0,0,0),F,E,B1(1,1,0),D(0,0,1).故= (1,1,0),则可求得平面 EFD1B1 的法向量为 n=.又= (0,0,1),故 d=.答案:7.如图,在二面角 -l- 中,AB,且 ABl,CD,CD l ,B、Cl,且 AB,CD 的夹角为 60,若 AB=BC=CD=1,求A 与 D 两点间的距离.解: , |
5、2=()2=|2+|2+|2+2(), AB=BC=CD=1,ABBC,CDBC,且 AB,CD 的夹角为 60, =0,=|cos=11cos(180-60)=-, |2=1+1+1+2=2,即|= ,故 A 与 D 间的距离等于.8.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求点 C 到平面 AEC1F 的距离.解:建立以 D 为原点,DA,DC,DF 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4
6、,3),来源:gkstk.Com故= (0,4,1),=(-2,0,2).设 n=(x,y,z)为平面 AEC1F 的法向量 ,来源:gkstk.Com则令 z=1 得 y=-,x=1.故 n=.又= (0,0,3),故点 C 到平面 AEC1F 的距离 d=.故点 C 到平面 AEC1F 的距离为.B 组1.在三棱锥 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=1,PB=2,PC=3,则点 P 到ABC 的重心 G 的距离为( )A.2 B.C.1 D.解析:建立如图的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),所以 G,故|=.答案:D2.已知直线
7、l 经过点 A(2,3,1),且向量 n=(1,0,-1)所在直线与 l 垂直,则点 P(4,3,2)到 l 的距离为 . 解析: =(-2,0,-1),且 n 与 l 垂直, 点 P 到 l 的距离为.答案:3.已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC=,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC 与 ACD 垂直.则 B 与 D 之间的距离为 . 解析:由 B,D 分别向 AC 作垂线,垂足分别为 M,N.则可求得 AM=,BM=,CN=,DN=.MN=1. , |2=()2=|2+|2+|2+2()=+12+2(0+0+0)=, |=.答案:4.在直四棱柱 ABCD-A1B1C
8、1D1 中 ,底面为直角梯形,ABCD 且ADC=90,AD=1,CD= ,BC=2,AA1=2,E 是 CC1的中点,则 A1B1 到平面 ABE 的距离是 . 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,1),A1(1,0,2),则= (0,2,0),=(-1,-,1),=(0,0,2).设平面 ABE 的法向量为 n=(x,y,z),则令 x=1,则 y=0,z=1.故 n=(1,0,1).故 A1B1 到平面 ABE 的距离 d=.答案:5.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BAC=60,AB=AA 1=A1C1=1,求 BC1.来源:
9、gkstk.Com解:, |2=()2=|2+|2+2=|2+|2.又 BAC=60,AB=AA 1=A1C1=1, BC=1,CC1=1. |=,即 BC1=.6.已知正方形 ABCD 的边长为 1,PD平面 ABCD,且 PD=1,E,F 分别为 AB,BC 的中点.(1)求点 D 到平面 PEF 的距离;(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F.设 DH平面 PEF,垂足为 H,则=x+y+z=,(x+y+z=1). =x+y+-z=x+y-z=0.同理,x+y-z= 0.又 x+
10、y+z=1, 可解得 x=y=,z=, (2,2,3). |=.故点 D 到平面 PEF 的距离为.(2)设 AH平面 PEF,垂足为 H.则,设=(2,2,3) =(2,2,3)(0),则+ (2,2,3)=, =42+42-+92=0,即 =. (2,2,3),|=.又 AC平面 PEF, AC 到平面 PEF 的距离为.7.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,BAD=ABC=90,PA=AD=2,AB=BC=1,问:在线段 PA 上是否存在一点 M,使其到平面 PCD 的距离为?若存在,试确定点 M 的位置;若不存在,请说明理由.解:如图,以点
11、 A 为原点,AB ,AD,AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),=(1,1,-2),=(0,2,-2).设直线 PA 上有一点 M(0,0,z0),平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则令 z=1,得所以 n=(1,1,1),所以 n0=.故点 M 到平面 PCD 的距离为 d=|n0|=|2-z0|.令 d=,可解得 z0=3 或 z0=1.当 z0=3 时,M (0,0,3)在线段 AP 的延长线上,故舍去;当 z0=1 时,M (0,0,1)是线段 AP 的中点.综上可知,线段 AP 的中点到平面 PCD 的距离为.
