1、二 次 函 数 复习课,本章知识结构图,实际问题,二次函数,实际问题 的答案,利用二次函数的 图象和性质求解,目标,实际生活,二次函数,图像与性质,概念：,应用,知识结构,知识梳理：,1、二次函数的概念：形如 y= (a、b、c为常数，_ ) 的函数叫做二次函数。,ax2+bx+c,a ,2、二次函数的图象是一条 。,抛物线,二次函数的解析式:,一般式：y=ax2+bx+c（a0)，有3个待定系数a、b、c,顶点式：y=a(x-h)+k （a0)，有3个待定系数a、h、k,交点式（两根式）：ya(xx1)(xx2)，其中x1 ， x2为两交点的横坐标 ，它有3个待定系数a、 x1 、 x2,练
2、习：函数 ，当 m= 时，它是二次函数。,-1,3、二次函数图象的性质:,开口方向; 对称轴; 顶点坐标; 增减性; 最值。,、二次函数图象的性质：,a0 开口向上,a 0 开口向下,x=h,(h , k),y最小=k,y最大=k,y最小=,y最大=,在对称轴左边， x y ；在对称轴右边， x y ,在对称轴左边， x y ；在对称轴右边， x y ,1、抛物线,的对称轴是 ，顶点坐标是,练习,当x= 时，y有最 值，此值是 。,(-1,-1),直线X=-1,-1,大,-1,3、二次函数y=x2-x-6的图象开口向_，顶点坐标是_ 对称轴是_。,上,2、（2015河南）已知点A（4，y1），
3、B（ ，y2），C（2，y3）都在二次函数y=（x2）21的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 _ _。,y2y1y3.,二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_ 对称轴是_。,画二次函数的大致图象: 画对称轴 确定顶点 确定与y轴的交点 确定与x轴的交点 确定与y轴交点关于对称轴对称的点 连线,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_ 对称轴是_。,(0,-6),(-2,0),(3,0),(1,-6),增减性:,当 时,y随x的增大而减小 当 时,y随x的增大而增大,最值:,当 时,y有最 值,是,小,函数值y的正负性:,当 时,
4、y0 当 时,y=0 当 时,y0,x3,x=-2或x=3,-2x3,4. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号： a 0; c 0; b2 - 4ac 0; b 0;,x,y,O,练习,变式1：若抛物线 的图象如图，则a= .,变式2：若抛物线 的图象如图，则ABC的面积是 。,小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;,5、（2015福建泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）,练习,C,A,B,C,D,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x h )2,
5、y = a( x h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线 y = a (xh)2 k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.,练习：将 向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是,4、抛物线 y = a (xh)2 k 图象的移动 ：,用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解,一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线
6、与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后组成三元一次方程组来求解。,5、求二次函数解析式：,练习：1、求经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点的抛物线的解析式。,练习:2、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标 (2)求出这条抛物线的函数关系式,解:(1)点M的坐标是(12,0),点P的坐标是(6,6),(2)设此抛物线解析式为y=a
7、(x-6)2+6,又因为它经过(0,0),则0=a(0-6)2+6,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：,有两个交点,有两个不相等的实数根,只有一个交点,有两个相等的实数根,没有交点,没有实数根,b2 4ac 0,b2 4ac = 0,b2 4ac 0,6、二次函数图象与一元二次方程的根的关系：,练习1(2010济南)在平面直角坐标系中，抛物线yx21与x轴的交点的个数是( ) A3 B2 C1 D0,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c= 0的根,B,2(2010金华)若二次函数yx22xk的部
8、分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x22xk0的一个解x13，另一个解x2_ .,-1,在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值，请举例说明如何分析、解决这样的问题,某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子那么果园共有多少棵橙子树？,y = ( 600 5x ) (100 x ),= 5x2100x60000,当x=10时，,y最大60
9、500,我们得到表示增种橙子数的数量x（棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式,试着自己分析，得出结论,7、二次函数的应用：,求k的值,所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物,线,求铅球的落点与丁丁的距离,一个1.5m的小朋友跑到 离原点6米的地方(如图)， 他会受到伤害吗？,练习,求k的值,参考答案,1.5,所以，这个小朋友不会受到伤害。,B,综合练习：,1.抛物线y=x2向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位可得到抛物线 。,2. （2014年海南中考题）将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A向左平移2个单位 B向右平移2个单位 C向
