1、单 位: 计算机教研室,邮 箱：,办公电话：3029132,办公地点：图书馆5楼,姓 名：赵燕,自我介绍,高等数学,课程介绍：上下两册，总学时90 ，周学时6；,课程的必要性：,当今学科的交叉性,后继课程学习的需要,考研的需要,考核：平时成绩30%，考试成绩70%；,作业：下次上课前，把本次上课布置的作业以班级为,单位交至讲台。,第一章 函数与极限（一）,函数极限 (重点）无穷小与无穷大的概念 （难点）,基本内容,（一）集合,1.补集(余集) 记作 AC ,2. 差集(简称差)：设A、B是两个集合 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集(简称差) 记作 A B 即 A Bx|
2、xA且xB,一、函 数,3.两个集合的直积,4.邻域,记作,记作,（区间）,1.几个常见函数,(1) 绝对值函数:,其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =0, + ).,(2) 符号函数:,其定义域为D=(-, +) ,其值域为Rf =-1, 0, 1.,（二）函数,注：不超过x的最大整数称为x的整数部分 记作 x ,(3) 取整函数：,y x ,其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =Z.,(4) 分段函数：,由两个或两个以上数学式子表示的,一个函数.,1.几个常见函数,（二）函数,如果存在正数K, 使对任一xI, 有|f(x)|K, 则称函数f(x)在I上有界;否则，称函数f
3、(x)在I上无界.,例如：,如果存在数K1, 使对任一xI, 有f(x)K1, 则称函 数f(x)在I上有上界.,如果存在数K2, 使对任一xI, 有f(x)K2, 则称函数f(x)在I上有下界.,设函数f(x)的定义域为D, 数集ID.,有界；,无界.,2. 函数的有界性,图形,有界；,无界；,3. 复合函数,设函数,的定义域与,的值域的交,集非空，则函数,称为由函数,复合而成的复合函数.变量u称为中间变量.,和函,数,例如，,解：,(2). 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,如:,注意:,(1). 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,再如：,可限制,练习1:分解复合函数
4、,解:,复合函数分解的原则为分解后的函数是五类基本初等函数形式或四则运算式子.,练习2：判断下列函数是否是复合函数，若是，试分解,4.初等函数,(1) 基本初等函数,（以下五种函数统称为基本初等函数）,(2)初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合 所构成，且用一个式子表示的函数，叫做初等函数.,4.初等函数,(2)初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合 所构成，且用一个式子表示的函数，叫做初等函数.,注：分段函数及无限形式的式子等一般不是初等函数.,如：,4.初等函数,双曲正弦:,双曲余弦:,双曲正切:,(3)双曲函数,应用上常遇到的双曲函数是:,4.初等函数,
5、双曲函数的有关公式,sh(x+y)=sh x ch y+ch x sh y,ch2 x- sh2 x=1,ch(x+y)=ch x ch y+sh x sh y,sh 2x=2sh x ch x,ch 2x=ch2x+sh2x.,sh(x-y)=sh x ch y-ch x sh y,ch(x-y)=ch x ch y-sh x sh y,二、极 限,（一）数列的极限,考察数列：,给,给,因此, 如果n增大到一定程度以后, |xn-1|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数1.,1. 数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的 正数e 总
6、存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn 收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限, 0, NN 当nN时 有|xna| .,极限定义的简记形式,1. 数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的 正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn 收敛于a 记为,2.几何意义,3.收敛数列的性质,1) 唯一性,收敛的数列只有一个极限.,2) 有界性,收敛的数列必定有界.,注意：有界数列不一定收敛.,例1 根据极限的定义证明：
7、,证明：,当 时,如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数A 则常数A叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作,1. xx0时函数f(x)A的极限,若对于任意给定的正数 总存在正数 使得当x满足不等式0|xx0| 时 对应的函数值f(x)恒满足不等式 |f(x)A| 则常数A叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为,函数极限的精确定义,（二）函数的极限,（二）函数的极限,定义的简记形式,e 0 d 0 当0|x-x0|d 有|f(x)-A|e ,注意：,x0的极限主要是考察函数在x0附近变化趋势, 与f(x)在 x0点有无定义没有关系.,. 1,. 1,2 .,若对于任意给定的
8、正数 总存在正数 使得当x满足不等式0|xx0| 时 对应的函数值f(x)恒满足不等式 |f(x)A| 则常数A叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为,函数极限的精确定义,（二）函数的极限,几何意义,例2 利用极限的定义证明：,分析：,要使,时，,只需取,即可.,证明：,取,有,所以，,单侧极限,左极限=A,右极限=A,记作,记作,注1：左极限与右极限都称之为单侧极限,注2：单侧极限与双侧极限的关系,注2：单侧极限与双侧极限的关系,左右极限存在但不相等,例3,证,如果当|x|无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,
9、时 恒有|f(x)A| 则称当x 时,常数A为f(x)的极限,精确定义,定义 若对任意给定的0,总存在一个正数M,当|x|M,记为,时 恒有|f(x)A| 则称当x 时,常数A为f(x)的极限,定义 若对任意给定的0,总存在一个正数M,当|x|M,记为,几何意义,精确定义,的图形的水平渐近线,如：,几何意义,例4 利用函数极限的定义证明：,分析：,证明：,取,有,所以，,（一） 无穷小,如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称 函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小,记为,无穷小的定义,例如：,注意 1.无穷小是极限为零的函数 而不是 很小很小的数.,2.无穷小这个概念和极限过程
10、有关.,三：无穷小与无穷大,判断正误,是无穷小；,是 时的无穷小.,是 时的无穷小；,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,性质1 有限个无穷小的和也是无穷小,无穷小的性质,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小,如：,（二） 无穷大,如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大 记为,无穷大的定义,注：无穷大属于极限不存在的情形,如果,无穷大与无穷小之间的关系,在自变量的同一变化过程中 如果f(x)为无穷大,作业：,习题1-1： 13；,习题1-2： 1(5)(6), 5；,习题1-3： 1；,习题1-4： 1.,返回,有上界,有下界,有界,
