1、必修二 第三章 直线与方程（1 ）直线的倾斜角定义：x 轴正向 与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2 ）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。即 tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当 90时， ； 当 180,9时， k； 当 90时， k不存在。过两点的直线的斜率公式： )(212xxy （
2、 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当 1时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3 ）直线方程 点斜式： )(11xy直线斜率 k，且过点 1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式： bky，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的
3、截距为 b 两点式： 1122x（ 212,x）直线两点 1,x， 2,y 截矩式： yab其中直线 l与 轴交于点 (,0)a,与 y轴交于点 (0,)b,即 l与 x轴、 y轴的截距分别为 ,a。 一般式： 0CByAx（A，B 不全为 0）注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线： b（b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： ax（a 为常数） ； （6 ）两直线平行与垂直当 11:kyl， 22:xkyl时，2,/；l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7 ）两条直线的交点 0:11CyBxAl0:22CyBxAl相交交点坐标即方程
4、组 1的一组解。方程组无解 21/l ； 方程组有无数解 1l与 2重合（8 ） 两点间距离公式 ：设 12(,),AxyB， （ ） 是平面直角坐标系中的两个点，则 212|()ABx （9 ） 点到直线距离公式 ：一点 0,P到直线 0:1CByAxl的距离20Cyd（10 ） 两平行直线距离公式已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l01ByAx： ，则 与 的距离为2l02CByAx1l2 2Cd直线的方程1.设 a，b，c 是互不相等的三个实数，如果 A（a，a 3） 、B（b，b 3） 、C（c，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 证明 A、B、C 三点共
5、线，k AB=kAC， ，化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2，c33b 2-c2+ab-ac=0， （b-c） （a+b+c）=0，a、b、c 互不相等，b-c0，a+b+c=0.2.若实数 x,y 满足等式(x-2) 2+y2=3，那么 的最大值为 （ ）xy A. B. C. D. 213233答案 D3.求经过点 A（-5，2）且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程；解 当直线 l 在 x、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为 y=kx,将（-5，2）代入 y=kx 中，得 k=- ，此时，直线方程为 y=- x, 即 2x+5y=0.525当横截距
6、、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 =1，将（-5，2）代入所设方程，解得 a=-a，21此时，直线方程为 x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.4.直线 l 经过点 P（3，2）且与 x，y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，OAB 的面积为 12，求直线 l 的方程.解 方法一 设直线 l 的方程为 （a0,b0）,1A(a,0),B(0,b), 解得.123,4.4,6a所求的直线方程为 =1,即 2x+3y-12=0.46yx方法二 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3),令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距 a=3- ,令 x=
7、0,得直线 l 在 y 轴上的截距 b=2-3k. (2-3k)=24.解得 k=- .所求直线方程为 y-2=- (x-3).即 2x+3y-12=0.233239.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为（-1，1） 、 （2，2） ，若直线 l：x+my+m=0 与线段 PQ 有交点，求 m 的取值范围. 解 方法一 直线 x+my+m=0 恒过 A（0，-1）点.kAP= =-2，k AQ= = ，102013则- 或- -2，m23- m 且 m0.又m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点，所求 m 的取值范围是- m .321 321方法二 过 P、Q 两点的直线方程为
8、y-1= 12(x+1),即 y= x+ ,代入 x+my+m=0,314整理，得 x=- . 由已知-1- 2, 解得- m .37m37m2两直线方程例 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断 l1与 l2是否平行；（2）l 1l 2时，求 a 的值.解 （1）方法一 当 a=1 时，l 1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于 l2;当 a=0 时，l 1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于 l2;当 a1 且 a0 时，两直线可化为l1:y=- -3,l2:y= -(a+1),xl1l 2 ， 解得 a=-1