10、上平移2个单位 D向下平移2个单位,A,练习：,3.将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为（ ）,8,4.( 2014年河南)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A、B两点若点A的坐标为（2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2则线段AB的长为 .,C,解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，AB=8.,练习：,5. （2015山东莱芜）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限,D,6.(2010天津)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：b24ac0；abc0
11、；8ac0；9a3bc0.其中，正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4,由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则b24ac0，故正确；与y轴交于负半轴，则c0.对称轴x1，b2a0，故正确；当x2时，y0，此时y4a2bc4a2(2a)c8ac0，故正确；x1是抛物线的对称轴，由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间，则当x3时，y0，即y9a3bc0，正确，即正确结论有4个故选D.,D,B,7.(2010兰州)二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是( ) A(1,8) B(1,8) C(1,2) D(1，4),【解答】(1)y3x26x53(x22x)53(x22x1)353(x
12、1)28，顶点坐标是(1,8)，故选A. （也可用公式求顶点坐标）,A,9.（2015湖南省益阳市）若抛物线y=（xm）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ） A m1 Bm0 C m1 D 1m0,8.（2015四川乐山）二次函数 的最大值为（ ）,A3 B4 C5 D6,C,10. 根据图1中的抛物线， 当x 时，y随x的增大而增大， 当x 时，y随x的增大而减小， 当x 时，y有最大值。,2,2,2,11. (2010河北)如图，已知抛物线yx2bxc的对称轴为x2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为( ) A(2,3) B
13、(3,2) C(3,3) D(4,3),D,练习：,12.二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求此函数解析式。,-6,3,2,-2,（1）方法一 （一般式）,方法二 （顶点式）,方法三 （交点式）,（2）知识拓展,一般式： 解：依题意把点（2，0）（-6，0）（0，3） 可得：4a+2b+c=0c=336a-6b+c=0解得： a=b= -1c=3 所以二次函数的解析式为：,顶点式： 解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0）（0，3）代入可得：16a+k=04a+k=3 解得 a=k=4 所以二次函数的解析式为：,交点式：解：
14、因为抛物线与x轴相交的两个点的坐标为（2，0）（-6，0），可设该函数的解析式为：y=a(x+6)(x-2),把点（0，3）代入得：3= -12a解得：a=所以二次函数的解析式为：,13.（2014海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点 （1）求此抛物线的解析式；,解：（1）对称轴为直线x=2， 设抛物线解析式为y=a（x2）2+k 将A（1，0），C（0，5）代入得： 解得， y=（x2）2+9=x2+4x+5,14.（2009海南）如图12，已知抛物线经过
15、坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图13所示）. 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由,14.（2009海南）如图12，已知抛
16、物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线所对应的函数关系式；,解：（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4)， 故可设其关系式为,又抛物线经过O(0,0)，于是得,解得 a=-1, 所求函数关系式为,，即,.,15. (2015贵州六盘水)如图5，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ） A60m2 B63m2 C. 64m2 D66m2,C,解：设BC=xm，则AB=（16x）m，矩形ABCD面积为ym2，根据题意得：y=（16x）x
17、=x2+16x=（x8）2+64， 当x=8m时，y最大=64m2， 则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2,练习：,16.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成，矩形的长BC为8米，宽AB为2米，以BC所在的直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点的距离为6米。 （1）求抛物线的解析式； （2）现有一货车卡高4.2米，宽 2.4米，这辆车能否通过该隧道？ 请说明理由。 （3）若该隧道内设双行道， 该辆车还能通过隧道吗？请说明理由。,GO,GO,（2）现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。,解： 把x=
18、1.2代入 中，解得y=5.64。 4.25.64 这辆车能通过该隧道,(3)若该隧道内设双行道，现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。,解： 把x=2.4代入 中，解得y =4.56。 4.24.56 这辆车能通过该隧道,课堂小结：,1、二次函数的概念：二次函数的概念：函数y= (a、b、c为常数，其中 )叫做二次函数。 2、二次函数的图象：二次函数的图象是一条抛物线。 3、二次函数的性质：包括抛物线的三要素，最值，增减性。 4、二次函数的实践应用（数形结合）具体体现在解决一些实际应用题中。,ax2+bx+c,a ,练习： 课本P56-57复习题22 新课程课堂同步练习册 P35-36第二十二章练习题,
