1、 函数的周期性 第 1 页函数周期性一定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒成立)(xfTf则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。二重要结论1、 ，则 是以 为周期的周期函数；fayfxTa2、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。3、 若函数 ，则 是以 为周期的周期函数x24、 y=f(x)满足 f(x+a)= (a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。f15、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= (a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。xf6、
2、，则 是以 为周期的周期函数.()()1fxfxa2Ta7、 ，则 是以 为周期的周期函数 .()ff48、 若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b(ba)都对称,则 f(x)为周期函数且 2（b-a ）是它的一个周期。9、函数 的图象关于两点 、 都对称，则函数 是以yfxR0Aay0,Bba()fx为周期的周期函数；2ba10、函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以()f0,xf为周期的周期函数；411、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 2 是它的一个周期。a12、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x
3、)为周期函数且 4 是它的一个周期。13、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则 f(x)为周期函数 ,6a 是它的一个周期。14、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(xR ，T0), 则 f( )=0.2T一、选择题1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 则,f(6)的值为 ( )A1 B0 C1 D22已知函数 是一个以 4 为最小正周期的奇函数，则 （ ）)(xfy )fA0 B4 C4 D不能确定3.（2009 江西）已知函数 f是 (,)上的偶函数，若对于 0x，都有 ()fxf） ，且当 ,2)时
4、， 2)logx） ，则 (208)(9)ff的值为 （ ）A B 1 C 1 D 24. 函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 等于 ( )x(f )x(f(f5)(fA. B. C. D. 55515. 是定义在 上的函数， 且 ，则 （ ）()fR(10)()fxf(20)(20)ffx()f是A. 周期为 20 的奇函数 B. 周期为 20 的偶函数C. 周期为 40 的奇函数 D. 周期为 40 的偶函数函数的周期性 第 2 页6. 偶函数 是以 为周期的函数，且当 时， ，则 的值为( )()fx20,1x()21xf2(log0f.A35.B85.C38.D537.已知偶函数
5、 满足 ，且当 时， ，)(fy)(f)1(f0,94)(fx则 的值等于 ( )log(f31A. B. C. D. 502945118设 f（x）是定义在 R 上以 6 为周期的函数，f（x ）在(0,3)内单调递减，且 y=f（x）的图象关于直线x=3 对称，则下面正确的结论是 （ ）A B1.53f356.ffC D61f 1f9（07 安徽）定义在 R 上函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期.若将方程)(xf T0)(xf在闭区间 上的根的个数记为 ，则 可能为 （ ）T,nA.0 B.1 C.3 D.5 10. 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 在区间(0
6、,6)内解的个数的最小值（ ）)(f 0)2(fA6 B 7 C4 D511.已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于 成中心对称，且满足 f (x) = ,)0,3( 1)(,23(fff (0) = 2，则 f (1) + f (2) + f (2010)的值为 （ ）A2 B1 C0 D1【答案】 B A C D C A D B D D C二、填空题1、函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 。fxx12fxf5,ff2. 上的函数 是以 2 为周期的奇函数，则方程 在 上至少有_个实数根. R() ()023. () 5,()1(208)fxxfxfffR为 上 的 奇 函 数
7、， 对 任 意 ， 都 有 若 ，4. 设函数 定义在 R 上的奇函数，且 图像关于直线 对称，()yf()yx则 . )5(f432)1(f5.设函数 为 R 上的奇函数，且 ，若 ， ，x 03xf1)(f2log)(fa则 的取值范围是 . a6. 定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是增函数，),()(f)(f)1(f0,下面是关于 的判断：f 是周期函数； 的图象关于直线 对称；)xf x1x 在 上是增函数； (1,0 ).0(f2其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上） 。7设函数 是定义在 上的奇函数，对于任意的 ，都有 ，)fRR()()fxf当 时， ，则 。x()2
8、fx(1.5)f函数的周期性 第 3 页【答案】1. ；2. 5； 3. -1； 4. 0； 5. ； 6.； 7.-1.1- 1,2a三、解答题1.函数 定义在 R 上，且满足 ， ，求 的值。( )fx()fxfxf()()12f01)f32. 已知函数 的图象关于点 对称，且满足 ，又 ，()fx3,043()2fxf(1)f，(0)2f求 的值。 （0）1()3f26)f3. 设函数 在 上满足 ， ，且在闭区间)x(f),)x2(f)(f)x7(f)(f上只有 7,0 .03(f1 试判断函数 的奇偶性； (非奇非偶函数 )y 试求方程 在闭区间 上的根的个数，并证明你的结论. (8
9、02 个根)(f 5,4. 设 是定义在区间 上且以 2 为周期的函数，对 ，用 表示区间)(xf ),(ZkkI),12,(k已知当 时， 求 在 上的解析式. （ ）0I.2xf(fkI 2()fx5设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间 上，)(xf),()(xf3,2求 时， 的解析式. （ ）.4322,1x)(xf 2(1)4().x*4 设 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 对称 对任意 ，都有 ()fx 1x12,0,x，且 1212()ffx(1)0fa函数的周期性 第 4 页()求 ； ()证明 是周期函数； *（）记 ，求 1(),24f ()fxna1(2)fna（ 答 ：(1) ； （2）周期为 2； （3） 。）1124=,()af1
