1、0/21对数与对数函数专题复习【知识点梳理】一、对数的概念1、对数的定义：如果 (01)xaNa且 ，那么数 x叫做以 a为底， N的对数，记作 ，其中 a叫做对数Nxalog的底数， 叫做真数2、几种常见对数：对数形式 特点 记法一般对数 底数为 a（ 0,1且 ） Nalog常用对数 底数为 10自然对数 底数为 e ln3、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（ 0,1a且 ）：log a1=0， log a a=1， =N， loga Nalog（2）对数的重要公式：换底公式： （ 均为大于 0 且不等于 1， ） ；bNablogl, 0 ，推广： bal1log dcablogl（
2、3）对数的运算法则：如果 0,且 ， 0,MN那么 ；a(log)alogal ；N ；nalal)(RnMmaalog1log bmalogl二、对数函数1、对数函数的定义：一般地，我们把函数 （ 0 且 1）叫做对数函数，其中 是自变量，logayxax函数的定义域是（0，+） 1/212、对数函数 y=logax(a0 且 a1)的图象与性质： 101a图象定义域：（0,+ ） 值域：R过定点：（1，0） ，即当 x=1 时，y=0当 x时， (,0)；当 时， y当 1x时， (,0)y；当 0时， 性质在（0,+ ）上为增函数 在（0,+ ）上为减函数3、反函数（1）反函数：一般地，
3、对于函数 ，设它的定义域为 ，值域为 如果对 中任意一个值 ，xfyDAy在 中总是唯一确定的 值与它对应，且满足 ，这样得到的 关于 的函数叫做Dxfyxy的反函数，记作 xfyxfy1（2）反函数的求法：反解 ； 与 对调；求定义域（3）反函数的性质： 原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；若函数 ()yfx的图象经过点 (,)ab，则其反函数的图象经过点 (,)ba；互为反函数的两个函数的图象关于直线 yx 对称；(对称性 ) 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致 （单调性） （4）同底的指数函数和对数函数互为反函数【典型例题】题型一、对数运算 例题 1：计算
4、下列各式的值：（1） 245lg8l3492lg； （2） 22)(lg0l58lg35l 2/21【解析】 （1）方法一：原式= 212325 )57lg(l4)7lg(21= lll= 5lg21l= )l(方法二：原式= 57lg47lg= 457l= 21)5lg(（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3【点评】这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法
5、是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值 （计算对数的值时常用到 lg2 + lg5 = lg10 = 1）变式 1： 计算： 23lg580lg16.60.12【解析】分子= ，223ll=l5(+l)3lgl53g2(l)3 分母= ；1616lg60l.6lg0.1l +l4010所以，原式= 34题型二、对数函数的性质 例题 2：求函数 )16(log)xxy的定义域【解析】由 1046x，得 02x 所求函数定义域为 x| 1x 0 或 0x2【点评】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于 1例题
6、3：判断函数 f（x ）=ln( 2xx)的奇偶性【解析】 12x 恒成立，故（x）的定义域为（ ，+ ） ，又f (x)=ln( 2+x)=ln x1=ln 2)1(x=ln( 21xx)=f (x)，3/21f (x)为奇函数【点评】在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断 f（x ）和 f（x）之间的关系f（x）为奇函数 f（x ）= f（x） f（x）+f （x） =0 )(f=1f（x）0 ；f（x）为偶函数 f（x ）= f（x） f（x）f （x）=0 f=1f（x）0 在解决具体问题时，可以
7、根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断例题 4：比较下列各组数的大小：（1）log 0.7 1.3 和 log0.71.8； （2）log 35 和 log64； （3）(lgn) 1.7 和(lgn) 2 (n1) 【解析】 （1）对数函数 y = log0.7x 在(0, +)内是减函数因为 1.31.8，所以 log0.71.3log 0.71.8（2）log 35 和 log64 的底数和真数都不相同，需找出中间量 “搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解因为 log35log 33 = 1 = log66log 64，所以 log35log 64（3）把 lgn 看作指数函数的
8、底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数 lgn 讨论若 1lgn0，即 1n10 时， y = (lgn)x 在 R 上是减函数，所以(lgn) 1.7(lgn) 2；若 lgn1，即 n10 时，y = (lgn)x 在 R 上是增函数，所以(lgn) 1.7(lgn) 2若 lgn = 1，即 n = 10 时，(lgn) 1.7 = (lgn)2【点评】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即 a1 时是增函数，0a1 时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为
