1、量子力学,第十三章第十八章,量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本 粒子等）运动规律的理论。,微观粒子不同于宏观物体的运动规律，本质原因是微观 粒子的特殊性质波-粒二象性。,13-1 波函数的统计解释和薛定谔方程,第十三章 微观粒子的运动规律,光的波动性,微观粒子的粒子性,微观粒子的波动性,麦克斯韦方程组,光的粒子性,新实验现象的研究,公认,德布罗意波,德布罗意粒子的波粒二象性,如同光子和光波的关系一样，具有一定能量和动量的粒子，其运动可以用一定频率的波长的波来描述。,L. de Broglie (1892-1987),实物粒子既然有波动性，为什么我们一直把它当做经典粒子却没有出过错
2、？,思考,由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循 的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，因此需 要建立一套新的力学体系量子力学。,首先：寻找一个“量” 描述微观粒子的运动状态,经典粒子,坐标+动量,经典波,微观粒子（波+粒子),（1）波函数 （2）波函数的解释 （3）波函数的性质,一、波函数,通常是复函数,（1）波函数,为了表示微观粒子（以后简称粒子）的波粒二象性，用一个函数表示描写粒子的波，称为“波函数”。,为什么“波函数”可描述粒子的波粒二象性？,以电子的衍射实验为例，解释波函数,（2）波函数的解释Born的统计解释,t时刻电子出现在该点附近的几率,波函数振幅的平方，即为波函数模的平方
3、,Born的波函数统计解释,即，粒子波函数的模的平方 与粒子在该点出现的几率成正比。,在电子衍射实验中：,t时刻照相底片上 附近衍射花样强度(黑白度),t时刻该点附近感光点的数目,t时刻该点附近出现电子的数目,也就是说，电子发射后落到感光屏何处是不能确定的，只 能知道其落在某处的几率!,确切地说，表示t时刻在r点处，小体积元xyz中找到粒子的几率。,Born的波函数统计解释,的意义是表示t时刻粒子出现在r处单位体积的几率大小,又可表示为几率密度 。,（3）波函数的性质,在t时刻，r点，dV=d3rdx dy dz体积内，找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率是：,在 t时刻，一个体积V中找到
4、粒子的几率为,(a)几率,若体积V为全空间，则在全空间找到粒子的几率为1,称为归一化条件。是波函数必须满足的。,(b)归一化,波函数的归一化,一般地，归一化过程为：,归一化常数,(c)波函数是单值、有限、连续的,（1）粒子在某一时刻，空间某处出现的几率是唯一确定的，故波函数必须是单值的；,（3）粒子在空间各处出现的几率是连续的，故波函数也应该是连续的,由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即,这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2倍），则相应的波动
5、能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。,注意,波函数 本身是不可观测量,其作用在于用它可以对微观粒子的各种力学量(坐标、动量、角动量等)的观测结果作出预测。,1.三个前提：,二、波函数的叠加原理,（1）粒子所处的运动状态用粒子的波函数描述；,（2）粒子所处的运动状态不是唯一确定的，而是以不同的几率处于不同状态，即不同的波函数态；,（3）为了解释粒子的干涉、衍射等波动现象，要求波函数也要服从波的叠加原理。,2.波函数的叠加原理态叠加原理,当粒子处于态1和态2 的线性叠加态时，粒子是既处于态1，又处于态2；或称为部分的处于态1，部分的处于态2 。,三、薛定谔方程,
6、坐标和动量,波函数,薛定谔方程,牛顿运动方程,薛定谔方程不是严格推导得到的，而是从平面波函数出发建 立起来的，其正确性需要一些守恒率即实验结果验证。,薛定谔方程,说明：（1）U是粒子所在力场的势能，可以是坐标和时间的 函数，即 ，也可以仅为坐标的函数，即 ，在本章 我们仅考虑后一种情况，即为保守场中的势能。,(3)由N个粒子组成的多粒子体系,薛定谔方程为:,（4）量子力学基本假定:量子力学基本假定I：波函数完全描述粒子的状态。 量子力学基本假定II：波函数随时间的演化遵从薛定谔方程。,下面问题归结为求解薛定谔方程,(2) 称为哈密顿函数，或哈密顿算符；,与时间无关，可以用分离变量法：,代入（1
7、）式，并左右两边同除以 ，得：,四、解薛定谔方程的分离变量法,上式左右两边各为坐标r和时间t的函数，而r与t是相互独立 的量，所以只有当两边都等于同一常量时，（2）式才成 立。用E表示这个常量，则同时有：,定态薛定谔方程,定态波函数,(1) 问题就归结为求定态薛定谔方程的解 ，代入即得含时薛定谔方程的解 .,注意,(2) 定态薛定谔方程,则有:,这种形式的方程被称为:本征方程,能量算符 的本征值,能量算符 的本征函数(态),(3) 定态: (a)能量有确定值;(b)粒子的位置概率密度和概率流密度都不随时间变化;(c)力学量的概率分布和平均值也与时间无关总之,定态是一种力学性质稳定的状态.,一维
8、无限深势阱中的微观粒子.其能量E0,求粒子的能量能量本征值和本征函数.,例题,补充,1、二阶线性常系数齐次方程的解,上式解的情况，要根据其特征方程判断：,若（2）式有两个实数解 ，则（1）式解为,若（2）式有两个实数解 ，则（1）式解为,若（2）式有两个复数解 ，且互为共轭，即 则（1）式解为：,当遇到一个（1）式类型的方程，先判断其特征方程（2）的 解属于上面哪种形式，然后选择方程（1）不同形式的解。,2、 波函数的定解条件,（a）波函数的标准条件：必须在变量变化的全部区域内是 有限的、连续的（波函数本身及其一阶微分都是连续的）、 单值的；,有限：,连续：,单值：,（b）系统所处的外部条件，
9、如题目中给出的条件等。,一维无限深势阱中的微观粒子的能量本征值 以及与 对应的本征函数 为:,讨论,（1）波函数在势阱之外为0，粒子只能被束缚在势阱内；,（2）势阱中粒子的能量，不能是任意的，它只能取 这些分立的数值，即能量是量子化的；,（3）体系能量最低的态 称为基态;一维无限深势阱中粒子的基态是n=1的本征态 ,（3）n=1,2,3的波函数及相应的几率分布如图所示：（板书）,五、概率流密度和概率流数守恒定律,由波函数的统计解释,表示t时刻粒子出现在r处的几率大小, 即表示几率密度。,上式左右同时对时间t求偏导:,又根据薛定谔方程:,求共轭后,整理后得到:,令:,则有:,其中 称为概率流密度矢量.,概率流守恒定律,
