1、一. 本周教学内容：选修 23 基本计数原理和排列组合二. 教学目标和要求1. 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。2. 理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。3. 让学生体会思想与方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣。注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，学会从不同的切入点解决问题。三. 重点和难点重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题四. 知识要点解析1. 两个基本计数原理（1 ）分类
2、加法计数原理：做一件事情，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的办法 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有Nm 1m 2m n 种不同的方法（2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法，做第二个步骤有 m2 种不同的办法 做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有Nm 1m2mn 种不同的方法说明：（1 ）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法（2 ）考虑用哪个
3、计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。如果完成一件事情有 n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成 n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理 （3 ）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“ 分步”或者“ 分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏 2. 排列问题（1 ）排列的定义：一般的，从 n 个不同的元素中任取 m（m n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列说明：定义中包含两个基本内容：一
4、是“取出元素”，二是“ 按一定顺序排列”一个排列就是完成一件事情的一种方法不同的排列就是完成一件事情的不同方法两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素相同，二是顺序相同从 n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列，记作 nA（2 ）排列数的定义：从 n 个不同的元素中任取 m（m n）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中任取 m 个元素的排列数。用符号 A（3 ）排列数公式： !)()1()2(1mnAmn （读作 n 的阶乘） ，0！1!n说明： mN且,公式右边是 m 个从大到小的连续正整数之积，最大的因数是 n，最小的因数是nm 1n 的阶乘是正整
5、数 n 到 1 的连乘积3. 组合问题（1 ）组合的定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m（m n）个元素，并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合说明： 如果两个组合中元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合当两个组合中元素不完全相同，就是不同的组合排列和组合的区别：排列和顺序有关，而组合和顺序无关（2 ）组合数定义：从 n 个不同的元素中任取 m（m n）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中任取 m 个元素的组合数。用符号 C（3 ）组合数公式：1),()!)1()2(0 nmC nNnmn且（4 ）组合数的两个性质： mn11mnnC4. 排列
6、和组合的关系：（1 ）二者区别的关键：是否和顺序有关（2 ）二者的联系： mnA5. 解决站队和组数的常用方法：（1 ）特殊位置（或元素）优先考虑法：解决在与不在的问题（2 ）捆绑法：解决元素相邻的问题（3 ）插空法：解决元素不相邻的问题（4 ）间接法：先总体考虑，后排除不符合条件的，转化问题【典型例题】例 1. （1993 年全国高考） 同室 4 人各写一张贺年卡片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡片，则 4 张贺年卡片不同的分配方式有：（ ）A. 6 种 B. 9 种 C. 11 种 D. 23 种 错解： 32116 选（A） 3221111 选（C） 3222123 选
