1、北大附中 2012 届高考数学满分突破专题训练：圆锥曲线与方程I 卷一、选择题1 已知点 P 是双曲线 )0,(12bayx右支上一点， 12F、 分别为双曲线的左、右焦点，I 为 12F的内心，若 2121 FIIPFI SS成立，则 的值为（ ） A2abB 2abC abD ba【答案】A2已知抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M， N 为抛物线上的一点，且|NF| |MN|，则 NMF( )32A B C D 6 4 3 512【答案】A3已知双曲线 1( a0， b0)的左顶点与抛物线 y22 px(p0)的焦点的距离为 4，且双x2a2 y2b2曲线的一条渐
2、近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为( )A2 B23 5C4 D43 5【答案】B4两个正数 a、 b 的等差中项是 9，一个等比中项是 25，且 ,ba则双曲线 12byax的离心率为 ( ）A 53B 41C 4D 45【答案】D5设椭圆21(0,)xymn的右焦点与抛物线 28yx的焦点相同，离心率为 12，则此椭圆的方程为 ( ）A216xyB216xyC21486D21648y【答案】B6已知直线 )0(2kxy与抛物线 C: xy2相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。若FBA,则 k=A 31 B) 3C 32D 32【答案】D7 已知椭圆2143xy，
3、则当在此椭圆上存在不同两点关于直线 4yxm对称时 的取值范围为( ) A 1mB 231 C 3D m 【答案】B8 设双曲线 )0,(12babxay的渐近线与抛物线 12xy相切，则该双曲线的离心率等于 ( ）A 5B 25C 6D 26【答案】B9设 M（ 0x， y）为抛物线 C： 8xy上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、F为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 0的取值范围是 ( ）A （0，2） B0，2 C （2，+） D2，+）【答案】C解析:由题意只要 4即可，而 00,My所以，简单考查抛物线的方程、直线与圆的位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。1
4、0 已知 是三角形的一个内角，且1sinco2，则方程22sincos1xy表示 ( )A焦点在 x 轴上的椭圆 B焦点在 y 轴上的椭圆 C焦点在 x 轴上的双曲线 D焦点在 y 轴上的双曲线【答案】B11 直线L经过双曲线21aby （a0，b0）右焦点F与其一条渐近线垂直且垂足为A，与另一条渐近线交于B点， 2B，则双曲线的离心率为（ ）A34B3C 3D2【答案】B12已知点 P 是抛物线 y22 x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A B3172C D592【答案】A13椭圆 1( ab0)的焦点为 F1、 F2，两条准线与
5、 x 轴的交点分别为 M、 N.若x2a2 y2b2|MN|2| F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是( )A B(0，12 (0， 22C D12， 1) 22， 1)【答案】D14 点 P 在双曲线 上， 是这条双曲线的两个焦点，且 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 ( )A2 B3 C4 D5【 答 案 】 D【解析】解：设|PF 2|,|PF1|，|F 1F2|成等差数列，且分别设为 m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d) 2+m2=(m+d)2,解得 m=4d=8a,25dcea故选项为 DII 卷二、填空题15
6、 已知抛物线 xy62的弦 AB 经过点 P（4，2）且 OAOB（O 为坐标原点） ，弦 AB 所在直线的方程为 【答案】12x 23y2=0 16已知抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 与椭圆 1( ab0)的一个焦点重合，它们在第一x2a2 y2b2象限内的交点为 T，且 TF 与 x 轴垂直，则椭圆的离心率为_【答案】 1217过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，与抛物线准线的交点为 B，点 A 在抛物线准线上的射影为 C，若，12，则 p 的值为_【答案】118 过点 )1,3(M且被点 M 平分的双曲线 142yx的弦所在直线方
7、程为 【答案】 054yx19若直线 y x t 与椭圆 y21 相交于 A， B 两点，当 t 变化时， AB 的最大值是x24_【答案】410520已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为F1、 F2，且它们在第一象限的交点为 P， PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形若|PF1|10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)则该椭圆的离心率的取值范围是_【答案】 (13， 25)三、解答题21 已知椭圆 132yx，直线 l 到原点的距离为,23求证：直线 l 与椭圆必有两上交点【答案】当直线 l 垂直 x 轴时，由题意知：,:x不妨取 23x代入
8、曲线 E 的方程得：y即 G（ 23， ） ，H（ 23， ）有两个不同的交点，当直线 l 不垂直 x 轴时，设直线 l 的方程为： bkxy由题意知：)1(43,21| 2bkb即由036)(:3 222 bkxyxy得消 037)1(1)3(146 2222 kbkbk直线 l 与椭圆 E 交于两点综上，直线 l 必与椭圆 E 交于两点22如图，椭圆的方程为 )0(12ayax，其右焦点为 F，把椭圆的长轴分成 6 等分，过每个等分点作 x 轴的垂线交椭圆上半部于点 P1， P2， P3， P4， P5五个点，且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5 .(1）求椭圆
9、的方程；(2）设直线 l 过 F 点（ l 不垂直坐标轴） ，且与椭圆交于 A、 B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M（ m,0） ，试求 m 的取值范围.【答案】 （1）由题意，知 .,3251 轴 对 称分 别 关 于与与 yP设椭圆的左焦点为 F1，则| P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，同时| P2F|+|P3F|=2a 而| P3F|=a| P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=5 2yx椭 圆 方 程 为(2）由题意，F（1，0） ，设 l 的方程为 )0(1kxy12yx代 入 椭 圆 方 程 为整理，得 024)2(
