1、第 9 章 多元函数的积分学第一节 重积分的概念与性质一、重积分的概念引例 1 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是 面上的有界闭区域 ，它的侧面是以 的边界为准线而母线xOyD平行于 轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面 ， ，且z ),(yxfzD,为 上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积0),(yxfD。V（1）分割区域 ：任取一组曲线网将区域 分割成 个小闭区域：Dn， ， ， ，12i（2）近似代替：在 中任取一点 ，用 表示 的面积，则以 为底，iD),(iii iD以 为高的平顶柱体的体积为： ，于是有),(if iifiiiV),(),21(n（3）作和：。ni
2、 iinif11),(（4）取极限：记 ，当 趋于零时，max1inidni iifV10),(lm引例 2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有 面上的有界闭区域 ，它在点 处的面密度为OyD),(yx,且在 上连续，现在要计算该薄片的质量 。0),(yxDM首先作分割，将薄片任意分成 个小块，在 上任取一点 ，用 表示ni),(ii的面积，就可得到每个小块薄片质量 的近似值： ii ii),21(n再通过求和即得平面薄片质量的近似值： ，ni iini11),记 ，则 。max1inidni iiM10),(l1.二重积分的定义定义 1 设 是有界闭区域 上的有界函数，将闭区域 任意分割成 个
3、小闭区域),(yxfDDn， ， ， ，12in并用 表示第 个小闭区域 的面积。在每个小区域 上任取一点 ，iii i iiD),(作乘积（近似代替） ，并作和 ，记iif),(),21(nni iif1),(，如果当 趋于零时和式的极限 存在，则称此极)(max1iniDdni iif10),(lm限为函数 在有界闭区域 上的二重积分，记为,yf，其中 称为被积函数， 称为被积ni iiDfdxf10),(l),( ),(yxf dyxf),(表达式， 称为面积元素， 及 称为积分变量， 称为积分区域， 称为二重积分xyD号。定理 1 （可积的充分条件）若函数 在有界闭区域 上连续，则函数
4、 在),(xf ),(yxf上必可积。D定理 2（可积的必要条件）若函数 在有界闭区域 上可积，则函数 在),(yfD),(f上必有界。曲顶柱体体积 ；非均匀平面薄片质量 。dyxfVD),( dyxMD),(若 ，则由引例 1 知 表示曲顶柱体的体积；若 ，曲0),(yxf fD),( 0f顶柱面位于 面的下方，故二重积分为负值，其绝对值恰为曲顶柱体的体积，即O为曲顶柱体体积的负值；若 在区域 上正负相间，则dyxfD),( ),(yxf为位于 面上方的曲顶柱体体积与位于 面下方的曲顶柱体体积的代xyO数和。这一几何意义与一元函数定积分的几何意义完全类似。2.三重积分的定义定义 2 设三元函
5、数 是空间有界闭区域 上的有界函数，将 任意分割成),(zyxf 个小闭区域 ， ， ，并用 表示第 个小区域 的体积。现任取n12niVii一点 ，作乘积（近似代替） ，并作和iii),( iiif),(),21(n，记 ，如果当 趋于零时和式的极限ni iiiVf1),()(max1inid存在，则称此极限为函数 在有界闭区域 上的三重积分，ni iiif10),(lm ),(zyxf D记为 ，即 ，其中 称dVzyxf),( ni iiiVfdVzyxf10),(l),( ),(zyxf为被积函数， 称为被积表达式， 称为体积元素， ， 及 称为积分变f, x量， 称为积分区域， 称为
6、三重积分号， 称为积分区域。D与二重积分相类似，若函数 在有界区域 上连续，则 在 上的三),(zyxf),(zyxf重积分必存在，即 在 上可积。),(zyxf如果 于 上，表示物体在 点的体密度， 是该物体所占有的空0),(f ),(zyx间闭区域，则 在 上的三重积分就为该物体的质量 ，即zyx M。dVfM),(二、 重积分的性质性质 1 如果函数 ， 都在 上可积，则对任意常数 ， ，函数),(yxf),(gD在 上也可积，且有,),(gyxfD。 DDdyxgdyxfdyxf ),(),(),()(这一性质称为重积分的线性性质。性质 2 如果函数 在 上可积，用曲线将 分成两个闭区
