母函数与递推关系.ppt

1、第二章 母函数与递推关系,组合数学,2.1 母函数,递推关系是计数的一个强有力的工具，特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如,2.1 母函数,项的系数 中所有的项包括n个元素a1，a2， an中取两个组合的全体；同理项系数包含了从n个元素a1，a2， an中取3个元素组合的全体。以此类推。,2.1 母函数,若令a1=a2= =an=1，在（2-1-1）式中 项系数： 中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：,2.1 母函数,另一方面：,2.1 母函数,比较等号两端项对应系数，可得一等式,2.1 母函数

2、,同样对于 ，（设 ），用类似的方法可得等式：,正法如下：,2.1 母函数,比较等式两端的常数项，即得公式(2-1-3),2.1 母函数,又如等式：,令x=1 可得,2.1 母函数,(2-1-2)式等号的两端对x求导可得：,等式(2-1-5)两端令x=1，得：,2.1 母函数,用类似的方法还可以得到：,定义：对于序列 构造一函数：,2.1 母函数,还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子已可见函数 在研究序列 的关系时所起的作用。对其他序列也有同样的结果。现引进母函数概念如下：,称函数G(x)是序列 的母函数,序列 可记为 。,如若已知序列 则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如

3、若以求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。,2.1 母函数,例如 是序列 的母函数。,2.2 递推关系,利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中经常用到，举例说明如下：,例一.Hanoi问题：这是个组合数学中的著名问题。N个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图示。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。,2.2 递推关系,Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。,算法：,N=2时,第一步先把最上面的一个圆盘套在B上

4、, ,第二步把下面的一个圆盘移到C上, ,最后把B上的圆盘移到C上,到此转移完毕,2.2 递推关系,对于一般n个圆盘的问题，,假定n-1个盘子的转移算法已经确定。,先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。,第二步把A下面一个圆盘移到C上,最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上,2.2 递推关系,上述算法是递归的运用。n=2时已给出算法；n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到柱C上。N=4，5，以此类推。,2.2 递推关系,算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上；然后把第n个

5、盘子转到C上；最后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对的。以此类推。于是有,2.2 递推关系,算法复杂度为：,H(x)是序列 的母函数。给定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而知了。当然，利用递推关系(2-2-1)式也可以依次求得 ，这样的连锁反应关系，叫做递推关系。,2.2 递推关系,下面介绍如何从(2-2-1)式求得母函数H(x)的一种形式算法。所谓形式算法说的是假定这些幂级数在作四则运算时，一如有限项的代数式一样。,2.2 递推关系,根据(2-2-1)，,或利用递推关系(2-2-1)有,2.2 递推关

6、系,上式左端为：,右端第一项为：,右端第二项为：,2.2 递推关系,整理得,这两种做法得到的结果是一样的。即：,2.2 递推关系,令,如何从母函数得到序列 ？下面介绍一种化为部分分数的算法。,2.2 递推关系,由上式可得：,即：,2.2 递推关系,因为：,2.2 递推关系,例2. 求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。,先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的结构入手 是n-1位十进制数，若含有偶数个5，则 取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个，若 只有奇数个5，则取 ，使 成为出现偶数个5的十进制数。,2.2 递推关系,解法1：,令 位十进制数中出现5的数的个数， 位十

7、进制数中出现奇数个5的数 的个数。,故有：,也有类似解释。,2.2 递推关系,(2-2-2)式中的 表达了含有偶数个5的n位十进制数的两个组成部分。 表达由含有偶数个5的n-1位十进制数 ，令 取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个数构成的。 项表示当 是含有奇数个5的n-1位十进制数，令 而得 是含偶数个5的n位十进制数。,(2-2-2)是关于序列 和 的连立关系。,2.2 递推关系,设序列 的母函数为 ，序列 的母函数为 。,即：,2.2 递推关系,承前页：,2.2 递推关系,又：,故得关于母函数 和 得连立方程组：,2.2 递推关系,2.2 递推关系,2.2 递推关系

