1、第二讲 直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A 级 基础巩固一、选择题1圆内接平行四边形一定是( )A正方形 B菱形C等腰梯形 D矩形解析：由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形答案：D2已知 AB，CD 是O 的两条直径，则四边形 ADBC 一定是( )A矩形 B菱形C正方形 D等腰梯形解析：AB ， CD 均为O 的直径，故四边形 ADBC 的四个角均为直角，且对角线 ABCD，所以四边形 ADBC 为矩形答案：A3四边形 ABCD 内接于圆，A BC763，则D 等于( )A36 B72C144 D54解析：由圆内接
2、四边形的性质定理，AC 180.又由A C 73，设A7x，C 3x，则 10x180，即 x18，所以B6x108.故D180B72.答案：B4.如图所示，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，E 为 AB 的延长线上一点，CBE 40，则AOC 等于( )A20 B40C80 D100解析：因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，且CBE40，由圆内接四边形性质知DCBE40，又由圆周角定理知AOC2D80.答案：C5如图所示，若 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD55 ，则BCD 的度数为( )A35 B45C55 D75解析：如图所示，连接 AD，则ABD 是直角三角形，ADB
3、90 ，则DAB90ABD35，根据同弧所对的圆周角相等，BCD DAB 35.答案：A二、填空题6.如图所示，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 与DC 相交于点 P.若 PB1，PD3，则 的值为_BCAD解析：因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，所以BCPA .又P P ，所以BCPDAP.所以 .BCAD PBPD 13答案：137如图所示，O 1 与O 2 相交于 A，B 两点，AC 是O 1 的直径，延长 CA，CB ，分别交 O 2 于 D，E，则CDE_解析：连接 AB，因为 AC 是O 1 的直径，所以ABC90.又因为ABCADE，所以ADE 90，即
4、CDE 90.答案：908如图所示，点 A，B，C ，D 在同一个圆上，AB，DC 相交于点 P，AD，BC 相交于点 Q，如果A50，P30，那么Q _解析：因为A50，P30，所以QDCA P80.又QCDA 50，所以Q180805050.答案：50三、解答题9.如图所示，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CBCE.(1)证明： DE ；(2)设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形证明：(1) 由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以D CBE .由已知得CBEE，故DE.(2)设 BC
5、的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC ，故 O 在直线 MN 上又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD ，即 MN AD.所以 ADBC，故ACBE .又CBEE，故 AE.由(1)知， DE ，所以ADE 为等边三角形10.如图所示，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E ，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且BCAC DCAF，B ，E，F，C 四点共圆(1)证明： CA 是ABC 外接圆的直径；(2)若 DBBE EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值(1)证明： 因为 CD 为A
6、BC 外接圆的切线，所以DCB A，由题设知 ，BCFA DCEA所以CDB AEF，所以DBC EFA.因为 B、E、F、C 四点共圆，所以CFEDBC，所以EFACFE90，所以CBA90，所以 CA 是 ABC 外接圆的直径(2)解： 连接 CE，因为CBE90，所以过 B、E 、F、C 四点的圆的直径为 CE，因为 DBBE，CEDC，又因为 BC2DBBA2DB 2，所以 CA2 4DB2BC 26DB 2，又因为 DC2DB DA3DB 2，所以 CE2 3DB2.所以过 B、E 、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值为 .12B 级 能力提升1.如图所示，四边形 AB
7、CD 是O 的内接四边形，延长 BC 到E，已知 BCDECD32，那么BOD 等于( )A120 B136C144 D150解析：因为BCD ECD32，且BCD ECD 180 ，所以ECD 72.由圆内接四边形的性质得A ECD72.又由圆周角定理知BOD2A272144.答案：C2两圆相交于 A，B ，过 A 作两直线分别交两圆于 C，D 和E， F.若 EABDAB，则 CD_ 解析：因为四边形 ABEC 为圆内接四边形，所以2CEB.又因为1ECB，且12，所以CEBECB.所以 BC BE.在CBD 与 EBF 中，ECDBEF，DF，BC BE，所以CBD EBF，所以 CDE
8、F.答案：EF3.如图所示，A，B ，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于 E 点，且 ECED.(1)证明： CDAB ；(2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EFEG，证明：A， B，G， F 四点共圆证明：(1) 因为 ECED，所以EDC ECD .因为 A，B，C，D 四点在同一圆上，所以EDC EBA.故ECD EBA.所以 CDAB.(2)由(1)知， AEBE.因为 EF EG，故EFDEGC，从而FED GEC .如图，连接 AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又 CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFG GBA 180.故 A， B， G，F 四点共圆
