1、北大附中 2012 届高考数学满分突破专题训练：解三角形I 卷一、选择题1若满足条件 C60， AB ， BC a 的 ABC 有两个，那么 a 的取值范围是( )3A(1， ) B( ， )2 2 3C( ，2) D(1,2)3【答案】C2如图，在 ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB AD,2AB BD， BC2 BD，3则 sinC 的值为( )A B33 36C D63 66【答案】D3 在 200 米高的山顶上测得一建筑物顶部与底部的俯角分别为 30与 6，则建筑物高为 ( ）A 403米 B 403米 C 203米 D100 米 【答案】A4 若 C的三个内角满足 sin
2、:si5:1A，则 ABC ( ）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C5在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若 acosA bsinB，则sinAcosAcos2 B( )A B C1 D112 12【答案】D6 在ABC 中，已知 sinC=2sinAcosB，那么ABC 一定是（ ）A等腰直角三角形B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形【答案】B7 在 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若角 A、B、C 依次成等差数列，且1,3,abS则=（ ）A 2B 3C 32D2【答案
3、】C8若满足条件 C60， AB ， BC a 的 ABC 有两个，那么 a 的取值范围是( )3A(1， ) B( ， )2 2 3C( ，2) D(1,2)3【答案】C9在 ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2Csin BsinC，则 A 的取值范围是( )A(0， B ，) 6 6C(0， D ，) 3 3【答案】C10 已知 B中， 60,3,4BACA，则 ( )A 13B 1C 5D 10【答案】B11 在 C中，若 2cossin，则 是 ( ）A等边三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D直角三角形【答案】D12 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c
4、，若 2，b=2，sinB+cosB= 2，则角 A 的大小为 ( ）A 2B 3C 4D 6【答案】D13 江岸边有一炮台高 30 米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距（ ）A10 米 B100 米 C30 米 D20 米【答案】C14如图 61，在 ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB AD,2AB BD， BC2 BD，则 sinC 的3值为( )图 61A B33 36C D63 66【答案】DII 卷二、填空题15在 ABC 中，若 b5， B ，tan A2，则 sinA_； a_. 4【答案】 ， 2
5、255 1016在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若 acos A bsin B，则 sin Acos Acos 2B_.【答案】117 已知 中， 4,5， C32，则 C的面积为_【答案】 618 一货轮航行到 M处，测得灯塔 S在货轮的北偏东15相距20里处，随后货轮按北偏西30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东60处，则货轮的航行速度为 里小时【答案】 2019 当太阳光线与地面成 角时，长为 l的木棍在地面上的影子最长为_.【答案】 sinl20在 ABC 中，若 ，则 ABC 的形状为_a2b2 tan Atan B【答案】等腰或直角三
6、角形三、解答题21在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc且满足 sincos.AaC(I）求角 的大小；(II）求 )cos(in3的最大值，并求取得最大值时角 ,B的大小【答案】 （I）由正弦定理得 insico.AC因为 0A所以 si0.sc.,tan1,4AC从 而 又 所 以 则(II） )cs(i3)o(n3B= 6si2csi A 又 16,40A，所以 2即 3时 sin()取最大值 2 综上所述， cosinCB的最大值为 2，此时 5,.312AB22如图 64，在 ABC 中，sin ， AB2，点 D 在线段 AC 上，且 ABC2 33AD2 DC， BD 43
7、3(1)求 BC 的长；(2)求 DBC 的面积图 64【答案】(1)因为 sin ， ABC2 33所以 cos ABC12 13 13在 ABC 中，设 BC a， AC3 b，则由余弦定理可得 9b2 a24 a， 43在 ABC 和 DBC 中，由余弦定理可得cos ADB ，4b2 163 41633 bcos BDC b2 163 a2833b因为 cos ADBcos BDC，所以有 ，所以 3b2 a26.4b2 163 41633 bb2 163 a2833b由可得 a3， b1，即 BC3.(2)由(1)得 ABC 的面积为 23 2 ，12 223 2所以 DBC 的面积
8、为 22323在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 sinAsin C psinB(pR)，且ac b2.14(1)当 p ， b1 时，求 a， c 的值；54(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围【答案】(1)由题设并利用正弦定理，得Error!解得Error! 或Error!(2)由余弦定理，得 b2 a2 c22 accosB( a c)22 ac2 accosB p2b2 b2 b2cosB，12 12即 p2 cosB，32 12因为 0cos B1，所以 p2( ，2)32由题设知 p0，所以 p 62 2即 p 的取值范围为( ， )62
9、 224已知向量 m 与 n(3，sin A cosA)共线，其中 A 是 ABC 的内角(sinA，12) 3(1)求角 A 的大小；(2)若 BC2，求 ABC 的面积 S 的最大值，并判断 S 取得最大值时 ABC 的形状【答案】(1)因为 m n，所以 sinA(sinA cosA) 0.332所以 sin2A 0，1 cos2A2 32 32即 sin2A cos2A1，即 sin 1.32 12 (2A 6)因为 A(0，)，所以 2A 6 ( 6， 116 )故 2A ， A 6 2 3(2)设角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，则由余弦定理，得 4 b2 c2
10、bc.而 b2 c22 bc， bc42 bc， bc4(当且仅当 b c 时等号成立)，所以 S ABC bcsinA bc 4 ，12 34 34 3当 ABC 的面积取最大值时， b c.又 A ，故此时 ABC 为等边三角形 325设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 a1， b2，cos C 14(1)求 ABC 的周长；(2)求 cos(A C)的值【答案】(1) c2 a2 b22 abcosC144 4， c2.14 ABC 的周长为 a b c1225.(2)cos C ，sin C sin A 14 1 cos2C 1 (f(1,4)2
11、154 asinCc 1542 158 ac， AC，故 A 为锐角，cos A ，1 sin2A 1 (f(r(15),8)278cos( A C)cos AcosCsin AsinC 78 14 158 154 111626在 B中， cba,分别为内角 B,的对边，且2sin()sin(2)sin.ab(）求 的大小；(）求 iC的最大值 .【答案】 （）由已知，根据正弦定理得 2()(2)acbc即 22abc由余弦定理得 22cosabA故 1cosA，A=120 (）由（）得：sinsin(60)BCB31cosin2i(60)B故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1
12、 27如图 63，港口 A 北偏东 30方向的 C 处有一检查站，港口正东方向的 B 处有一轮船，距离检查站 31 海里，该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21 海里，问此时轮船离港口 A 还有多远？图 63【答案】 在 BDC 中，由余弦定理知 cos CDB ，BD2 CD2 BC22BDCD 17sin CDB 437sin ACDsin sin CDBcos cos CDBsin ，( CDB 3) 3 3 5314轮船距港口 A 还有 15 海里28如图，有一块半径为 2的半圆形钢板，现将其裁剪为等腰梯形 ABCD的形状。它的下底B是圆 O的直径，上底 CD的端点在圆周上。(1）写出这个梯形的周长 y与腰长 x之间的函数关系式，并求出定义域；(2）求 y的最大值。【答案】连 BD，过 作 EAB于 ，OD CBA则 2DE， 4x，2xC， 故28y（ 0） 。(2）221()0xx，在 (,)上单调递增，在 (2,)单调递减，当 时， max0y。
