1、数学与信息科学系,第二章：解析函数卢金梅,第二章：解析函数,解析函数是复变函数的主要研究对象，在理论和实际中举有重要应用。 本章主要内容 2.1 解析函数的概念； 2.2 函数解析的充要条件； 2.3 初等函数； 2.4 解析函数的应用,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 1 导数的定义 【定义1】设函数w=f(z)定义于区域D，z0为D中的一点，点z0+z不出D的范围。如果极限存在，那么就说f(z)在z0处可导。这个极限值称为f(z)在z0处的导数，记作：,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 1 导数的定义 【定义1】 注: (1)在z0处导数的等价定义形式：(2
2、)定义式中z0或者zz0的方向和方式是任意的； 【定义2】如果f(z)在区域D内处处可导，称f(z)在区域D内可导；若f(z)在区域D内可导，则在D上确定了一个函数，称为f(z)在区域D内的导数，记作f(z).,z,z-z0,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 1 导数的定义 【例1】求函数f(z)=z2的导数， 解：设z为复平面内任意一点，由导数定义,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 1 导数的定义 【例2】讨论函数f(z)=Im(z)的可导性 解：,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 1 导数的定义 【例2】讨论函数f(z)=Im(z)的可导性
3、解： 令点z沿平行于实轴的 方向(即沿直线y=y0或y=0) 趋于z0,z,z0,z,y0,x0,y,x,y,x,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 1 导数的定义 【例2】讨论函数f(z)=Im(z)的可导性 解： 令点z沿平行于虚轴的 方向(即沿直线x=x0或x=0) 趋于z0,z,z0,y0,x0,y,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 1 导数的定义 【例2】讨论函数f(z)=Im(z)的可导性 解：由上分析知f(z)在z0 处不可导，注意到z0是复 平面内任意一点，故函数 f(z)在复平面内处处不可导。,z0,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微
4、分 2 可导与连续 函数f(z)在z0处可导，一定在z0处连续，反之不一定成立 证：若函数f(z)在z0处可导，由定义知： 对0, 0， 使得当0|z|时，令 则 且,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 2 可导与连续 函数f(z)在z0处可导，一定在z0处连续，反之不一定成立 证：若函数f(z)在z0处可导，由定义知： 对0, 0， 使得当0|z|时，令 则 所以 由例2知，反之不成立。,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 3 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变
5、函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. (1) 其中c为复常数； (2) 其中nZ(注意:当nZ-时，z0)； (3),2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 3 求导法则 (4)(5)(6) (7) 其中，w=f(z)与z=(w)是两个互为反函 数的单值函数，且(w)0,2.1 解析函数的概念,一 复变函数的导数与微分 4 微分的概念 【定义3】若存在常数A，使得函数w=f(z)满足其中 |(z)z|是|z|的高阶无穷小，则称函数w=f(z)在z0处可微，且称Az称为函数w=f(z)在z0的微分，记作 【定义4】如果函数在区域D内处处可微，则称
6、f(z)在区域D内可微 注：可导与可微等价，且,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【定义5】如果函数w=f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f(z)在z0处解析。如果函数f(z)在D内每一点都解析，那么称函数f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数） 【定义6】若f(z)在z0不解析，那么称z0为函数f(z)的奇点 注：函数解析与函数可导的关系： (1) 若函数在z0处解析，则在z0处可导；反之不一定成立 (2) 函数在区域内解析和在区域内可导等价；,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例3】研