8、,解法二：n-1位的十进制数的全体共 从中去掉含有偶数个5的数，余下的便是n-1位中含有奇数个5的数。故有：,2.2 递推关系,令,2.2 递推关系,1）不出现某特定元素设为 ，其组合数为 ，相当于排除 后从 中取r个做允许重复的组合。,2.2 递推关系,例三：从n个元素 中取r个进行允许重复的组合。假定允许重复的组合数用 表示，其结果可能有以下两种情况。,2.2 递推关系,2）至少出现一个 ，取组合数为 相当于从 中取r-1个做允许重复的组合，然后再加上一个 得从n个元素中取r个允许重复的组合。,依据加法原则可得：,因 ，故令,2.2 递推关系,递推关系(2-2-3)带有两个参数n和r。,2

9、.2 递推关系,(2-2-3)式是关于 的递推关系，但系数 不是常数。但,2.2 递推关系,由二项式定理,可得,2.3 母函数的性质,2.3 母函数的性质,一个序列和它的母函数一一对应。给了序列便得知它的母函数；反之，求得母函数序列也随之而定。这种关系颇像数学中的积分变换，特别酷似离散序列的Z变换。如2的例子所示的那样，为了求满足某种第推关系的序列，可把它转换为求对应的母函数 ， 可能满足一代数方程，或代数方程组，甚至于是微分方程。,2.3 母函数的性质,最后求逆变换，即从已求得的母函数 得到序列 。关键在于要搭起从序列到母函数，从母函数到序列这两座桥。这一节便是以此为目的的。不特别说明下面假

10、设 、 两个序列对应的母函数分别为 、,2.3 母函数的性质,性质1：,若 则,证：,2.3 母函数的性质,例. 已知,则,2.3 母函数的性质,性质2：若 ，,则,2.3 母函数的性质,证：,2.3 母函数的性质,例.,2.3 母函数的性质,性质2：若 ，则,证：,2.3 母函数的性质,2.3 母函数的性质,例. 已知,2.3 母函数的性质,类似可得：,2.3 母函数的性质,性质2：若 收敛，则,2.3 母函数的性质,2.3 母函数的性质,性质5. 若 ，则 。,例.,则,2.3 母函数的性质,性质5和性质6的结论是显而易见的。,性质6. 若 ，则,2.3 母函数的性质,性质7. 若则,2.

11、3 母函数的性质,证:。,2.3 母函数的性质,例. 已知 则,2.4 Fibonacci数列,2.4.1 递推关系,Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题，数列的本身有着许多应用。,问题：有雌雄兔子一对，假定过两月便可繁殖雌雄各一的一对小兔。问过了n个月后共有多少对兔子？,设满n个月时兔子对数为 其中当月新生兔数目设为 对。第n-1个月留下的兔子数目设为 对。,2.4.1 递推关系,但,即第n-2个月的所偶兔子到第n个月都有繁殖能力了。,由递推关系(2-3-1)式可依次得到,2.4.2 问题的求解,设,2.4.2 问题的求解,承前页,2.4.2 问题的求解,承前页,2.4.2 问题

12、的求解,承前页,2.4.2 问题的求解,其中,2.4.3 若干等式,1）,证明：,2.4.3 若干等式,2）,证明：,2.4.3 若干等式,3）,证明：,2.4.4 在选优法上的应用,设函数 在区间 上有一单峰极值点，假定为极大点。,所谓单峰极值，即只有一个极值点 ，而且当x与 偏离越大，偏差 也越大。如下图：,2.4.4 在选优法上的应用,设函数 在 点取得极大值。要求用若干次试验找到 点准确到一定的程度。最简单的方法，把 三等分，令：,如下图：,2.4.4 在选优法上的应用,依据 的大小分别讨论如下：,当 ，则极大点 必在 区间上，区间 可以舍去。,2.4.4 在选优法上的应用,当 ，则极