9、可比较的形式，必要时还可以“搭桥”找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练变式 2：（2010 重庆四月模拟）函数 的定义域是（ ）1lg(2)yxxA、 B、 C、 D、1， 14， ， ，【解析】由题意得： ，解得： ，选 A02lgx12x变式 3：设 alog 0.70.8，b log1.10.9，c1.1 0.9，则 a、b 、c 的大小顺序是（ ）A、a1.101，所以选 C4/21变式 4：求函数 y = log4 (7 + 6 x x2)的单调区间和值域【
10、分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域【解析】由 7 + 6 x x20，得(x 7) ( x + 1)0，解得1x7函数的定义域为x|1x7 设 g (x) = 7 + 6x x2 = (x 3)2 + 16. 可知，x3 时 g (x)为增函数，x3 时，g ( x)为减函数.因此，若1x 1x 23. 则 g (x1)g (x 2)，即 7 + 6x1 x127 + 6x 2 x22，而 y = log4x 为增函数，log 4 (7 + 6 x1 x12)log 4 (7 + 6x2 x22)，即 y1y 2 故函数 y =
11、 log4 (7 + 6x x2)的单调增区间为(1, 3) ，同理可知函数 y = log4 (7 + 6x x2)的单调减区间为(3, 7) 又 g (x) = (x 3)2 + 16 在(1, 7)上的值域为(0, 16 所以函数 y = log4(7 + 6x x2)的值域为 (, 2 【点评】函数的单调区间必须使函数有意义，因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一例题 5：根据对数函数图象判断底数 的大小关系：,abcd【解析】 log1a直线 与各函数图象交点的横坐标为底数值，y故 cdb
12、【点评】利用 ，可以有效的解决对数函数底数大小的比较问题；由上述结果可知，对数函数底数log1a越小，图象在第一象限越靠近 y 轴题型三、反函数例题 6 ：（2009 广东）若函数 ()fx是函数 1xya（ 0， 且 ） 的反函数，且 (2)1f，则()fx（ ）A、 2log B、 x21C、 x21log D、2 x 【解析】函数 xyaa（ 0， 且 ） 的反函数是 ()logaf，又 (2)1f，即 log21a，所以 2，故 2()logfx，选 A【点评】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数c d a b1logbxlogaxlogdxlogcx1o xy5/21题型四、对数方
13、程与不等式例题 7： 的解为 22log(1)log(1)xx【解析】原方程变形为 ，2)1(log)(l22x即 ，得 ，412x5x ， 01x5【点评】考察对数运算，注意验根，使对数式有意义变式 5：解关于 x 的不等式： )1,0(,2log)12(log)34(log2 axxaaa【解析】原不等式可化为 ，当 a1 时，有 ；21342)12(34012 xxxx当 01 时不等式的解集为 ；当 023若定义在（1，0）内的函数 ，则 a 的取值范围是 （ ）0)1log)2xfaA、 B、 C、 D、)2,(21,0(,(),(4若函数 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是
14、（ ） xaylog1A、 B、 C、 D、 ),0(),(),21(),1(5已知 ，则 的大小关系是（ ）0.1.32l.3,bcbcA、 B、 C、 D、acaabca6若 ，则（ ）1 3()ln2llnxexx， ， ， ，A、a1，则 a 的取值范围是（ ） ,2A、 或 B、 或10122aC、 D 、 或02 （2010 山东）函数 2log31xf的值域为（ ）A、 0, B、 0, C、 , D、 1,3已知 且 ，下列四组函数中表示相等函数的是（ ）a1A、 B、 1)(loglayxyxa与 xyax与logC、 D、 22与 alog2l与4 （2011 高州三中高三
15、上期末）已知 是 ),(上的减函数，那么 a的取)1(,log,4)2()xxfa值范围是（ ）A、 )1,0( B、 1(0,)2C、 1,)62 D、 ,)613/215函数 的单调递增区间是（ ）1log2l21xxyA、 B、 C、 D、, , ,4141,6已知定义在 R 上的偶函数在 上是增函数，且 ，则满足 的 的取值范围,003f 0log81xf是（ ）A、 B、 C、 D、,0,21,02,18,02,07 （2012 重庆）设函数 ()43,(),xfxg集合 |(),MxRfgx |()2,NxRg则 MN为 （ ）A、 1,B、(0,1) C、(-1,1) D、 (,
16、1)8 （2012 江苏）函数 xxf6log1)(的定义域为 9 （2008 山东）已知 ，则 的值等于 23438(2)4()(2)fff10已知 f（log ax）= )1(2，其中 a0，且 a1（1）求 ；)f（2）求证： 是奇函数；(x（3）求证： 在 R 上为增函数)f11已知函数 ()lg),10xfab（1）求 的定义域；（2）在函数 的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于 轴；()f x（3）当 满足什么条件时, 在 上恒取正值abfx1,14/2112现有两个函数 )3(log)(1axf与 axf1log(2，其中 1,0a（1）求函数 F2f的表达式与定义
