1、1.1 变化率与导数学案1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、
2、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当 从 增加到 时,气球半径增加了 V01气球的平均膨胀率为 (2)当 从 增加到 时,气球半径增加了 2气球的平均膨胀率为 可以看出： 思考: 当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题 2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 (单位: )与起跳后的时
3、间 (单位: )存在hmts函数关系 .如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其105.69.4)(2ttth v运动状态?思考计算: 和 的平均速度.0ttv探究: 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时49650t间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数 从 到 的平均变化率.12)(xff)(xf122.若设 , (这里 看作是对于 的一个“增量”可用12xff代替 ,同样 )x1 )(yf则平均变化率为 xfx)(1112思考: 观察函数 的图象
4、)(xf平均变化率 表示什么?12)(ffhto三、典例分析例 1 已知函数 的图象上的一点 及xf2)( )2,1(A临近一点 则 .),1yB解: 例 2 求 在 附近的平均变化率.2xy0解:四、课堂练习1.质点运动规律为 ,则在时间 中相应的平均速度为 .32ts)3,(t2.物体按照 的规律作直线运动,求在 附近的平均变化率.4)(t s43.过曲线 上两点 和 作曲线的割线,xfy)1P1,yxQ求出当 时割线的斜率.10五、课堂反馈1 设函数 ，当自变量 由 改变到 时，函数的改变量 为（ ）xfyx0x0 yA B C D f0f0f00xff2 一质点运动的方程为 ，则在一段
5、时间 内的平均速度为（ ）21ts2,1A 4 B 8 C 6 D 63 将半径为 R 的球加热，若球的半径增加 ，则球的表面积增加 等于（ ）RSA B C D 2482424R4 在曲线 的图象上取一点（1,2）及附近一点 ，则 为（ ）12xy yx,1xA B C D 2x2x15 在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度 h（单位：m）与起跳后时间 t（单位：s）的函数关系是 ，则下列说法不正确的是（ ）105.69.42ttthA 在 这段时间里，平均速度是10s/.B 在 这段时间里，平均速度是49650t sm/0C 运动员在 时间段内，上升的速度越来越慢,D 运动员在 内的平均
6、速度比在 的平均速度小2,13,26函数 的平均变化率的物理意义是指把 看成物体运动方程时，在区间xfyxfy内的 21,t7函数 的平均变化率的几何意义是指函数 图象上两点 、xfy xfy11,xfP连线的 22,P8函数 在 处有增量 ，则 在 到 上的平均变化83xy315.0xxf1x率是 9正弦函数 在区间 和 的平均变化率哪一个较大？ sin6,02,10甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图（1） （2）所示，试问：（1）甲、乙两人哪一个跑得较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问接近终点时，谁跑得较快？11一水库的蓄水量与时间关系如图所示，试指出哪一段时间（
7、以两个月计）蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？12在受到制动后的 t 秒内一个飞轮上一点 P 旋转过的角度（单位：孤度）由函数（单位：秒）给出23.04t（1）求 t2 秒时，P 点转过的角度（2）求在 时间段内 P 点转过的平均角速度，其中 ， tt 1t.0thto01.t1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.学习过程：一、创设情景(一)平均变化率：(二)探究探究: 计算运动员在 这段时间里的
8、平均速度,并思考以下问题:49650t(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如, 时的瞬时速度是多少？考察 附近的2t2t情况:思考: 当 趋近于 时,平均速度 有什么样的变化趋势？t0v结论: 小结: 2.导数的概念从函数 在 处的瞬时变化率是:)(xfy0x000)()limlimx xff我们称它为函数 在 出的导数,()yfx记作 或0()fx0|x即 0000()()()li
9、mxfxfxf说明: (1)导数即为函数 在 处的瞬时)(fy0变化率;(2) ,当 时, ,所以0x0x0x.0 00()()()limxffxf三、典例分析例 1 (1)求函数 在 处的导数.23y1(2)求函数 在 附近的平均变化率,并求出该点处的导数.xf)(分析: 先求 ,再求 ,最后求 .)(00fxyxy0lim解: (1)(2)例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位: )为 ,计算第 时和第 时,原xhC2(715(08)fxx2h6油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 注: 一般地, 反映了原油温度在时刻
10、 附近的变化情况.0()fx0x四、课堂练习1.质点运动规律为 ,求质点在 的瞬时速度为.32ts 3t2.求曲线 在 时的导数.3)(xfy13.例 2 中,计算第 时和第 时,原油温度的瞬时变化率,并h5h说明它们的意义.五、课堂反馈1自变量由 变到 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）0x1A 在区间 上的平均变化率 B 在 处的变化率, 0xC 在 处的变化率 D 在区间 上的导数1x ,12下列各式中正确的是（ ）A B xffyxx)(| 00lim0 xffxfx)()(00limC D ffxx )(| 000 fffx)()(0003设 ，若 ，则 的值（ ）4
11、)(af 2)1(faA 2 B . 2C 3 D 34任一做直线运动的物体，其位移 与时间 的关系是 ，则物体的初速度是（ stts）A 0 B 3C 2 D t25函数 ， 在 处的导数是 xy116 ，当 时 ， 13y2xyxlim07设圆的面积为 A，半径为 ，求面积 A 关于半径 的变化率。rr8 （1）已知 在 处的导数为 ,求 及)(xf0Axffx)(00lim的值。fx20lim（2）若 ,求 的值.)( hfxfh)(00li9枪弹在枪筒中运动可以看作匀速运动，如果它的加速度是 ，枪弹从枪口，25/10sma射出的时间为 ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度。s3106.1.1.