13、大点 必在 区间上，区间 可以舍去。,2.4.4 在选优法上的应用,当 ，则极大点 必在 区间上，区间 和 均可以舍去。,2.4.4 在选优法上的应用,可见做两次试验，至少可把区间缩至原来区间的2/3，比如 ，进一步在 区间上找极值点。若继续用三等分法，将面对着这一实事，即其中 点的试验没发挥其作用。为此设想在 区间的两个对称点 分别做试验。,2.4.4 在选优法上的应用,设保留 区间，继续在 区间的下面两个点 处做试验，若,则前一次 的点的试验，这一次可继续使用可节省一次试验。由(2-3-6)式有,2.4.4 在选优法上的应用,这就是所谓的0.618优选法。即若在 区间上找单峰极大值时，可在

14、,点做试验。比如保留区间 ，由于，故只要在,点作一次试验。,2.4.4 在选优法上的应用,优选法中可利用Fibonacci数列，和0.618法不同之点在于它预先确定试验次数，分两种情况介绍其方法。,(a) 所有可能试验数正好是某个 。,2.4.4 在选优法上的应用,这时两个试验点放在 和 两个分点上，如果 分点比较好，则舍去小于 的部分；如果 点更好，则舍去大于 的部分。在留下的部分共 个分点，其中第 和第 二试验点，恰好有一个是刚才留下来的试验可以利用。,可见在 个可能试验中，最多用n-1次试验便可得到所求的极值点,2.4.4 在选优法上的应用,(b)利用Fibonacci数列进行优选不同于

15、 0.618法之点,还在于它适合于参数只能取整数数值的情况.如若可能试验的数目比 小,但比 大时,可以虚加几个点凑成 个点，但新增加的点的试验不必真做，可认定比其他点都差的点来处理。,2.4.4 在选优法上的应用,下面给出两个定理作为这一节的结束。,定理：测试n次可将包含单峰极值点的区间缩小到原区间的 ，其中 是任意小的正整数，,2.4.4 在选优法上的应用,证：对n用数学归纳法。,n=2时，将区间 平分成 段。在分点（包括端点a，b）分别标上 。在1点的两侧取 ，在 与 两点上测试，无论哪一点较优，保留下来的区间长度均为 ，命题成立。,2.4.4 在选优法上的应用,假设对于n-1，命题成立,

16、对于n，将 平分成 段，对分点（包括端点a，b）依次标上 。先在 点与 点测试，无论哪一点较优，保留下来的区间均为 段。根据归纳假设，再做n-1次测试（内含前两次测试之一）可将含极值点的区间缩小到 段，即原区间 的 。,2.4.4 在选优法上的应用,因 ，当n较大时，可将相继的两个测试点取在待测区间的0.618及1-0.618处。由,可知，0.618法比 法最多多测试一次。0.618 法的优点是不必事先定测试次数。,2.4.4 在选优法上的应用,定理：设在给定区间内有单峰极值点。如果包含极值点在内的可测点为 个，则测试n次必可找到极值点， 。,证：对n用数学归纳法。,n=2时， ，命题成立,2

17、.4.4 在选优法上的应用,下面证明对n命题成立。设可测试点的标号依次是 。先在 点及 点测试。无论哪一点较优，保留下来的可测点都为 个。根据归纳假设，再测试n-1必可找到极值点。而在保留的 个可测试点中，有一点（ 或 ）的测试结果下一次比较好时正好用上，这样总测试次数为n。,假设对于n-1，命题成立,2.5 线性常系数递推关系,2.5 线性常系数递推关系,定义 如果序列 满足,及 是常数， ，则称为 的 阶常系数线性递推关系，称为 的初始条件，,称为 的特征多项式,2.5 线性常系数递推关系,设 为 的母函数,根据(2-5-1)，有,2.5 线性常系数递推关系,将这些式子两边分别相加，得到,

