1、2019/2/14,第五讲 函数的定义域与值域,2019/2/14,回归课本 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 注意:(1)确定函数定义域的原则: 当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合; 当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合;,2019/2/14,当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合; 当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定. (2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类: 如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义
2、域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; 如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域.,2019/2/14,(3)复合函数定义域的求法: 若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出.,2019/2/14,2.函数的值域 在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 注意:确定函数的值域的原则 当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合; 当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;,2019/2/14,当函数y
3、=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定; 当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.,2019/2/14,考点陪练,2019/2/14,3.函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为( ) A.-1,0,3 B.0,1,2,3 C.y|-1y3 D.y|0y3,2019/2/14,2019/2/14,5.函数y=f(x)的值域是-2,2,定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( ) A.-2,2 B.-4,0 C.0,4 D.-1,1,2019/2/14,类型一 函数的定义域 解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式
4、中各部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式.,2019/2/14,(2)确定函数的定义域 当f(x)是整式时,其定义域为R. 当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合. 当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合. 对于x0,x不能为0,因为00无意义.,2019/2/14,f(x)=tanx的定义域为f(x)=logax(a0且a1)的定义域为x|x0. 由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析. 分段函数的定义域是各
5、段中自变量取值范围的并集.,2019/2/14,抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x(0,1)而非02x+11;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由02x+11得出x的范围即为所求.,2019/2/14,类型二 复合函数的定义域 解题准备:已知fg(x)的定义域为x(a,b),求f(x)的定义域,其方法是:利用axb,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定义域. 已知f(x)的定义域为x(a,b),求fg(x)的定义域,其方法是:利用ag(x)b,求得x的范围,此即为fg(x)的定义域. 定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性.所以
6、在解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则,通过分析定义域来帮助解决问题.,2019/2/14,【典例2】 (1)已知函数f(x)的定义域为0,1,求下列函数的定义域:f(x2); (2)已知函数flg(x+1)的定义域是0,9,则函数f(2x)的定义域为_.,2019/2/14,类型三 求函数的值域 解题准备:求函数值域的总原则:由定义域对应法则f在等价条件下,巧妙地转化为与y有关的不等式.求值域问题技巧性强,要根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切相关,常可转化为求函数的最值问题.,2019/2/14,2019/2/14,类型四 定义域与值域的综合应用 解题准备:函数的定义域值
7、域问题主要转化为方程或不等式解决,可求解相关参数或其它综合应用.,2019/2/14,【典例4】 (2009广东六校联考)已知函数若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域相同,求实数a的值.分析 函数f(x)的定义域因a的取值不同而不同,因此应对a进行讨论.,2019/2/14,2019/2/14,错源一 求函数值域不考虑定义域,2019/2/14,剖析 错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价,所以出现错误.,2019/2/14,错源二 “定义域”“有意义”“恒成立”混矣!,2019/2/14,剖析 本题的错误在于将函数f(x)的定义域为(-,1同函数f(x)在(-,1
8、上有意义混淆了.事实上,f(x)的定义域为(-,1,说明f(x)在(-,1上且只在(-,1上有意义.,2019/2/14,2019/2/14,技法 求函数值域的方法,2019/2/14,二配方法 【典例2】 求二次函数y=x2-5x+6(-3x2)的值域.,2019/2/14,方法与技巧 对于含有二次三项式的有关题型,常常根据求解问题的要求,用配方法来解决.,2019/2/14,三图象法(数形结合法),2019/2/14,2019/2/14,方法与技巧 y=ax2+bx+c(a0)中,若对x有限制,如限制x在区间m,n上时,也可结合图形去考虑,此时函数的图象是抛物线的一部分.,2019/2/14,2019/2/14,2019/2/14,2019/2/14,2019/2/14,解 因为x2+x+10恒成立, 所以函数的定义域为R.由原式得 (y-2)x2+(y+1)x+y-2=0, 当y-2=0,即y=2时, 方程为3x=0,所以x=0R;,2019/2/14,当y-20,即y2时,因为xR, 所以方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有实根, =(y+1)2-4(y-2)(y-2)0, 即3y2-18y+150,解得1y5. 所以函数的值域为1,5.,2019/2/14,
