1、3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型,【知识提炼】 三种函数模型的性质,增函数,增函数,增函数,y轴,x轴,越来越快,越来越慢,axxnlogax,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)在区间(0,+)上,当a1,n0时,是否总有logax1,n0,xx0时,logaxx0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.,2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是 ( ) A.y减少1个单位 B.y增加1个单位 C.y减少2个单位 D.y增加2个单位 【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.,3.某超市每月的利润的平均增长
2、率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于 ( ) A.(1.02)12 B.(1.02)11 C.(0.98)12 D.(0.98)11 【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.,4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是 . 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快. 答案:y=3x,5.如图所示曲线反映的是 函数模型的增长趋势.,【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度. 答案:幂函数或
3、对数型,【知识探究】 知识点 几类函数模型的增长差异 观察图形,回答下列问题:,问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势? 问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?,【总结提升】 1.四类不同增长的函数模型 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.,2.几类函数模型的选择 (1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,
4、一次函数的图象为直线. (2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域. (3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.,【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关 (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.,【题型探究】 类型一 几类函数模型的增长
5、差异 【典例】1.(2015怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是 .,2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)= 的图象如图所示,试分别指出 各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分 界点).,【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组? 提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快. 2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么? 提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断
6、各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.,【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化. 答案:y2,2.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1. 由题图知,当0h(x)g(x);
7、当1g(x)h(x); 当ef(x)h(x); 当ah(x)f(x); 当bg(x)f(x); 当cf(x)g(x); 当xd时,f(x)h(x)g(x).,【方法技巧】常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.,(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,x0,a1)表达的函数模型,其增长的特点是
8、开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”. (4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=ax+b(a,b,为常数,a0, 1)表达的函数模型,其增长情况由a和的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.,【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是 ( ) A.v=log2t B.v= t C.v= D.v=2t-2,【解析】选C.取t=1.992,代入A,得v=log22=11.5,代入B,得v=-11.5,代入C,得v= =1.5,代入D,得v=22-21.5. 经计算可知最接近的一个
9、是选项C.,类型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 【典例】(2015赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1), B(x2,y2),且x1x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数. (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011), g(2011)的大小.,【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内? 提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)g(1),f(2)g(10),所以1x12,9x210.,【解析】
10、(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)g(1),f(2)g(10),所以1x2.从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)g(x),所以f(2011)g(2011).又因为g(2011)g(6),所以f(2011)g(2011) g(6)f(6).,【延伸探究】 1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1)呢? 【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.,2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8
11、),g(8),f(2015),g(2015)的大小. 【解析】因为f(1)g(1),f(2)g(10),所以1x2.从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)g(x),所以f(2015)g(2015).又因为g(2015)g(8),所以f(2015)g(2015)g(8)f(8).,【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.,【补偿训练】(2015包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:,(1
12、)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数. (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).,【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx. (2)当0f(x);当x1g(x); 当xx2时,g(x)f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).,【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系. 【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=lgx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1 f(10),根据图象,可知x210.,2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5), f(2015),g(2015)的大小. 【解析】由于f(3)=lg30,g(3)=0.33-1f(10),结合图象可知3g(x),故f(1.5)g(1.5);由于x210时,g(x)f(x),故g(2015)f(2015),又因为f(2015)f(1.5),所以g(2015)f(2015)f(1.5)g(1.5).,