18、即,其中,2.5 线性常系数递推关系,令 ，多项式 的次数不大于 。特征多项式,2.5 线性常系数递推关系,因此，,是 次多项式，我们知道 在复数域中有 个根。设,2.5 线性常系数递推关系,则,于是,2.5 线性常系数递推关系,(2-5-3)式是有理式，且分子的次数低于分母的次数，有分项表示，即：,2.5 线性常系数递推关系,承上页：,的系数是 。 是常数。,2.5 线性常系数递推关系,定理：设 是有理分式，多项式的 次数低于 的次数。则 有分项表示，且表示唯一,2.5 线性常系数递推关系,证明：设 的次数为n，对n用数学归纳法。,n=1时， 是常数，命题成立。,假设对小于n的正整数，命题成

19、立。,下面证明对正整数n命题成立。设 是 的 重根，,2.5 线性常系数递推关系,不妨设 与 互素，设,2.5 线性常系数递推关系,的次数低于 。根据归纳假设，,可分项表示。因此，,可分项表示。由(2-5-6)式及(2-5-7)式可知表示是唯一的。,2.5 线性常系数递推关系,以下分别各种情况讨论具体计算的问题。 （1）特征多项式 无重根设 可见化为,2.5 线性常系数递推关系,的系数是,可由线性方程组,解出。,2.5 线性常系数递推关系,的系数矩阵的行列式是Vander mond 行列式,不难看出 有唯一解。,2.5 线性常系数递推关系,（2）特征多项式 有共轭复根设 是 的一对共轭复根。,

20、中 的系数是,2.5 线性常系数递推关系,2.5 线性常系数递推关系,其中,在具体计算时，可先求出各对共轭复根，再求待定系数A，B，避免中间过程的复数运算。,（3）特征多项式 有重根 设 是 的 重根，则(2-5-4)可简化为,2.5 线性常系数递推关系,的系数 。其中,是n的j-1次多项式。因此， 是 与n的k-1次多项式的乘积。,2.5 线性常系数递推关系,为了简化计算，下面引入一些记号，介绍几个命题。,设x是任意变量，n是非负整数，令,2.5 线性常系数递推关系,不难证明，多项式可用 唯一线性表示。其中 是常数,2.5 线性常系数递推关系,设 是给定序列，令称为 的 阶差分。,不难证明，

21、如果对任意的n有 ，则有,因而序列 的特征多项式为,2.5 线性常系数递推关系,不难证明，如果 是n的r次多项式，则是n的r+1次多项式。,以上几个命题作为习题，请读者自己证明。,2.5 线性常系数递推关系,总之：,(1)若特征多项式 有n个不同零点 则递推关系(2-5-1)的解,其中 是待定系数，有初始条件 (2-5-2)来确定。,2.5 线性常系数递推关系,(2)若特征多项式 有不同的复根，可依照(1)的办法处理。不过任意复数可写为 形式，设是 的一个零点，其共轭复根为,2.5 线性常系数递推关系,和 仍然是待定常数。即 有一对共轭复根 和 时，递推关系(2-5-1)的解有对应的项,其中A

22、，B是待定常数。,2.5 线性常系数递推关系,(3)若 k重根。不妨设 是k的重根。则递推关系(2-5-1)的解对应于的项为其中 是k个待定常数。,2.5 线性常系数递推关系,例1：求下列n阶行列式 的值。,2.5 线性常系数递推关系,根据行列式性质,对应的特征方程为,故 是二重根,2.5 线性常系数递推关系,时有,时有,即,2.5 线性常系数递推关系,例2：求,同理,相减得,2.5 线性常系数递推关系,同理,对应的特征方程为,2.5 线性常系数递推关系,是三重根,即,这就证明了,2.5 线性常系数递推关系,例2：求,同理,相减得,2.5 线性常系数递推关系,同理,对应的特征方程为,相减得,同

23、理,2.5 线性常系数递推关系,是四重根,依据 得关于A、B、C、D的连立方程组：,2.5 线性常系数递推关系,2.5 线性常系数递推关系,已知 是n的3次式，故不妨令,确定待定系数时，比较方便，无需解一联立方程组。例如,2.5 线性常系数递推关系,2.5 线性常系数递推关系,例4：求,解: 是n的3次多项式，因此 是满足递推关系：,设,2.5 线性常系数递推关系,2.5 线性常系数递推关系,以n=5对上面的结果验证一下,2.5 线性常系数递推关系,例5：求 中 的 系数。,解： 的特征多项式是,2.5 线性常系数递推关系,是3重根,是1重根,的根是,2.5 线性常系数递推关系,因此可设,2.

