1、第二章 2.2 2.2.1 一、选择题1设 e1、e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )Ae 1e 2和 e1e 2 B3e 12e 2和 4e26e 1Ce 1 2e2和 e22e 1 De 2和 e1e 2答案 B解析 4e 26e 12(3 e12e 2)，3e 12e 2与 4e26e 1共线，不能作为基底2已知 cmanb，要使 a、b、c 的终点在一条直线上(设 a、b、c 有公共起点)，m、n(m 、nR )需满足的条件是( )Amn1 Bmn0Cmn1 Dm n1答案 D解析 a、b、c 的终点要在同一直线上，则 ca 与 ba 共线，即 c
2、a(ba)，cmanb，manba ba，(m1 )a(n)b，a、b 不共线，Error!，消去 ，mn1.3下面给出了三个命题：非零向量 a 与 b 共线，则 a 与 b 所在的直线平行；向量 a 与 b 共线的条件是当且仅当存在实数 1、 2，使得 1a 2b；平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示其中正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3答案 B解析 命题两共线向量 a 与 b 所在的直线有可能重合；命题 平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示故都不正确4给出下列结论：若 ab，则|ab|0；对任意向量 a、b，| ab|0；若非零向量 a、b 共线且反向
3、，则| ab|a|.其中正确的有( )个( )A1 B2C3 D4答案 B解析 中有一个为零向量时不成立；中 a，b 若是相反向量则不成立； 、正确，故选 B.5已知向量 e1、e 2不共线，实数 x、y 满足(xy)e 1(2xy)e 26e 13e 2，则 xy 的值等于( )A3 B3C6 D6答案 C解析 e 1、e 2不共线，由平面向量基本定理可得Error!，解得Error!.6设一直线上三点 A，B，P 满足 (1)，O 为平面内任意一点，则 用 、AP PB OP OA 表示为 ( )OB A B (1)OP OA OB OP OA OB C D OP OA OB 1 OP 1
4、OA 11 OB 答案 C解析 ( ) ，OP OA PB OA OB OP OA OB OP (1) ， .OP OA OB OP OA OB 1 二、填空题7在ABCD 中， a， b， 3 ，M 为 BC 的中点，则 _(用AB AD AN NC MN a、b 表示) 答案 a b14 14解析 3 ，4 3 3(ab) ， a b，AN NC AN AC AM 12 (ab) a b.MN 34 (a 12b) 14 148已知向量 a 与 b 不共线，实数 x、y 满足等式 3xa(10y)b(4y 7)a2xb，则x_， y_.答案 4711 1611解析 a、b 不共线，Erro
5、r!，解得Error!.三、解答题9如图，已知ABC 中，M、N 、P 顺次是 AB 的四等分点， e 1， e 2，试用CB CA e1、e 2表示 、 、 .CM CN CP 解析 利用中点的向量表达式得： e1 e2； e1 e2；CN 12 12 CM 14 34 e1 e2.CP 34 14一、选择题1如图，在ABC 中， ， 3 ，若 a ， b，则 ( )BD 12DC AE ED AB AC BE A a b B a b13 13 12 14C a b D a b12 14 13 13答案 B解析 ( ) ( ) ( ) ( a b)AE 34AD 34AB BD 34AB 1
6、3BC 34AB 13AC 13AB 3423 13 a b. a b.12 14 BE AE AB 12 142已知 P 为ABC 所在平面内一点，当 成立时，点 P 位于( )PA PB PC AABC 的 AB 边上 BABC 的 BC 边上CABC 的内部 DABC 的外部答案 D解析 由 ，得 ，PA PB PC PA PC PB BC 所以 PABC，所以 P 在ABC 的外部3已知在ABC 所在平面上有一点 P，满足 ，则PBC 与ABCPA PB PC AB 的面积之比是( )A B13 12C D23 34答案 C解析 由 ，得 0，即 0，PA PB PC AB PA PB
7、 PC AB PA PB BA PC 0，即 2 ，所以点 P 是 CA 边上靠近点 A 的三等分点，故 PA PA PC PA CP SPBCSABC.234O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的( )(AB |AB |AC |AC |)A外心 B内心C重心 D垂心答案 B解析 因 与 都为单位向量且 0，)，所以 平分 与 的AB |AB |AC |AC | (AB |AB |AC |AC |) AB AC 夹角，即 平分 A ，P 点轨迹通过ABC 的内心AP 二、填空题5设平面内有四边形 ABCD
8、和点 O， a、 b、 c、 d，若OA OB OC OD acbd，则四边形 ABCD 的形状是_答案 平行四边形解析 如图所示，ac bd， abdc ，即 ，故BA CD AB CD，且 ABCD ，即 ABCD 为平行四边形6如图，在ABC 中，AB 2，BC 3，ABC60，AHBC 于点 H，M 为 AH 的中点若 ，则AM AB BC _.答案 23解析 因为 AB2，BC3，ABC60 ，AHBC，所以 BH1，BH BC.13因为点 M 为 AH 的中点，所以 ( ) ( )AM 12AH 12AB BH 12AB 13BC ，即 ， ，12AB 16BC 12 16所以 .
9、23三、解答题7如图，在AOB 中， a、 b，设 2 ， 3 ，而 OM 与 BN 相OA OB AM MB ON NA 交于点 P，试用 a、b 表示向量 .OP 解析 OM OA AM OA 23AB ( )OA 23OB OA a (ba) a b.23 13 23 与 共线，令 t ，OP OM OP OM 则 t .OP (13a 23b)又设 (1 m) m a(1m )mbOP ON OB 34Error!，Error!. a b.OP 310 358在OACB 中，BD BC，OD 与 BA 相交于点 E，求证：BE BA.13 14分析 利用向量证明平面几何问题的关键是选好
10、一组与所求证的结论密切相关的基底解析 如图，设 E是线段 BA 上的一点，且 BE BA，只要证点 E、E重合即14可，设 a， b，则 a， b a.OA OB BD 13 OD 13 b b (ab)OE OB BE 14BA 14 (a3b) (b a) ，14 34 13 34OD O、E、D 三点共线，E、E重合BE BA.149如图，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN2NC，AM 与BN 相交于点 P，求 APPM 的值解析 设 e 1， e 2，BM CN 则 3e 2e 1， 2e 1e 2AM AC CM BN A、P、M 和 B、P、N 分别共线，存在实数 、 使 e 13 e2，AP AM 2e 1e 2，BP BN 故 (2) e1(3) e2.BA BP AP 而 2e 13e 2BA BC CA 由基本定理，得Error!，解得Error!.故 ，即 APPM41.AP 45AM