7、（D）错解原因：由于本人不能拿自己写的卡片这一限制条件，导致它们之间有过多的相互影响的限制，因此三种解法都没有能全面考虑。有的重复有的遗漏，思路不清晰，从而错解本题。由于本题 4 这个数目不大，设 4 人分别编号甲，乙，丙，丁， 4 人对应卡片分别编号1， 2，3，4，我们可以采用穷举法逐一列举如下：2 1 4 3 2 3 4 1 2 4 1 33 1 4 2 3 4 2 1 3 4 1 24 1 2 3 4 3 1 2 4 3 2 1共有 9 种，所以正确答案选（B）分析：建立数学模型将贺年卡片的分配问题转化为数学问题，用 1，2 ，3，4 这 4 个数字组成无重复的四位数，其中 1 不在千
8、位，2 不在百位， 3 不在十位，4 不在个位的 4 位数共有多少个？思路：用乘法原理，千位只能放 2，3 ，4 三种；在放过数字 2 后，百位只能放 1，3 ，4三种，后两位已经确定。类似的，当千位数字是 3，十位只能放 1，2，4，其余也已确定 331 9 ，共有 9 种，所以正确答案选（B）评析：要分析清楚它们之间的关系，注意问题的转化，和数学问题联系起来，建立数学模型。例 2. （2003 年全国高考文科）将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）错解：按照乘法原理 3222248 种错解原因：这
9、 48 种里面有不符合条件的，设三种作物为 ABC，例如下面情况是存在的ABABA， BABAB 只有两种作物，不符合题意，共有 种623AC正确解法：486 42 种例 3. 从包含甲的若干名同学中选出 4 名分别参加数学，物理，化学和英语竞赛，每名学生只能参加一科竞赛，且任 2 名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有 72 种不同的参赛方案，问一共有多少同学？分析：若设共有 n 名同学，则我们可以用 n 把参赛方法总数表示出来，这种实际上就是得到了一个关于 n 的方程，解方程即可求出 n 的值解：设共有 n 名同学，首先从这 n 名同学中选出 4 人，然后再分别参加竞赛
10、，按同学甲分类：第一类，不选甲，则从剩下的 n1 名同学中选出 4 人分别参加 4 科竞赛，有 种41nA参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有 种方法，再从剩下的 n1 名同学中选出 3 人2A参加剩下的 3 科竞赛，有 种方法，共有 种参赛方式，所以根据分类计数原理，一31nA31n共有 种方法，根据题意得 72，解得 n541nA12n 42评析：对于这类较为复杂的问题，我们往往感到无从下手，如果，从竞赛学科的角度来思考，则需要分很多种情况，容易出错。这时我们可以采用“先取后排”的原则：即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答比较条理，有利于问题的解决。同学们在思考这个问
11、题时，关键是要理清思路，注意问题的转化，不要“一条道走到黑” ，不要“钻牛角尖” 。当然这道题也可采用“先特殊后一般”的原则解决，大家不妨一试。例 4. 用 0 到 9 这十个数字可以组成多少个没有重复数字的（1 ）五位数 （2）五位奇数 （3） 五位偶数 （4 ）数字 0 不选上，但数字 2，3 必须选上且相邻的五位数解：（1）首位是特殊位置，按照特殊位置优先考虑的方法，第一步：首位共有 方法，19C第二步：从剩余的 9 个数字（包括数字 0）中选取 4 个排列，共有 种方法49A根据乘法原理：共有 27216 种1C4A（2 ）填空法思路一：首位和末位都是特殊位置，如果先考虑首位，则有首位
12、是奇数和偶数两种情况，分类讨论：首位奇数，则有 种，末位为奇数有 种，其余 种，所以共有15A14A386720 种方法。首位偶数，不能为 0，则有 种，末位为奇数有 种，其余15A438 15A种，所以共有 6720 种方法，则共有 13440 种38A14A538 15A43814538A思路二：先确定末位为奇数，有 种，首位不能为 0，则有 种，其余 种，所以共15有 13440 种1583分析：两个特殊位置中末位更特殊，注意分析，有利于解决问题，在这里我详细分析，注意体会，并在解题中加以应用。（3 ） 思路一：末位偶数，分两类：末位是 0，则首位有 种，其余有 ；末位不是19A380，
13、有 种， 则首位有 种，其余有 ，所以共有 13776 种14A18A383848思路二：（间接法）利用五位数的方法数 27216 种，减去五位奇数的方法数19C4 15A13440 种，所以共有 27216 13440 13776 种183 19458A3（4 ）数字 0 不选上，但数字 2，3 必须选上且相邻的五位数第一步：选元素，数字 2，3 必须选上，然后再选择 3 个元素，有 种37C第二步：排顺序，把 2，3 看成一个元素，俗称“捆绑” ，共有 4 个元素排顺序，有 种，4A但，2 ， 3 两元素还有顺序，有 种A所以共有 1680 种7C42分析：该例题涉及组数，关键分清题目中的
14、条件的限制，常用方法就是，特殊位置（元素）优先考虑，优先安排；相邻问题可以用捆绑法；不相邻问题可以用插空法；直接来求情况较多，也可以用间接法。只有理解了题意，明白题目的意图，这些方法才能熟练应用。思考：如何解决这个问题？用 1 到 9 这九个数组成九位数，要求偶数不能相邻，问有多少种不同的排法？例 5. 六本不同的书，根据下列条件分配，各有多少种不同的分配方案？（1 ）甲两本，乙两本，丙两本（2 ）甲一本，乙两本，丙三本（3 ）一人一本，一人两本，一人三本（4 ）平均分成 3 堆解：（1）有编号，有分步计算原理得 种90246C（2）有编号，甲有 ，乙有 ，丙有 ，所以共有 60 种16C25