24、5 线性常系数递推关系,通过做长除法，求得,2.5 线性常系数递推关系,可知,利用 的值解得。故,2.5 线性常系数递推关系,通过上式，计算得 与用长除法得到的结果相同。,2.6 整数的拆分和Ferrers图像,2.6.1 问题举例,所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和，相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。,2.6.1 问题举例,例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出那几种重量？有几种可能方案？,2.6.1 问题举例,从右端的母函数知可称出从1克到10克，系数便是方案数。例

25、如右端有 项，即称出5克的方案有2,同样，,故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1,2.6.1 问题举例,例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数。,因邮票允许重复，故母函数为,以其中为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4，即,2.6.1 问题举例,例3：若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚的砝码各一枚，问能称出那几种重量？各有几种方案？,2.6.1 问题举例,2.6.1 问题举例,例4: 整数n拆分成1，2，3，m的和，并允许重复，求其母函数。如若其中m至少出现一次，其母函数如何？,若整数n拆分成1，2，3，m的和，并允许重复，其母函数为：,2.6.1

26、 问题举例,2.6.1 问题举例,若拆分中m至少出现一次，其母函数为：,2.6.1 问题举例,显然有,等式(2-6-1)的组合意义：即整数n拆分成1到m的和的拆分数减去拆分成1到m-1的和的拆分数，即为至少出现一个m的拆分数。,2.6.1 问题举例,例1：若有1、2、4、8、16、32克的砝码各一枚，问能称出那几种重量？有几种可能方案？,2.6.1 问题举例,从母函数可以得知，用这些砝码可以称出从1克到63克的重量，而且办法都是唯一的。,这问题可以推广到证明任一十进制数n，可表示为,而且是唯一的。,2.6.2 拆分数估计式,定理：设 为整数n的拆分数，则,证：令,一个整数n拆分成若干整数的和，

27、在拆分中每个整数允许重复出现。故,2.6.2 拆分数估计式,2.6.2 拆分数估计式,2.6.2 拆分数估计式,由于,2.6.2 拆分数估计式,把(2-6-3)式代入(2-6-2)式得,由于,2.6.2 拆分数估计式,因而,2.6.2 拆分数估计式,设 ，有,2.6.2 拆分数估计式,把(2-6-4)式代入(2-6-5)式得,曲线 是上凸，故曲线位于曲线 的切线下方，点 的切线为,故有,2.6.2 拆分数估计式,图 (2-6-1),2.6.2 拆分数估计式,以上式代入(2-6-5)式得：,2.6.2 拆分数估计式,不等式(2-6-7)的左端 是常数，右端是 的函数 ，即不等式对于 成立。右端函

28、数取极小值时将给出较好的上界值。令,求导得,2.6.2 拆分数估计式,令 ，得,解方程，得,2.6.2 拆分数估计式,因为,所以 是极小值。以 的值代入 ，得,2.6.2 拆分数估计式,利用 ，上式可改进为,2.6.3 Ferrers图像,一个从上而下的n层格子， 为第 层的格子数，当 ，即上层的格子数不少于下层的格子数时，称之为Ferrers图像，如图(2-6-2)示。,图 2-6-2,2.6.3 Ferrers图像,Ferrers图像具有如下性质：1.每一层至少有一个格子。2.第一行与第一列互换，第二行于第二列互换，即图(2-6-3)绕虚线轴旋转所得的图仍然是Ferrers图像。两个Fer