7、究函数f(z)=z2, g(z)=x+2xyi和h(z)=|z|2的解析性 解： f(z)=z2在整个复平面内是解析的； g(z)=x+2xyi在复平面内处处不解析； 下面研究h(z)=|z|2的解析性： 由于,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例3】研究函数f(z)=z2, g(z)=x+2xyi和h(z)=|z|2的解析性 解： f(z)=z2在整个复平面内是解析的； g(z)=x+2xyi在复平面内处处不解析； 下面研究h(z)=|z|2的解析性： 由于(1)当z0=0时，,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例3】研究函数f
8、(z)=z2, g(z)=x+2xyi和h(z)=|z|2的解析性 解： f(z)=z2在整个复平面内是解析的； g(z)=x+2xyi在复平面内处处不解析； 下面研究h(z)=|z|2的解析性： 由于 (2)当z00时, 令z沿直线y-y0=k(x-x0)(y=kx)趋于z0,由于,x,y,O,z0,z,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例3】研究函数f(z)=z2, g(z)=x+2xyi和h(z)=|z|2的解析性 解： f(z)=z2在整个复平面内是解析的； g(z)=x+2xyi在复平面内处处不解析； 下面研究h(z)=|z|2的解析性： 可见，h(z
9、)在z0=0处的导数为0，在z00处的导数不存在. 由此可知，h(z)在复平面内处处不解析,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例4】研究函数 的解析性 解：函数 在复平面内除去z=0的点处处可导，且 所以，函数 在除去原点的复平面内处处解析， z=0为函数f(z)的奇点。,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例5】研究函数f(z)=zRe(z)的解析性 解：若z=0，则若z0, 则,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例5】研究函数f(z)=zRe(z)的解析性 解：若z=0，则若z0, 则因为,2.1
10、 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例5】研究函数f(z)=zRe(z)的解析性 解：若z=0，则若z0, 则所以 不存在，即当z0时，f(z)不可导,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【例5】研究函数f(z)=zRe(z)的解析性 解：若z=0，则若z0, f(z)不可导 因此f(z)仅在z=0处可导，在其它点都不可导； f(z)在整个复平面都不解析。,2.1 解析函数的概念,一 解析函数的概念 1 解析函数的定义 【定理】(1)在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析； (2) 设函数h=
11、g(z)在z平面上的区域D内解析，函数w=f(h)在h平面上的区域G内解析，如果对D内的每一个点z,函数g(z)的对应值h都属于G，那么复合函数w=fg(z)在D内解析； 注：所有的多项式函数在复平面内是处处解析的，任何一个有理分式函数在在不含分母为零的点的区域内是解析函数，使得分母为零的点是它的奇点。,2.1 解析函数的概念,课堂练习 研究函数 的解析性 解：处处不可导，处处不解析；,2.2 函数解析的充要条件,【定理一】 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是： (1)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； (
