1、Chapter 1,函数及其图形,教学要求：,1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法;,2. 了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性;,3. 理解复合函数的概念，了解反函数的概念;,4. 掌握基本初等函数的性质及其图形;,5. 会建立简单应用问题中的函数关系式.,重点：掌握函数定义，搞清楚函数关系与数学解析式的关系，分段函数是否是初等函数.,0.集合的概念及运算,1. 集合 具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,N-自然数集,A=B,平面上全体点组成的集合,记作,(直积),交换律,分配律,对偶律,(1) 实数集的构成,3.区间与邻域,(2) 实数的点的表示 数
2、轴：,X,O,a,1,(3) 区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.设 a, b R , 且 a b.,称为开区间,称为闭区间,4.区间与邻域,集合,集合,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,(4) 邻域,定义,1. 定义,设x与y是两个变量，分别在实数集合A与B中取值. 对每一个值xA，按照某一法则，y存在着唯一确定 的值yB与之对应，记为f(x)(xf(x),则称y是x的函 数，或称这种对应关系 f 为函数，记作,因变量,自变量,数集A叫做这个函数的定义域,注意,定义域和对应法则是函数的
3、两要素. 要判断两函数是否为同一函数也得从两要素入手.,(3)单值函数与多值函数,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数 值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；否则叫做 多值函数,(4)只有一个自变量的函数，称为一元函数.,2. 定义域,(1)由实际问题决定.,(2)自然定义域. 当函数由公式（表达式）给出时，使公式有意义的自变量的取值范围. 如：,分式的分母不为0；,(3)定义域的表示法：,不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法.,ex1. 求函数的定义域,Solution.,所以函数的定义域为(1,2.,Solution.,ex3. 函数 f 与 g 是否是同一函数？,3. 函数
4、的图形,4. 分段函数,对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表 达式不同，这种函数称为分段函数.,(1) 绝对值函数,(2) 符号函数,(3) 取整函数 y=x,x表示不超过x的最大整数,(4) (Dirichlet)狄利克雷函数,(5) 取最值函数,(6) 整标函数,以自然数为自变量的函数:,图形为一些离散的点构成.,1. 函数的单调性,则称 f(x)在I上严格单调上升或严格单调增（严格单调 降下或严格单调减）.,则称 f(x)在I上单调上升或单调增(单调降下或单调减).,以上函数统称为单调函数，I称为单调区间.,由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数. 如,2. 函数的有界性
5、,通常函数的有界性与区间有关，,3. 函数的奇偶性,偶函数图形关于y轴对称,奇函数图形关于原点对称,注意：,(1) 若f(x)的定义域关于原点不对称，则f(x)一定不是奇函数或偶函数.,即f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.,(3) 奇偶函数的性质,偶函数的和与差仍是偶函数， 奇函数的和与差仍是奇函数；,两个奇（或偶）函数的商是偶函数；,奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数；,有限个偶函数的积仍是偶函数；,偶数个奇函数的积是偶函数.,4. 函数的周期性,任一周期函数都有无穷多个周期. 若在无穷多个周期 中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小周 期，简称周期.,1. 四则运算,2. 复
6、合函数,定义：,注意：,(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的.,复合函数的求法：,(1)对于非分段函数常用直接代入的方法；,(2)对于分段函数常用讨论的方法.,3. 反函数,定义：,这样的对应关系所决定的Y到X的函数，称为y=f(x)的 反函数，记为,注意：,(1)反函数的定义域和值域恰好是原来函数的值域和定义域.,(2)直接函数与反函数的图形关于y=x对称.,反函数的求法：,(1)一般先从方程y=f(x)中解出x, 然后再将所得结果中的x与y互换位置即可;,(2)对分段函数,只要分段求出反函数便得.,1.基本初等函数,(1)常数函数,
7、(2)幂函数,(3)指数函数,(4)对数函数,(5)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,(6)反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.,并非所有的函数都是初等函数,分段函数一般不是初等函数. 但也有例外!,3.双曲函数与反双曲函数,-都是初等函数.,Solution.,Solution.,由此可求得x的取值范围，即为定义域.,Solution.,易知该函数的定义域为：,Solution.,Solution.,因为,所以,Proof.,两式联立可求得，,Proof.,由单调性及已知不等式有，,Solution.,故所求反函数为,Solution.,The end,