29、rers图像称为一对共轭的Ferrers图像。,2.6.3 Ferrers图像,利用Ferrers图像可得关于整数拆分的十分有趣的结果。,(a)整数n拆分成k个数的和的拆分数，和数n拆分成个数的和的拆分数相等。,因整数n拆分成k个数的和的拆分可用一k行的图像表示。所得的Ferrers图像的共轭图像最上面一行有k个格子。例如：,2.6.3 Ferrers图像,24=6+6+5+4+35个数，最大数为6,24=5+5+5+4+3+26个数，最大数为5,图(2-6-3),2.6.3 Ferrers图像,(b)整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，和n拆分成最大不超过m的拆分数相等。,理由和(a)

30、相类似。,因此，拆分成最多不超过m个数的和的拆分数的母函数是,2.6.3 Ferrers图像,拆分成最多不超过m-1个数的和的拆分数的母函数是,所以正好拆分成m个数的和的拆分数的母函数为,2.6.3 Ferrers图像,所以正好拆分成m个数的和的拆分数的母函数为,2.6.3 Ferrers图像,(c)整数n拆分成互不相同的若干奇数的和的的拆分数,和n拆分成自共轭的Ferrers图像的拆分数相等.,设 ，,其中 。,构造一个Ferrers图像，其第一行，第一列都是 格，对应于 ，第二行，第二列各 格，对应于 。以此类推。由此得到的Ferres图像是共轭的。反过来也一样。,2.6.3 Ferrer

31、s图像,例如,对应为Ferrers图像为,9+5+3=17 图(2-6-4),2.7 指数型母函数,2.7.1 问题提出,设有n个元素，其中元素 重复了 次，元素 重复了 次， 重复了 次，从中取r个排列，求不同的排列数,如果 ，则是一般的排列问题。,2.7.1 问题提出,现在由于出现重复，故不同的排列计数便比较复杂。先考虑 个元素的全排列，若 个元素没有完全一样的元素，则应有 种排列。若考虑 个元素 的全排列数为 ，则真正不同的排列数为,2.7.2 解的分析,先讨论一个具体问题：若有8个元素，其中设 重复3次， 重复2次， 重复3次。从中取r个组合，其组合数为 ，则序列的母函数为,2.7.2

32、 解的分析,从 的系数可知，这8个元素中取4个组合，其组合数为10。这10个组合可从下面展开式中得到,2.7.2 解的分析,承前页,2.7.2 解的分析,其中4次方项有,(2-7-2)表达了从8个元素( 各3个, 2个)中取4个的组合。例如 为一个 ，3个 的组合， 为两个 ，两个 的组合，以此类推。,2.7.2 解的分析,若研究从中取4个的不同排列总数，以 对应的两个两个的不同排列为例，其不同排列数为,即六种。同样，1个 3个 的不同排列数为,2.7.2 解的分析,即 以此类推。故从(2-7-2)式可得问题的解，其不同的排列数为,2.7.3 指数型母函数,为了便于计算，利用上述特点，形式地引

33、进函数,2.7.3 指数型母函数,承上页,2.7.3 指数型母函数,从(2-7-3)式计算结果可以得出：取一个的排列数为 ，取两个的排列数为 取3个的排列数为 ，取4个的排列数为 ，如此等等。把(2-7-3)式改写成下面形式便一目了然了。,2.7.3 指数型母函数,定义：对于序列 ，函数,称为是序列 得指数型母函数,2.7.3 指数型母函数,综合上述可得如下两个结论：,(a) 若元素 有 个，元素 有 个， ，元素 有 个，由此；组成的n个元素的排列，不同的排列总数为,其中,2.7.3 指数型母函数,(b) 若元素 有 个，元素 有 个， ，元素 有 个，由此；组成的n个元素中取r个排列，设其

34、不同的排列数为 。则序列 的指数型母函数为,2.7.3 指数型母函数,与(2)中所用的方法相比，可以看出指数型母函数在解决有重复元素的排列时的优越性。,2.7.4 举例,例1：求由两个 ，1个 ，2个 组成的不同排列总数。,根据结论一，不同的排列总数为,2.7.4 举例,例2：由1，2，3，4四个数字组成的五位数中，要求数1出现次数不超过2次，但不能不出现； 2出现次数不超过1次； 3出现次数可达3次，也可以不出现；4出现次数为偶数。求满足上述条件的数的个数。,2.7.4 举例,设满足上述条件的r位数为 ，序列 的指数型母函数为,2.7.4 举例,由此可见满足条件的5位数共215个。,2.7.