12、2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处满足柯西-黎曼方程注：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy处的导数公式,柯西简介,黎曼简介,2.2 函数解析的充要条件,【定理一】 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是： (1)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； (2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处满足柯西-黎曼方程注：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导的充分条件： (1) u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处存在一阶连续的偏导数； (2) u(
13、x,y),v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程,2.2 函数解析的充要条件,【定理二】 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内解析的充要条件是： (1)u(x,y),v(x,y)在D内可微； (2)u(x,y),v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程注：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分条件： (1) u(x,y),v(x,y)在区域D内存在一阶连续的偏导数； (2) u(x,y),v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼方程,2.2 函数解析的充要条件,【例】判定下列函数在何处可导在何处解析？ (1) (2) (3) 解：(
14、1)u=x, v=-y在复平面内处处不满足C-R条件，故在整个复平面内处处不可导，处处不解析；,2.2 函数解析的充要条件,【例】判定下列函数在何处可导在何处解析？ (1) (2) (3) 解：(2)u=excosy, v=exsiny一阶偏导在复平面内连续，满足C-R条件，故在复平面内可导，解析，且,2.2 函数解析的充要条件,【例2-1】判定下列函数在何处可导在何处解析？ (1) (2) (3) 解：(3) 四个偏导数均连续，但仅当x=y=0时，满足C-R条件， 故函数仅在z=0处可导，在复平面内处处不可导； 在复平面内处处不解析。,2.2 函数解析的充要条件,【练1】证明函数 在复平面上
15、不解析 解：仅当x=0时，满足C-R方程，故函数 仅在直线x=0上可导。 在复平面内处处不解析。,2.2 函数解析的充要条件,【例2-2】设f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？ 解：显然，四个偏导数在复平面上连续，要使得函数在解析，只要u, v满足C-R条件即 由上两式得 a=2, b=-1, c=-1, d=2,2.2 函数解析的充要条件,【练2】设my3+nx2y+i(x3+lxy2)是解析函数，试确定l,m,n的值 解答：l=n=-3, m=1,2.2 函数解析的充要条件,【例】设f(z)=u(x,y)+i
16、v(x,y)在区域D内解析，并且v=u2,求f(z) 解：将(2)代入(1)得 由 得 由(2)得 所以，u为常数，v也是常数，从而f(z)为常数,2.2 函数解析的充要条件,【例2-3】如果f(z)在区域D内处处为零，则f(z)在区域D内为一常数。 证：故所以，u=常数，v=常数 从而函数f(z)在区域D内为一常数。,2.2 函数解析的充要条件,若函数f(z)在区域D内解析，且满足下列条件之一，则f(z)为常数 (1)f(z)恒取实值； (2)f(z)=0; (3) |f(z)|=常数; (4) 解析； (5)Ref(z)=常数； (6)Imf(z)=常数； (7)v=u2; (8)argf
17、(z)=常数；,2.2 函数解析的充要条件,【例2-4】设f(z)=u+iv为一解析函数，且f(z)0,那么曲线族u(x,y)=c1与v(x,y)=c2必相互正交。 证：因为 所以vy与uy不全为零， 如果在曲线交点处: 根据隐函数求导法则，曲线族u(x,y)=c1与v(x,y)=c2中任意一条曲线的斜率为,2.2 函数解析的充要条件,【例2-4】设f(z)=u+iv为一解析函数，且f(z)0,那么曲线族u(x,y)=c1与v(x,y)=c2必相互正交。 证：因为 所以vy与uy不全为零， 如果在曲线交点处: 根据隐函数求导法则，曲线族u(x,y)=c1与v(x,y)=c2中任意一条曲线的斜率