7、域 ， ，则),(f 12D在 和 上仍可积，且有： 。这),(yxf1D2 21 ),(),(),(DDD dyxfdyxfdyxf一性质称为重积分的区域可加性。性质 3 如果函数 在 上可积，并且在 上 ，则 。),(yxf 0),(f 0),(f性质 4 如果函数 ， 都在 上可积，且在 上有： 成),(f),(g ),(),(yxgf立，则 。DDdyxdyxf ),(性质 5 如果函数 在区域 上可积，则 在 上也可积，且有：),(fD),(yxfD。DDdyxfdyxf ),(),(性质 6 如果 ，则有： 。其中 表示 的面积。1,f )(D)(D性质 7 如果函数 在 上连续，
8、则在 上至少存在一点 ，使),(yxf ),(。此性质称为二重积分中值定理，称)(,),(fdyxfD为函数 在区域 上的函数平均值。)(),(f),(yxfD性质 8 如果函数 在区域 上连续可积， ， 为 在区域 上的最小,f mM),(yxfD值和最大值，则有 。),()(dyxfDm上述性质对三重积分仍然成立。例 1 估计二重积分 的值，其中 为圆形区域 。DyxecosinD42yx解 对任意 均有 ，故 ，而 ，yx),( 1si1eecosin)(D由性质 8 得 。edeDyx44cosin第二节 二重积分的计算法一、直角坐标系下二重积分的计算法二重积分可表示成 DDdxyfd
9、yxf),(),(设积分区域 可用不等式组 ，21ba不妨设函数 ，则 应表示以 为底、以 为顶的曲顶0),(yxfDxyf),( ),(yxfz柱体的体积，如图所示：，从而曲顶柱体可视为平行截面为已知的空间体，由定积分可求得)(21,xdfA其体积为： 。从而得积分等式： 。ba)( dxyfdxyfbaxD )(21,),(若 为 型区域： ，则Dx ,)(,21yx。)(21,),(xbadfdyf类似的，如果区域 可以用不等式组 ，D)()(21yydc则 。)(21,),(ydcDdxfxyf例 1 计算 其中 为：（a）由直线 ， 及 围成。 （b）由直1y2xxy线 和抛物线 围
10、成。xy62xy解 （a）如图所示： ，由公式得21,),(xy。8921312 dxxydxydD如按 型区域计算，则区域 可表示为： ，由公式得D21,),(yxy。89)4(21321 dyxydxydD（b）区域 可表示为 ，由公式得42,1)6(),2 yx。368422351)6(24 dyxydxydD本题如按 型区域计算麻烦。例 2 计算 ，其中 为是由直线 ， 及 所围成的闭区域。D)sin(D0x1yx解 如图所示：区域 既是 型域，又是 型域，若按 型区域计算，由公式得xy。21cos)sin()sin()sin( 1020212 ddydxyD二、极坐标系下二重积分的计
11、算法有些二重积分的积分区域 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用D极坐标变量 ， 表达比较简单。这时，可以考虑利用极坐标系来计算二重积分。r假设积分区域 满足这样的条件：从极点 出发且穿过闭区域 内部的射线与 的边OD界至多有两个交点。此时，用极坐标系下的坐标曲线来划分区域 ，即用过极点 的一组O射线（ =常数）及另一组以 为圆心的同心圆（ =常数）来划分区域 ，那么除了包含r区域 的边界点的小闭区域外，其余小区域均为小曲边四边形，如图所示。考虑一个一般D性的小闭区域，即 ， 各自取微小增量 ， 后所形成的小曲边四边形区域，如图阴rd影部分。在舍去高阶无穷小的情况下，可把它近似地
12、看成一个小矩形域，矩形的两个边长分别为 ， 。由此得到极坐标系下二重积分的面积元素为： 。又由直角d rd坐标与极坐标的关系 可知，被积函数 。由此，我sincoryx )sin,co(),(rfyxf们将二重积分 化为极坐标系下的形式，即Ddf),(。此式表明，要将二重积分中的变量由直角 D rdryxf )si,co),(坐标化为极坐标，只要把被积函数中的 ， 分别转换成 ， ，并将面积元素xycosrin换成极坐标系下的面积元素 即可。d极坐标系下的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。设积分区域 可用不等式组 ， 来表示，如图所示。其中)()(21rr， 在区间 上连续，且 。 。 。