35、4 举例,例3: 求1，3，5，7，9五个数字组成的 位数的个数，要求其中3，7出现的次数为偶数，其他1，5，9出现次数不加限制。设满足条件的 位的个数为 ，则序列对应的指数型母函数为,2.7.4 举例,由于,2.7.4 举例,2.8 母函数和递推关系应用举例,2.8 母函数和递推关系应用举例,例1：下图是一逻辑回路，符号D是一延迟装置，即在时间t输入一个信号给延迟装置D，在t+1时刻D将输出同样的信号，符号 表示加法装置,2.8 母函数和递推关系应用举例,若在 时刻，输入信号 求相同时刻的输出信号 。,显然，,一般的有,2.8 母函数和递推关系应用举例,若信号输入的序列 的母函数为 ，输出的

36、信号序列 的母函数为 ，则,其中,被装置（图 2-8-1）的特性所确定，可以看作是该装置的传递函数，如图2-8-2,2.8 母函数和递推关系应用举例,例2：由红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种不同的组合方案。,设r，w，y分别代表红球，白球，黄球。,2.8 母函数和递推关系应用举例,由此可见，出一个球也不取的情况外，有：,（a）取一个球的组合数为三，即分别取红，白，黄，三种。,（b）取两个球的组合数为四，即两个红的，一红一黄，一红一白，一白一黄。,（c）取三个球的组合数为三，即两红一黄，两红一白，一红一黄一白。,（d）取四个球的组合数为一，即两红一黄一白。,2.8 母函数和递推关系应用举

37、例,令取r的组合数为 ，则序列 的母函数为,共有1+3+4+3+1=12种组合方式。,2.8 母函数和递推关系应用举例,例3：n个完全一样的球放到m个有标志的盒子中，不允许有空盒，问共有多少种不同的方案？其中,由于不允许有空盒，令n个球放到m个有标志的盒子的方案数为 ，序列 对应的母函数为 。则,2.8 母函数和递推关系应用举例,因,故二项式 中 项系数为,2.8 母函数和递推关系应用举例,即,2.8 母函数和递推关系应用举例,例4：某单位有8个男同志，5个女同志，现要组织一个有数目为偶数的男同志和数目不少于2的女同志组成的小组，试求有多少种组成方式。,令 为从8位男同志中抽取出n个的允许组合

38、数。由于要男同志的数目必须是偶数，故 。,2.8 母函数和递推关系应用举例,故数列 对应一母函数,类似的方法可得女同志的允许组合数对应的母函数位,2.8 母函数和递推关系应用举例,2.8 母函数和递推关系应用举例,中 项的系数 为符合要求的 个人组成的小组的数目，总的组成方式数目为,2.8 母函数和递推关系应用举例,例5：10个数字（0到9）和4个四则运算符 组成的14个元素。求由其中的n个元素的排列构成一算术表达式的个数。,因所求的n个元素的排列是算术表达式，故从左向右的最后一个符号必然是数字。而第n-1位有两种可能，一是数字，一是运算符。如若第n-1位是十个数字之一，则前n-1位必然构成一

39、算术表达式。,2.8 母函数和递推关系应用举例,如若不然，即第 位是4个运算符之一，则前 位必然是算术表达式。根据以上分析，令 表 个元素排列成算术表达式的个数。则,指的是从0到99的100个数，以及,2.8 母函数和递推关系应用举例,利用递推关系 ，得特征多项式 。它的根是,解方程,2.8 母函数和递推关系应用举例,得,2.8 母函数和递推关系应用举例,例6：设有n条封闭的曲线，两两相交于两点，任意三条封闭曲线不相交于一点。求这样的n条曲线把平面分割成几个部分？设满足条件的n条封闭曲线所分割成的域的数目为，其中 条封闭曲线所分割成的域的数目为,2.8 母函数和递推关系应用举例,第n条封闭曲线