18、为 此时，曲线族u(x,y)=c1与v(x,y)=c2必相互正交。 如果 或 两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是垂直的。,思考,【问题1】在复变函数可导性（从而判断函数解析性）的充要条件中，为什么要求函数的实部和虚部必须满足Cauchy-Riemann方程？ 解答一 可以举出反例： 的实部与虚部都可微，但它在复平面上却处处不可导。这个回答当然可以，但并未从根本上说明还要满足C-R方程的原因。 解答二 书上已经证明了，但这样的回答仍不能令人满意，况且从教材中的证明也很难看出必须满足C-R条件的根本原因所在。 实际上，根本原因在于函数w=f(z)在z0处可导性是用极,思考,【问题1】
19、在复变函数可导性（从而判断函数解析性）的充要条件中，为什么要求函数的实部和虚部必须满足Cauchy-Riemann方程？ 限 存在来定义的，而上述极限存 在要求与复平面上z0的路径和方式无关。 就是说，当z在D内沿任何路径用任何方式趋于0（即z0+z z0）时，都趋于一个确定的常数，比一元实函数极限的定义要求严格得多，从而导致其实部与虚部之间不是孤立的，而是互相联系的。为了更鲜明地显示这个原因，可以在必要性证明中采用下面的方法。,思考,因为w=f(z)在z0处可导，由导数定义,思考,因为w=f(z)在z0处可导，由导数定义 当z沿平行于实轴的方向趋于0时，当z沿平行于虚轴的方向趋于0时，比较以
20、上两式即得C-R方程,思考,问题2 复变函数（从而解析函数）的导数 是否也表示函数在处的“变化率”？ 答 由导数的定义，从形式上， f(z0)确也刻画了的f(z)值在z0处随自变量变化的“速率”（变化的“快慢”程度），但由于f(z0)是一个复数，复数不能比较大小，因此，变化的“速率”应当用模|f(z0)|来表示。从这个意义上，我们可以说f(z0)表示了函数z0在处的“变化率”。,思考,问题2 复变函数（从而解析函数）的导数 是否也表示函数在处的“变化率”？ 答事实上，根据解析函数导数的模的几何意义， |f(z0)|表示过z0的曲线C经映射w=f(z)后在z0处的伸缩率其中S表示曲线C上一弧段的
21、长，而表示C的象曲线上对应弧段的长，可见，它刻画了该函数（映射）在z0处的一种变化率。其实，导数的辐角Argf(z0)（f(z0)0）在几何上表示过z0的曲线经过映射后在z0处的转动角，也刻画了在 z0处的一种变化率。,柯西资料,Augustin-Louis Cauchy,Born: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,黎曼资料,Riemann,Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany) Died: 20 Ju
22、ly 1866 in Selasca, Italy,2.3 初等函数,一 指数函数 【定义1】复变函数的指数函数定义为其中k为任意整数 注：指数函数也可用ez 来表示，即 注意ez 没有幂的意义，只是代表符号expz 注意到，当z=x(x为实数)时，expz=expx,就是实指数函数 【性质】 (1) ez在整个复平面内处处解析，且,2.3 初等函数,一 指数函数 【定义1】复变函数的指数函数定义为其中k为任意整数 注：指数函数也可用ez 来表示，即 注意ez 没有幂的意义，只是代表符号expz 【性质】 (2)加法定理： (3) ez是2i为周期的周期函数；,2.3 初等函数,一 指数函数
23、证：加法定理：设证：周期性：,2.3 初等函数,一 指数函数 【例】设z=x+iy,求 解:因为 所以， (1) (2)(3),2.3 初等函数,一 指数函数 【例】求下列复数的辐角主值 e2+i, e2-3i, e3+4i， e-3-4i， ei -ei(0 2) 解：因为 所以，Argez=y+2k, 其中k为任意整数,2.3 初等函数,一 指数函数 【例】求下列复数的辐角主值 e2+i, e2-3i, e3+4i， e-3-4i， ei -ei(0 2) 解：因为 所以，Argez=y+2k, 其中k为任意整数 (5),2.3 初等函数,一 指数函数 【例】求下列复数的辐角主值 e2+i
24、, e2-3i, e3+4i， e-3-4i， ei -ei(0 2) 解：因为 所以，Argez=y+2k, 其中k为任意整数 (5)因为 所以上式就是复数ei -ei的三角表示,2.3 初等函数,一 指数函数 【例】求下列复数的辐角主值 e2+i, e2-3i, e3+4i， e-3-4i， ei -ei(0 2) 解：因为 所以，Argez=y+2k, 其中k为任意整数 (5)当+时，,2.3 初等函数,一 指数函数 【例】求下列复数的辐角主值 e2+i, e2-3i, e3+4i， e-3-4i， ei -ei(0 时，,2.3 初等函数,一 指数函数 【例】求函数 的周期 解：ez的