9、, )1(3a综上可知，a=-1 时，l 1l 2，否则 l1与 l2不平行.方法二 由 A1B2-A2B1=0，得 a（a-1）-12=0，由 A1C2-A2C10，得 a(a2-1)-160,l 1l 2 a=-1,06)(a6)(0a故当 a=-1 时，l 1l 2，否则 l1与 l2不平行.（2）方法一 当 a=1 时，l 1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与 l2不垂直，故 a=1 不成立.当 a1 时，l 1:y=- x-3,l2:y= -(a+1), 由 =-1 a= .ax12a132方法二 由 A1A2+B1B2=0，得 a+2(a-1)=0 a= .3例 3 已知直线
10、 l 过点 P（3，1）且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得的线段长为 5，求直线 l 的方程.解 方法一 若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1,l2的交点分别是 A（3，-4） ，B（3，-9） ，截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线 l 的斜率存在时，则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1,分别与直线 l1,l2的方程联立，由 ,解得 A .01)3(yxk14,3k8 分由 ,解得 B , 6)(yxk97k，由两点间的距离公式，得+ =25，2173k214k解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综
11、上可知，直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二 设直线 l 与 l1,l2分别相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,两式相减，得(x 1-x2)+(y1-y2)=5 6分又(x 1-x2)2+(y1-y2)2=25 联立可得 或 , 1005x5021yx分由上可知，直线 l 的倾斜角分别为 0和 90，故所求的直线方程为 x=3 或 y=1.例 4 求直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2的方程.解 方法一 由 知直线 l1与 l 的交点坐标为（-2，-1） ，32设直线 l2的方程为 y+1=k(x+
12、2),即 kx-y+2k-1=0.在直线 l 上任取一点（1，2） ，由题设知点（1，2）到直线 l1、l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得= ，21k2)1(3解得 k= (k=2 舍去)，直线 l2的方程为 x-2y=0.方法二 设所求直线上一点 P（x,y）,则在直线 l1上必存在一点 P1（x 0,y0）与点 P 关于直线 l 对称.由题设：直线 PP1与直线 l 垂直，且线段 PP1的中点P2 在直线 l 上. ，变形得 ,2,0yx1200xyx10xy代入直线 l1:y=2x+3，得 x+1=2(y-1)+3,整理得 x-2y=0.所以所求直线方程为 x-2y=0.直线与方程
13、1.设直线 l 与 x 轴的交点是 P，且倾斜角为 ,若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45，得到直线的倾斜角为 +45，则 （ ）A.0 180 B.0 135C. 0 135 D. 0 135答案 D2.曲线 y=x3-2x+4 在点（1，3）处的切线的倾斜角为 （ ）A.30 B.45 C.60 D.120答案 B3.过点 M（-2，m） ，N（m，4）的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 ( )A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4答案 A4.过点 P（-1，2）且方向向量为 a=（-1，2）的直线方程为 （ ）A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0 D.
14、x+2y-5=0答案 A5.一条直线经过点 A（-2，2） ，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为 .答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0例 1 已知三点 A（1，-1） ，B（3，3） ，C（4，5）.求证：A、B、C 三点在同一条直线上.证明A（1，-1） ，B（3，3） ，C（4，5） ，k AB= =2,kBC= =2，k AB=kBC，A、B、C 三点共线.例 2 已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2 (-1x1).试求： 的最大值与最小值.3解 由 的几何意义可知，它表示经过定点 P（-2，-3）与曲线段 AB 上任一点（x,y)的直线的斜率 k,
15、如2xy图可知：k PAkk PB,由已知可得：A（1，1） ，B（-1，5） ， k8，故 的最大值为 8，最小值为 .343xy34例 3 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点 P（3，2） ，且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点 A（-1，-3） ，倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍.解 （1）方法一 设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0，即 l 过点（0，0）和（3，2） ，l 的方程为 y= x，即 2x-3y=0.3若 a0，则设 l 的方程为 ，l 过点（3，2） ， ，a=5，l 的方程为 x+y-5=0,1byax 1综上可知，直线 l 的方程
16、为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.方法二 由题意知，所求直线的斜率 k 存在且 k0,设直线方程为 y-2=k(x-3),令 y=0，得 x=3- ,令 x=0,得 y=2-3k,2由已知 3- =2-3k，解得 k=-1 或 k= ,直线 l 的方程为：y-2=-（x-3）或 y-2= (x-3),23 32即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.（2）由已知：设直线 y=3x 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为 2 . tan =3,tan2 = =- .又直线经过点 A（-1，-3） ， 、2tan143因此所求直线方程为 y+3=- (x+1),即 3x+4y+15=0.例 4
