1、微积分,数学教研室 孔素然 电话：80794475 办公室：2号楼1023 E-mail: ,一、集合与区间,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,4.常量与变量:,
2、在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,5.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,二、函数的概念,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,在求定义域时，往往考虑以下几点：,1）分式中分母不能为零；,2）偶数方根里的项非负；,3）对数函数中，底数要大于零不等于零，真数应大于零；,4） 的定义域为-1，1,定义:,如果自
3、变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,例3： 符号函数,几个特殊的函数举例,例4： 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,（补充）1. 狄利克雷函数,2. 取最值函数,对应法则用不同的,在自变量的不同变化范围中,式子来表示的函数,称为分段函数.,三、函数的几种特性,有界,无界,1函数的有界性:,几个常见的有界函数：,在 上,有界,在 -1,1 上,有界,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,判别下列函数的奇偶性,偶,奇,偶,奇,四、反函数,设y=f(x)的定义域为X, 值域为Y, 对Y中的任何一个y,通过函
4、数y=f(x),可以反解出唯一的一个x,使得y与x相对应,根据函数定义,x是y的函数.这个函数的自变量是y,因变量是x,定义域是Y,值域是X.称之为y=f(x)的反函数.记为x=f-1(y),习惯上用x表示自变量,y表示因变量,因此反函数常写成y=f 1(x).,y=f(x) x=f -1 (y),反函数的定义域、值域分别是原函数的值域和定义域.,注意：,只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数.,若y=f(x)，存在反函数,则在同一直角坐标系中，y=f(x)和y=f -1(x)的函数图形关于直线y=x对称,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,五、复合函数 初等函数,1.复合函
5、数,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,6种基本初等函数,1.常值函数,常值函数y=C,其中C为常数其定义域为(-,+ ).其对应规则是对于任何x (-,+ ),x所对应的函数值y恒等于常数C其函数图形为平行于x轴的直线.,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,5.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,6.反三角函数,反正弦函数y=arcsinx是正弦函数y=sinx在区间上的反函数其定义域为-1,1值域为,反余弦函数yarccosx是余弦函数y=cosx在区间0,上的反函数其定义域为-1,1,值域为0,.,反正切函数y=arctanx是正切函数y=tanx在区间 内的反函数其定义域为(,+),值域为,常值函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,反余切函数y=arccotx是余切函数y=cotx在区间(0,)内的反函数，其定义域为(,+),值域为(0,).,六、小结,思考题,思考题解答,设,则,故,