25、周期是2ki,故函数 的周期是10ki,2.3 初等函数,二 对数函数 【定义2】若z=ew(z0,),则称w是z的对数函数，记作w=Lnz表达式:Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(argz+2k) (k=0,+1,+2,) Lnz为多值函数 对于上述每一个k，上式是一个单值函数，称为Lnz的一个分支 称lnz=ln|z|+iargz(k=0)为Lnz的主值分支， Lnz的其余分支可表示为: Lnz=lnz+ 2ki(k= +1, +2,) 注意到，当z=x0时，Lnz的主值lnz=lnx是实对数函数,2.3 初等函数,二 对数函数 【例3-1】求Ln2，Ln(-1)及其主值 解
26、： Ln2的主值是ln2Ln(-1)的主值是i 注意：在实属范围内，负数无对数，可见，复变数对数函数是实变数对数函数的推广,Lnz=ln|z|+iArgz,lnz=ln|z|+iargz,Lnz=lnz+ 2ki,2.3 初等函数,二 对数函数 【例】求下列各值解: (1)(2),Lnz=ln|z|+iArgz,lnz=ln|z|+iargz,Lnz=lnz+ 2ki,2.3 初等函数,二 对数函数 【例】求下列各值解：,Lnz=ln|z|+iArgz,lnz=ln|z|+iargz,Lnz=lnz+ 2ki,2.3 初等函数,二 对数函数 【例】 解：因为,Lnz=ln|z|+iArgz,l
27、nz=ln|z|+iargz,Lnz=lnz+ 2ki,2.3 初等函数,二 对数函数 【性质】 (1) (2)(3)在除去原点和负实轴的复平面内，主值分支和其它分支处处连续，处处可导，且,2.3 初等函数,二 对数函数 【性质】 (3)在除去原点和负实轴的复平面内，主值分支和其它分支处处连续，处处可导，且 证明：设所以， lnz在除原点和负实轴的复平面内处处连续 z=ew在区域-argz内的反函数w=lnz是单值的，,2.3 初等函数,三 幂函数 【定义3】设a为任意常数，定义一般幂函数为幂函数是指数函数与对数函数的复合函数，是多值函数 特殊情形： 情形1：a为整数，za是单值函数情形2：a
28、为有理数 (为既约分数，n0), 有n个不同的分支,2.3 初等函数,三 幂函数 【定义3】设a为任意常数，定义一般幂函数为幂函数是指数函数与对数函数的复合函数，是多值函数 特殊情形： 情形3：a为无理数或复数(Imz0), za有无穷多个分支； 特殊说明： a=n(n为正整数): w=zn为z的n次乘方； a=1/n： w=z1/n为z的n次方根； a=-n: w=z-n=1/zn,2.3 初等函数,三 幂函数 【定义3】设a为任意常数，定义一般幂函数为【解析性】 za(n为正整数）在整个复平面单值解析，且 z-n=1/zn在除原点的复平面内解析，且 zm/n的各个分支在除原点和负实轴的复平
29、面内解析，且除上面的情形外，za具有无情多个分支，各个分支在除原点和负实轴的复平面内解析，且,2.3 初等函数,三 幂函数 【定义3】设a为任意常数，定义一般幂函数为【解析性】 证明：,2.3 初等函数,三 幂函数 【例】求 和 的值 解： 【练】计算 解：,2.3 初等函数,三 幂函数 【例】求(1+i)i的辐角主值 解：(1+i)i的辐角主值为,2.3 初等函数,四 三角函数与反三角函数 【定义4】设z为任一复变量，称 与 分别 为复变量z的正弦函数和余弦函数，记作【性质】 (1) sinz 与cosz都是以2为周期的周期函数； (2) sinz为奇函数，cosz为偶函数； (3) sin
30、z, cosz是复平面内的解析函数，且,2.3 初等函数,四 三角函数与反三角函数 【定义4】设z为任一复变量，称 与 分别 为复变量z的正弦函数和余弦函数，记作【性质】 (4) |sinz|与|cosz|都是无界函数可见，当|y|时，|cosz|，故|cosz|是无界函数,2.3 初等函数,四 三角函数与反三角函数 【定义4】设z为任一复变量，称 与 分别 为复变量z的正弦函数和余弦函数，记作【性质】 (5) 有关正、余弦函数的几组重要公式,2.3 初等函数,四 三角函数与反三角函数 【定义4】设z为任一复变量，称 与 分别 为复变量z的正弦函数和余弦函数，记作【性质】 (4) 有关正、余弦
31、函数的几组重要公式可见，当y时，|sinyi|,2.3 初等函数,四 三角函数与反三角函数 【定义4】设z为任一复变量，称 与 分别 为复变量z的正弦函数和余弦函数，记作其它三角函数定义： 正切函数： 余切函数：正割函数： 余割函数：,2.3 初等函数,四 三角函数与反三角函数 【定义5】如果z=sinw, z=cosw, z=tanw,则称w分别为z的反正弦、反余弦、反正切函数. 记作：w=Arcsinz, w=Arccosz,w=Arctanz 表达式,2.3 初等函数,四 三角函数与反三角函数 【例】求cos(1+i)与tan(3-i)的值 解：,2.3 初等函数,四 三角函数与反三角函