17、域；（2）给出如下定义：“对于在区间 nm,上有意义的两个函数 )(f与 xg，如果对任意 nmx,，有 )(xgf，则称 )(xf与 g在区间 ,上是接近的，否则称 f与 )(在区间 上是非接近的.” 若 10a，试讨论 1与 )(2xf在给定区间 3,2a上是否是接近的【参考答案】1、巩固练习答案1、选 B由 1012xx2、A3、选 D依题意，a0 且 a1，对于 A，D 图，由对数及指数函数图像知， a1，此时直线 y=x+a 在 y 轴上的截距大于 1，因此 A 错，D 对，选择 D4、选 A 2log2l5log10,10,mmab又 ,10.m5、 2,)注意定义域6、 【解析】
18、 （1） 9l4ll22lgl2lg3l2lg13lg0.4771+0.5 0.1505= 0.8266（2） 43loaxy111342lolloaaaxy .1234log12l34 mnyxaa15/21（3）由已知得： 532532lgllgllgcbabax， 532cbax.7、 【解析】函数的定义域为x|x0，x R 函数解析式可化为 y = )0()log2x，其图象如图所示（其特征是关于 y 轴对称） 8、 【解析】 （1）对数函数 y=log2x 在（0，+）上是增函数，且 3.43.8，于是 log23.4log 23.8（2）对数函数 y=log0.5x 在（0，+）上
19、是减函数，且 1.82.1，于是 log0.51.8log 0.52.1（3）当 a1 时，对数函数 y=logax 在（0，+）上是增函数，于是 loga5.1log a5.9；当 0a1 时，对数函数 y=logax 在（0，+）上是减函数，于是 loga5.1log a5.9（4）因为函数 y=log7x 和函数 y=log6x 都是定义域上的增函数，所以 log75log 77=1=log66log 67，所以 log75log 679、 【解析】 （1）易知 D 为线段 AB 的中点，因 A(a, log2a )，B(a+4, log2(a+4)，所以由中点公式得 D(a+2, lo
20、g2 )4() （2）S ABC =S 梯形 AACC+S 梯形 CCBB- S 梯形 AABB= log2 )4(2a，其中 A,B,C为 A,B,C 在 x 轴上的射影，由 SABC = log221，得 01,2 当 01，即 1 1220、 【解析】18/21由 可得 212a或2、选 A3、选 C定义域均为 ， Rxalog24、选 C5、选 A6、选 B7、选 D由 ()0fgx得 2()430xg则 ()1gx或 ()3即 21x或 3x，所以 1或 3lo5;由 2得 即 4所以 log4故 (,1)MN 8、 0 6，由 1266000 612loglog6=xxx9、200
21、8 22(3)4l34l3,x xf2()4log3,f82()ff=1864+144=200810、 【解析】利用换元法，可令 t=logax，求出 f（x） ，从而求出 f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义（1）解：设 t=logax，则 tR， x=at（x0） ，则 f（t）= )1(2at= 2（a ta t ） （2）证明：f （x ）= 12（a x a x）= 12（a xa x ）=f（x） ，f（x）为奇函数（3）证明：设 x1、x 2R，且 x1x 2，则 f（x 2）f（x 1）= a（a a x）（a 1xa 1） = 2（a 2xa 1）+ a 1a 2（a 2a
22、 1x） = 1（a 2a 1） （1+ a 1xa 2） 若 0a1，则 a210，a xa 2，f（x 2）f（x 1）. y=f（x ）在 R 上为增函数；若 a1，则 a210，a 1a ，f（x 2）f（x 1）.y =f（x ）在 R 上为增函数综上，a0，且 a1 时，y =f（x）是增函数19/2111、 【解析】 （1）由 得 ，由于 所以 ，即 的定义域为0xab01xab1ab0xfx0,（2）任取 ,且 12,(0)x12x1 212()lg),(lg)xxfafab2 21()(x xabab在 上为增函数, 在 上为减函数,yRyR即12210xx12()()0xx
23、a12()()xxab又 在 上为增函数, 在 上为增函数.lgy()12fff,所以任取 则必有 ，故函数 的图象 L 不存在不同的两点使过两点的直线平行于12x12yx轴x（3）因为 是增函数，所以当 时， ，f 1,1ff这样只需 ， 即当 时， 在 上恒取正值1lg0ababx,12、 【解析】 （1） )(1xfF2f)3(logxalog)(3laxa.由 03ax得 ax3，又 1,0a， )(F的定义域为 x|. （2） )(1f与 2f在给定区间 3,2上是接近的 1)(21ff，即 1)3logxa， )(logaxa， a(l， 10， ax)， 因此 xa1)2(2对于任意 3,2恒成立令 )ah， ,x，开口向上且对称轴 在区间 a的左边. maxin)(1h)3(12h691401952a， 20/21又 10a， 125790a，故当 时， )(xf与 f在给定区间 3,2a上是接近的；当 12579a时， )(f与 2f在给定区间 ,上是非接近的