12、3 导数的几何意义学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.教学难点：导数的几何意义.学习过程：一、创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数 在 处的瞬时变化率,反映了函数 在)(xfy0 )(xfy附近的变化情况,导数 的几何意义是什么呢？0x0二、学习新知(一)曲线的切线及切线的斜率如图,当 沿着曲线 趋近于点 时,割线 的变(,)(1,234)nnPxf()fx0(,)PxfnP化趋势是什么？
13、我们发现:问题: (1)割线 的斜率 与切线 的斜率 有什么关系？nPnkPTk(2)切线 的斜率 为多少？T说明: (1)设切线的倾斜角为 ,那么当 时,割线 的斜率,称为曲线在点 处的切线的斜率.0xPQP这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在 处的导数.0x(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.(二)导数的几何意义函数 在 处的导数等于在该点 处的切线的斜率,)(x
14、fy00(,)xf即 00()limxff k说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 点的坐标;P求出函数在点 处的变化率 得到曲线在点0x000()()lixfxff k的切线的斜率;0(,)xf利用点斜式求切线方程.(三)导函数由函数 在 处求导数的过程可以看到,当 时, 是一个确定的数,)(xfy0 0x0()f那么,当 变化时,便是 的一个函数,我们叫它为 的导函数.)(f记作: 或 ,即 .()f0()limxffy注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数 在点 处的导数 、导函数 、导数之间的区别与联系fx00)f()fx(1)函数在一点处的导数 ,就是在该点
15、的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,(它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点 而言的,就是函数 的导函数.)(f(3)函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值,这也是求函数()fx00()fxfx0在点 处的导数的方法之一.0三、典例分析例 1 (1)求曲线 在点 处的切线方程.1)(2fy)2,(P(2)求函数 在点 处的导数.3x,)解: 例 2 如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 ,根据图像,请2()4.96.510hxx描述、比较曲线 在 、 、 附近的变化情况.()ht01t2解: 例 3 如图 3.1-4,它表示人体血管中药
16、物浓度 (单位: )随时间 (单位: )cft/mgLtmin变化的图象.根据图像,估计 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确0.2,4.608t到 ).01解: 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值: t0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度瞬时变化率 ()ft0.4 0 -0.7 -1.4四、课堂练习1.求曲线 在点 处的切线.3)(xfy(1,)2.求曲线 在点 处的切线.42五、课堂反馈1曲线 在 处的（ ）2xy0A 切线斜率为 1 B 切线方程为 C 没有切线 D 切线方程为xy20y2已知曲线 上的一点 A（2，8） ，则点 A 处的切线斜率为（ ）2xyA 4 B 16 C 8
17、 D 23函数 在 处的导数 的几何意义是（ ）)(f0)(0/xfA 在点 处的函数值 0xB 在点 处的切线与 轴所夹锐角的正切值)(,fxC 曲线 在点 处的切线的斜率 xy)(,0fD 点 与点（0， 0）连线的斜率)(,0f4已知曲线 上过点（2，8）的切线方程为 ，则实数 的值为（ ）3xy 0162axaA 1 B 1 C 2 D 25若 ，则 （ ）)(0/f hxfxfh )3()(lim00A 3 B 6 C 9 D 126设 为可导函数，且满足条件 ，则曲线 在点)(xf 12)()1lim0xfx )(xfy（1，1）处的切线的斜率为（ ）A 2 B 1 C D 27 已知曲线 上的两点 A（2，3） ， ，当 时，割线 AB 的2xy )3,(yxB1x斜率是_，当 时，割线 AB 的斜率是_，曲线在点 A 处的切线方程.0是_。8 如果函数 在 处的切线的倾斜角是钝角，那么函数 在 附近的变化情)(xf0 )(xf0况是_。9在曲线 上过哪一点的切线， （1）平行于直线 ；2y 54y（2）垂直于直线 ；（3）与 轴成 的倾斜角；056yxx3（4）求过点 R（1，3）与曲线相切的直线。