32、数 【例】求cos(1+i)与tan(3-i)的值 解：,2.3 初等函数,五 双曲函数与反双曲函数 【定义6】分别称为双曲正弦、余弦和正切函数。 【性质】 (1) chz和shz都是以2i为周期的周期函数； (2) chz为偶函数，shz为奇函数； (3) chz和shz在复平面内处处解析，且,2.3 初等函数,五 双曲函数与反双曲函数 【定义7】反双曲函数定义为双曲函数的反函数 表达式 反双曲正弦： 反双曲余弦： 反双曲正切：,2.4 平面场的复势,一 复变函数表示平面向量场 向量场中的向量都平行于某一个平面S，而且在垂直于S的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的；场中的向量也都是与时
33、间无关的。 显然，这种向量场在所有平行于 S的平面内的分布情况是相同的， 因此它完全可以用一个位于平 行于S的平面S0内的场 (平面定常向量场)来表示 图2.2(a),2.4 平面场的复势,一 复变函数表示平面向量场 在平面S0内取定一直角坐标系xoy,于是场中的每一个具有分量Ax, Ay的向量 便可以用复数A=Ax+iAy表示.图2.2(b) 由于场中的点可以用复数z=x+iy表示，所以 平面向量场 可以用复变函数 表示 反之，已知某一复变函数 可以作出对应的平面向量场,2.4 平面场的复势,二 平面流速场的复势 设向量场 是不可压缩的定常流体的流速场：其中，速度分量vx(x, y)与vy(
34、x, y)都有连续偏导数 若 在单连通域内是无源场(即div =0),则可构造出二元函数(x,y)，使得在等值线(x,y)=c1上的每一点处的场向量 都是等值线的切线(因 ) (x,y)称作流函数， (x,y)=c1 称作流线,(x,y)=c1,2.4 平面场的复势,二 平面流速场的复势 设向量场 是不可压缩的定常流体的流速场：其中，速度分量vx(x, y)与vy(x, y)都有连续偏导数 若 在单连通域内是无旋场(即rot =0),则可构造出二元函数(x,y)，使得在等值线(x,y)=c2上的每一点处的场向量 都是等值线的法线(因grad= ) (x,y)称作势函数 ，(x,y)=c2 称作
35、等势线,(x,y)=c2,2.4 平面场的复势,二 平面流速场的复势 设向量场 是不可压缩的定常流体的流速场：其中，速度分量vx(x, y)与vy(x, y)都有连续偏导数 流函数(x,y)与势函数(x,y)具有一阶连续偏导数，且满足C-R条件，在单连通域B内做解析函数称作平面流速场的复势函数，简称复势。,2.4 平面场的复势,二 平面流速场的复势 设向量场 是不可压缩的定常流体的流速场：其中，速度分量vx(x, y)与vy(x, y)都有连续偏导数 流函数(x,y)与势函数(x,y)具有一阶连续偏导数，且满足C-R条件，根据流函数和势函数的性质及解析函数求导公式得,2.4 平面场的复势,二
36、平面流速场的复势 设向量场 是不可压缩的定常流体的流速场：其中，速度分量vx(x, y)与vy(x, y)都有连续偏导数 给定一个单连通域内的无源无旋平面流速场 .就可以构造一个解析函数 (场复势)与之对应; 反之，如果在某区域(不管是否单连)内给定一个解析函数 就有以它为复势的平面流速场 对应，并可写出该场的流函数和势函数,得到流线与等势线方程,画出流线和等势线的图形,即可描绘出该场的流动图像,复习总结,重点： 1.函数解析的概念； 2.函数解析性的判别 难点： 1.函数解析的概念； 2.初等函数中多值函数及主值的概念,复习总结内容提要,复变函数,导数,微分,解析函数,初等解析函数,指 数
37、函 数,三 角 函 数,对 数 函 数,幂 函 数,性质,解析函数 的判定方法,可导与微分的关系,可导与解析的判定定理,双 曲 函 数,今日作业,P68 15，17，18， 23,典型例题,【例1】证明函数f(z)=x3-y3i仅在原点处可导数 证：故f(z)仅在原点处的导数为0 令z沿路径y=y0趋于z0,典型例题,【例1】证明函数f(z)=x3-y3i仅在原点处可导数 证：故f(z)仅在原点处的导数为0 令z沿路径x=x0趋于z0可见，除x0=y0=0外，处处不可导,典型例题,【例2】函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在何处可导,何处解析 解：显然，仅当y=1/2时，满足C-R条件 故f(z)仅在直线y=1/2上可导 故f(z)复平面内处处不解析,典型例题,【例3】解方程sinz=0 解： 故 两边同时取对数得所以，,典型例题,【例4】求 的值 【解】,典型例题,【例5】求 的主值 解：令k=0得主值,