15、3C16253C（3 ）无编号，先分组后分配给甲乙丙，分组有 ，分配有 ，所以共有325163A 360 种2516CA（4）平均分组 种153246C【模拟试题】一、选择题1. 已知椭圆 的焦点在 y 轴上，且 ，这样的椭圆共12nymx 5,4321,nm有（ ）个A. 9 B. 12 C. 15 D. 302. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一球队打完 15 场比赛，积分 33 分，若不考虑顺序，该队胜平负的情况共有（ ）种A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. （1991 年全国高考） 从 4 名甲型和 5 名乙型电视机中任意取出
16、 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，不同的取法共有（ ）种A. 140 B. 84 C. 70 D. 354. 四个不同的小球放入编号 1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有（ ）种A. 288 B. 144 C. 72 D. 以上都不对5. 四面体的和各棱中点共有 10 个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法有（ ）种A. 150 B. 147 C. 144 D. 1416. 八个不同颜色的小球已平均分装在 4 个箱子中，现从不同的箱子中取出 2 个彩球，则不同的取法共有（ ）种A. 6 B. 12 C. 24 D. 287. 每天上午有 4 节课，下午 2 节课
17、，安排 5 门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起上，则一天安排不同课程的种数为（ ）A. 96 B. 120 C. 480 D. 6008. 五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（ ）种 A. 120 B. 78 C. 96 D. 729. 从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只，其中恰好有一双的取法种数为（ ）A. 120 B. 60 C. 240 D. 280 10. 分别在三张卡片的正反面上写有 1 与 2，3 与 4 ，5 与 6，且 6 可以当 9 用，把这三张卡片拼在一起，表示一个三位数，则三位数的个数共有（ ）个A. 12 B. 24 C. 48 D. 72
18、二、填空题1. 有 100 个三好学生名额，分配到高三年级 60 班，每班至少一个名额，共有 种不同的分配方案。2. 马路上有 8 盏路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的 3 盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或者三盏，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有 种。3. 三个人坐在一排 8 个座位上，若每人两边都有空位，则坐法种数为 4. 计算 2102432CC5. 若 ，则 x xx207206. 十只产品中有 4 只次品，6 只正品，每次取出一个测试，直到 4 只次品全测出为止，则第 4 只次品在第 5 次测试时被发现的情形共有 种 三、解答题（套题）有 3 名男生，4
19、名女生，在下列不同要求下，不同的排法有多少种？（1 ）全体排成一排（2 ）选其中 5 人排成一排（3 ）全体排成一排，其中甲只能在中间或者两头位置（4 ）全体排成一排，甲乙必须在两头（5 ）全体排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边（6 ）全体排成一排，男女生各一边（7 ）全体排成一排，男生必须排在一起（8 ）全体排成一排，其中甲必须在乙的左边（9 ）全体排成一排，男生不能排在一起（10 ）全体排成一排，甲乙两人之间必须有 3 人（11 ）排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人（12 ）排成前后 2 排，甲必须在前排请做完之后，再看答案【试题答案】一、选择题1. A 2. A 3. C 4.
20、B 5. D6. C 7. C 8. B 9. A 10. D二、填空题1. 挡板法，把 100 个名额看成 100 个位置，中间有 99 个空，插入 59 个挡板，分成 60 部分，即 种 592. 插空法：问题转化为“在 5 盏亮灯的 4 个空中插入 3 盏暗灯”所以 4 种3C3. 244. 利用 ，结果为 11mnmnC16535. 2x7x 或 2x7x20，解得 x7 或 x96. 第 4 只次品在第 5 次测试时被发现，说明前四次测试中有 3 只次品，一只正品，第 5 次一定是次品，所以共有 种不同的方法。6416A三、解答题（套题） 2160)(54730)9(251870)7(863720254)(10325)(3772343243 567567ACAAA插 空 法捆 绑 法 ，【励志故事】宽恕的力量