17、（12 分）过点 P（2，1）的直线 l 交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B 两点，求使：（1）AOB 面积最小时 l 的方程；（2）|PA|PB|最小时 l 的方程.解 方法一 设直线的方程为 (a2,b1),1yx由已知可得 （1）2 =1，ab8. S AOB = ab4. 2ba221当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 时，S AOB 取最小值 4，此时直线 l 的方程为 =1,即 x+2y-4=0. 64yx分（2）由 + b1=1,得 ab-a-2b=0, 变形得(a-2)(b-1)=2,a|PA|PB|= = .22)0()(22)1)4)1()(22ba )1(42(ba当
18、且仅当 a-2=1,b-1=2,即 a=3,b=3 时，|PA|PB|取最小值 4.此时直线 l 的方程为 x+y-3=0.方法二 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2) (k0),则 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A 、B（0，1-2k）.,12（1）S AOB = （1-2k）= （4+4 ）=4.21)(421当且仅当-4k=- ,即 k=- 时取最小值，此时直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 6 分21（2）|PA|PB|= = 4,24)(k822k当且仅当 =4k2,即 k=-1 时取得最小值，此时直线 l 的方程为 y-1=-(x-2)
19、,即 x+y-3=0. 4一、选择题1.过点（1，3）作直线 l，若经过点（a，0）和（0，b） ，且 aN *，bN *，则可作出的 l 的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4答案 B2.经过点 P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ） A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0答案 B3.若点 A（2，-3）是直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是 （ ） A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0
20、 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0答案 A二、填空题4.已知 a0,若平面内三点 A（1，-a） ，B（2，a 2） ，C（3，a 3）共线，则 a= .答案 1+ 25.已知两点 A（-1，-5） ，B（3，-2） ，若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，则 l 的斜率是 .答案 31三、解答题6.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为（-1，1） 、 （2，2） ，若直线 l：x+my+m=0 与线段 PQ 有交点，求 m 的取值范围. 解 方法一 直线 x+my+m=0 恒过 A（0，-1）点.kAP= =-2，k AQ= = ，则- 或- -2，- m 且 m0.1
21、0213123m321又m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点，所求 m 的取值范围是- m .2方法二 过 P、Q 两点的直线方程为y-1= 12(x+1),即 y= x+ ,代入 x+my+m=0,整理，得 x=- .31437由已知-1- 2, 解得- m .7m217.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：（1）过定点 A（-3，4） ；（2）斜率为 .6解 （1）设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴，y 轴上的截距分别是- -3，3k+4，4由已知，得（3k+4） （ +3）=6，4解得 k1=-
22、或 k2=- .38直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0.（2）设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是 y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b,61由已知，得|-6bb|=6，b=1.直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0.8.已知两点 A（-1，2） ，B（m，3）.（1）求直线 AB 的方程；（2）已知实数 m ，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围.1,3解 （1）当 m=-1 时，直线 AB 的方程为 x=-1,当 m-1 时，直线 AB 的方程为 y-2= (x+1).1m（2）当 m=-1 时， = ;09当 m
23、-1 时，m+1 ，k= （-，- ，3,1m3, .综合知，直线 AB 的倾斜角 .0012,9,3 012,9.过点 P（3，0）作一直线，使它夹在两直线 l1：2x-y-2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点 A（x，y）在 l1上，由题意知 ，点 B（6-x，-y） ，解方程组 ，得 ，k=023By 03)(62yx316yx.83106所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.方法二 设所求的直线方程为 y=k(x-3),则 ,解得 ,02)3(yxk243kyA由 ,解得 .03)(yxk163kyxBP(3,0)是线段 AB 的中点，y A+yB=0，即 + =0，k 2-8k=0，解得 k=0 或 k=8.24k16又当 k=0 时，x A=1,xB=-3,此时 ,k=0 舍去，3x所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.