13、)(1r2,0i ),1i 20在 上任意取定一个 值，对应于这个 值， 上的点的极径 从 变到,Dr)(1。于是先以 为积分变量，在区间 上作定积分，记为)(2rr )(,21r。)(21 )sin,cor rdfF又因为 的变化区间为 ，于是再以 为积分变量对 在 上求定积分：)(F,。此积分值便为式中对应的二重积分值。从而得到极坐标系下二重积分化为二d)(次积分的公式为 。)(21 )sin,co)sin,co( rD rdfdrrf若积分区域 由闭曲线 围成，且极点 在 的内部，如图所示：右边的二次(OD积分为 )(02 )sin,cor rdfd若积分区域 由闭曲线 围成，且极点 在
14、 的边界上，如图所示：此时求出(使 的两个角度 及 ，则右边的二次积分为 。)(r)(0)sin,cor rdfd例 3 计算 ，其中 是由 与 所围成的圆环在dxyD2D12yx42yx第象限部分。解 如图所示区域 ，可用极坐标系下的不等式表示成： ： ， 。D201r由公式得 。672102drdxyD例 4 计算 ，其中 是由 所围成。dxyD2Dxy22解 是由圆曲线所围成，如图所示，其边界曲线的极坐标方程为 。由于极cosr点 在 的边界上，为了确定 的积分限，令 ，则 。积分区域Ocosr在极坐标系下可用不等式表示为 ： ， 。由式子得2s0r。 31644cos2022rddxy
15、D例 5 计算 ，其中 为圆域 。e2D2ayx)0(解 如图所示，用极坐标系下的不等式表示为 ， ，由式子得r)1(22202aarDyx edd 利用本例所得结果，可以计算一个重要的反常积分 。dxe02设 ，),(221Ryx，2。,),(yxS由图可见， 由于被积函数 ，所以有21D02yxeddxyedxyeDSD2212由例 5 知 ， 。)1(12Ryx)1(222Ryxee而积分 2022222 4 RxRxRyRRxyxSyx dedededede所以 。)1(4)1(42220RRxRe令 ，上式两端趋于同一极限 ，于是得202dx第三节三重积分的计算法一、直角坐标系下三重
16、积分的计算方法称为三重积分的直角坐标系形式，称 为直角坐标系下的体dxyzf),( dxyz积元素。将积分区域 投影到 面的投影柱面把 的边界曲面 分成下边界曲面 和上边O1界曲面 ，其方程分别为2： 1),(1yxz：22且 。现在 内任取一点 过该点作平行于 轴的直线，这直线通),(),(1yxzxyD),(yxz过 穿入 ，然后通过 穿出 ，穿入点和穿出点的竖坐标分别为 和 ，2),(1yx),(2z于是先对固定的 ，在区间 上作定积分 当xy),( ),(,21yxz,)(21zyxdf点 在 内变化时，该定积分是 上的二元函数，即),(yxxyDxyD。然后，将 在 上作二重积分，可
17、以证明，该二),(21),zyxdzf ),(xy重积分 就为三重积分的积分值，即xyD),(。 xyxy DzD dxyzfddzf ),(21),),(),(上式右端的二重积分，可视 的类型再化成二次积分，如若 为 型域，即xy xyD。),()(,21 baxyDxy 则 。称此式右端为三次积分。 ),(),(2121 ), yxzyxba dzfddzf例 1 计算 ，其中 是由三个坐标面及平面 所围成的有界x 12zyx闭区域。解 将 作为 型空间区域，如图所示：y则 ),(210),( xyDyxzx其中 ,如图所示。 为 型平面区域，即1,Dxy xy，由公式得10,20),(x
18、yxDy 481)(41)21(022011010 dxdyxdzddzyx。如果将空间区域 向 轴作投影得一投影区间 ，且 能表示成z,fe。其中 是过点 且平行于 面的平行截,),(,feDyxzxyzD),0(zxOy所得的平面区域，则称 是 型空间区域，其特点是：当 时，竖坐标为 的z fez平面截 所得的是一个平面区域 ，如图所示：z当 是 型空间区域时，对固定的 ，我们先在截面区域 上作二重积分z ,fezD，而 在 区间上变动时该积分为 的函数，即ZDdxyf),(,fez，然后将 在区间 上求定积分：Zzfz,)(z,fe。可以证明，该定积分值就是三重积分的值，即dxyfdfe
19、DfeZ),()(。zfxyzffeZ),(),(如果二重积分 能较容易地算出，其结果对 积分也比较方便，那么ZDdxyf, z就可以用公式来计算三重积分。例 2 计算 ，其中 为椭球 。xyz2 122czbyax解 将 视为 型空间区域，如图所示：故 可表示成：。其中,),(,czDyxzz ),(22czyxDz (c则 。其中 表示 的面积，由椭czDc ddxyzdxyzZ )(222 )(zzD圆面积的公式得 。22211)( czabczbczaDz 于是得 。322 541dzdxyc二、柱面坐标系下三重积分的计算方法设 为空间一点，点 在 面上的投影点 的极坐标为 ， 。则这