40、和这些曲线相交于 个点，这 个点把第n条封闭曲线截成条弧，每条弧把 个域中的每个域一分为二。故新增加的域数为,利用递推关系 得,2.8 母函数和递推关系应用举例,设,2.8 母函数和递推关系应用举例,另解：利用欧拉公式点数+域数-边数=2 点数= ，边数= 点数域数=,2.8 母函数和递推关系应用举例,例7：平面上有一点P，它是n个域 的共同交界点，见图 现 取k种颜色对这n个域进行着色， 要求相邻两个域着的颜色不同。 试求着色的方案数。令 表示这n个域的着色 方案数。无非有两种情况：,2.8 母函数和递推关系应用举例,（1） 和 有相同的颜色；（2） 和 所着颜色不同。第一种情形， 域有 种

41、颜色可用，即 域所用颜色除外；而且从到 的着色方案，和 个域的着色方案一一对应。后一种 域有 种颜色可供使用；而且从 到 的每一个着色方案和 个域的着色方案一一对应。,2.8 母函数和递推关系应用举例,利用 得的特征方程为,2.8 母函数和递推关系应用举例,解方程,得,2.8 母函数和递推关系应用举例,例8：求下列行列式（n行n列）,2.8 母函数和递推关系应用举例,利用行列式展开法，沿第一行展开得,利用 式得,特征方程是 解方程，得,2.8 母函数和递推关系应用举例,设,解方程,2.8 母函数和递推关系应用举例,得,2.8 母函数和递推关系应用举例,例9：求n位2进制最后三位出现010图象的

42、数的个数。对于n位2进制数 从左而右进行扫描，一当出现010图象，便从这图象后面一位从头开始扫描，例如对11位2进制数00101001010从左而右的扫描结果应该是2-4，7-9位出现010图象，即,2.8 母函数和递推关系应用举例,而不是4-6，7-9位出现的010图象，即不是为了区别于前者起见，我们说4-6，9-11位是010，但不是“出现010图象”，这作为约定。为了找出关于数列 的第推关系，需对满足条件的数的结构进行分析。由于n位中除了最后三位是010已确定，其余 位可取0或1：,2.8 母函数和递推关系应用举例,故最后3位是010的n位2进制数的个数是 。 其中包含最后3位出现010

43、图象的以及在 位 到第 位出现010图象，而在最后3位并不出 现010图象的两类数，后一种数为,2.8 母函数和递推关系应用举例,故有,利用 推得 特征方程为,2.8 母函数和递推关系应用举例,设,解方程组,2.8 母函数和递推关系应用举例,得,2.8 母函数和递推关系应用举例,例10：求n位的2进制数中最后三位才第一次出现010图象的数的个数。即求对n位2进制数 从左而右扫描，第一次在最后三位出现010图象的数的个数。自然，最后三位除外任取连续三个都不会是010的。设 表满足条件的n位数个数，和前例类似，最后三位是010的n位2进制数共 个，,2.8 母函数和递推关系应用举例,对这 个数分析

44、如下。（a）包含了在最后三位第1次出现010图象的 个数，其个数为 ，排除了在第 到第 位第1次出现010图象的可能。（b）包含了在第 到第 位第1次出现 010图象的数，其个数为,2.8 母函数和递推关系应用举例,（c）包含了在第 位到第 位第1 次出现010图象的数，其个数是,2.8 母函数和递推关系应用举例,（d）包含了在第 位到第 位第1 次出现010图象的数，其个数是 ，因在 第 位（打*号的格）可以取0或1两种状态。,2.8 母函数和递推关系应用举例,一般可以归纳为对 ，从第 位 到第 位第一次出现010图象的数，其数 目为 。从第 位到第 位中间 的 位可以取0，1两种值，故有 种状 态。,