10、2因为 l 过椭圆的右焦点， .,BAl与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点设 )(),(),( 021 yxyxBA中 点 为 ，则 12)(,121,4 00221 kxkkkx )(00xyAB的 垂 点 平 分 线 方 程 为令 22220 11,0 kkkxmy 得由于 12k ,12.023已知在平面直角坐标系 xoy中，向量 )1,0(j，OFP 的面积为 32，且 ,tFPO jOPM3。(1）设 34t,求向量 FPO与 的夹角 的取值范围；(2）设以原点 O 为中心，对称轴在坐标轴上，以 F 为右焦点的椭圆经过点 M，且ctF当,)1(,2取最小值时，求椭圆的方程。【答案
11、】 （1）由 ,sin34,sin3得因为 ,3tan1,34所 以t(2）设 ).0,(),(),(00 cOFycxFPyx则24已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 F1、 F2，且| F1F2|2，点在椭圆 C 上(1，32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，且 AF2B 的面积为 ，求以 F2 为圆心且与直1227线 l 相切的圆的方程【答案】 (1)设椭圆的方程为 1( ab0)，由题意可得椭圆 C 两焦点坐标分别为x2a2 y2b2F1(1,0)， F2(1,0)2 a (1 1)2 (32)2 (
12、1 1)2 (32)2 4.52 32 a2，又 c1， b2413，故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)解法一：当直线 l x 轴时，计算得到： A ， B ， S( 1， 32) ( 1， 32)AF2B |AB|F1F2| 323，不符合题意12 12当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为： y k(x1)，由Error!消去 y 得(34 k2)x28 k2x4 k2120.显然 0 成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 8k23 4k2 4k2 123 4k2又| AB| 1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 1
13、k264k4(3 4k2)2 4(4k2 12)3 4k2 ，1 k212k2 13 4k2 12(k2 1)3 4k2圆 F2的半径 r ，|k1 0 k|1 k2 2|k|1 k2所以 S AF2B |AB|r ，12 12 12(k2 1)3 4k2 2|k|1 k2 12|k|1 k23 4k2 1227化简，得 17k4 k2180，即( k21)(17 k218)0，解得 k1.所以 r 2|k|1 k2 2故圆 F2的方程为( x1) 2 y22.解法二：设直线 l 的方程为 x ty1，由Error!消去 x 得(43 t2)y26 ty90， 0 恒成立，设 A(x1， y1
14、)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 6t4 3t2 94 3t2所以| y1 y2| ，(y1 y2)2 4y1y236t2(4 3t2)2 364 3t2 12t2 14 3t2又圆 F2的半径为 r ，|1 t0 1|1 t2 21 t2所以 S AF2B |F1F2|y1 y2| y1 y2| ，解得 t21，12 12t2 14 3t2 1227所以 r 故圆 F2的方程为( x1) 2 y22.21 t2 225设椭圆 C： 1 ( ab0)的离心率 e ，右焦点到直线 1 的距离 d ， O 为x2a2 y2b2 12 xa yb 217坐标原点(1)求椭圆 C
15、 的方程；(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，证明：点 O 到直线 AB 的距离为定值【答案】(1)由 e 得 ，12 ca 12即 a2 c， b c.3由右焦点到直线 1 的距离为xa ybd ，得 ，217 |bc ab|a2 b2 217解得 a2， b 3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2) 直线 AB 斜率不存在时，设 A(m， n)， B(m， n)，则 1， m2 n2.nm nm把 m2 n2代入 1，得 m2 x24 y23 127 O 到直线 AB 的距离为| m| 2217直线 AB 斜率存在时，设 A(x1， y1)
16、， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y kx m，与椭圆 1 联立消去 y 得x24 y23(34 k2)x28 kmx4 m2120，x1 x2 ， x1x2 8km3 4k2 4m2 123 4k2 OA OB， x1x2 y1y20， x1x2( kx1 m)(kx2 m)0.即( k21) x1x2 km(x1 x2) m20，( k21) m20，4m2 123 4k2 8k2m23 4k2整理得 7m212( k21)，所以 O 到直线 AB 的距离 d |m|k2 1 127 2217由可知，点 O 到直线 AB 的距离为定值26已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为
17、 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的x2a2 y2b2 22圆与直线 x y 0 相切2(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A， B，设 P 为椭圆上一点，且满足 t(O 为坐标原点)，当| 时，求实数 t 的取值范围253【答案】(1)由题意知 e ，所以 e2 即 a22 b2.又因为 b ，所ca 22 c2a2 a2 b2a2 12 21 1以 a22， b21，故椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)由题意知直线 AB 的斜率存在设 AB： y k(x2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x， y)，由Error! 得(12 k2)x28 k2x8 k220. 64 k44(2 k21)(8 k22)0，化简得 k20， k2 14 k2 ，16 k2 t2(12 k2)，14 12 t2 8 ， t24，16k21 2k2 81 2k2 832 t 或 t2，263 263实数 t 的取值范围为 ( 2， 263) (263， 2)27已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，离心率 2e，椭圆上的点到焦点的最短距离为 21, 直线 l 与 y 轴交于点 P（0， m） ，与椭圆 C 交于相异两点 A、 B，且PB3A.(1）求椭圆方程；(2）求 m的取值范围