20、样),(zMMxOyPr的三个数 ， ， 就称为点 记为 的柱面坐标，如图所示：这里规定 ，r),(zr， 的变化范围为： ， ， 。zr020z三组坐标面分别为：=常数，即以 轴为中心的圆柱面；rz=常数，即过 轴的半平面；=常数，即与 面平行的平面。zxOy显然，点 的直角坐标与柱面坐标的关系为Mzryxsinco现在讨论怎样把三重积分 中的变量从直角坐标变换成柱面坐标，为此，dVzxf),(用三组坐标面 =常数， =常数， =常数，把区域 分成几个小闭区域除了含 的边界r点的一些不规则小区域外，其余的小区域都是小柱体，先考虑由 ， ， 各取得微小增rz量 ， ， 所构成的小柱体的体积，如
21、图所示：dz这个体积等于底面积与高的乘积。现在高是 ，底面积在不计高阶无穷小时为dz（即极坐标系中的面积元素） 。于是得 ，这就是柱面坐标系中的体积r rV元素，再由关系式就可以将三重积分化为柱面坐标形式，即 rfdVzyxf ),sin,co(),(对于上式右端的柱面坐标系下的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行，化为三次积分时，积分限可根据 ， ， 在积分区域 中的变化范围来确定。z例 3 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中 是由曲面 与平面dxyz2yxz所围成的闭区域。4z解 把闭区域 投影到 面上，得半径为 的圆形闭区域 ，将 用极坐标表示为xOy2D在 内任取一点 ，过该点作平行于
22、 轴的直线，20,),(rDD),(rz此直线通过曲面 即 穿入 内，然后通过平面 穿出 外，如图所2yxzrz4z示：因此闭区域 可表示成 。20,4),(2 rz则 。3644202 rzddzrzdxy三、球面坐标系下三重积分的计算方法设 为空间内一点，则点 也可用这样三个有次序的数 ， ， 来确定，),(zMM其中 为原点 到点 的距离， 为有向线段 与 轴正向的夹角， 为从 轴正向OOzz来看，自 轴正向按逆时针方向转到有向线段 的转角，其中 为点 在 面上的x PMxOy投影，如图所示：这样的三个数 ， ， 称为点 的球面坐标，这里 ， ， 的变化范围是： ， ， 。002三组坐标
23、面分别为=常数，即以原点为心的球面；=常数，即以原点为顶点，以 轴为中心轴的圆锥面；z=常数，即过 轴的半平面。z则点 的直角坐标与球面坐标的关系为Mcosinzyx现在讨论怎样把三重积分 中的变量从直角坐标变换成球面坐标，现dVxf),(用三组坐标面 =常数， =常数， =常数把积分区域 分成许多小闭区域。考虑由 ， 各取得微小增量 ， ， 后所成的六面体，如图所示，不计高阶无穷小，可d把这个六面体近似地看作长方体，其经线方向的长为 ，纬线方向的宽为 ，ddsin向径方向的高为 ，于是得 。这就是球面坐标系中的体积元素，Vsin2再由关系式就可将三重积分化为球面坐标形式，即。 dfdzyxf
24、I sin)co,sin,coi(),( 2对于式中右端的球面坐标系下的三重积分，可把它化成对 ，对 及对 的三次积分来计算。若积分区域 的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为，则式子右端的三重积分化为 ，),( ),(0220 sin), dFdI其中 。特别地，在上式中)cos,ins,cosin(fF时，则 为球的体积，即 。1),(FI 30220 4sinaddVa例 4 计算三重积分 ，其中 是由半径为 的球面与半顶角为 的内接锥面zd 所围成的闭区域，如图所示：解 由图知，球心在 轴上的点 处，锥面的顶点在原点 ，其轴与 轴重合，z),0(aAOz则球面方程为 ，
25、锥面方程为 ， 可表示成cos2a，2,0),( 则 )cos1(34sinco6s20220 addzdVa第四节 曲线积分一、对弧长的曲线积分1.对弧长的曲线积分问题举例引例 1 柱面的面积 设 是一张母线平行于 轴，准线为 面上的曲线 的柱面的zxOyL一部分，其高度 是 上的连续函数。如图所示。现在来计算 的面积),(yxh),L。A如果 的高度是常数，那么 的面积就等于它的准线 的长度与它的高的乘积，而L现在它的高 在 上的各点处各不相同，因此，不能用上述方法来计算。仿照计算曲边梯hL形面积的方法，我们用 上的点 ， ， 把 划分成 个小段，在每一个分点0M1n处做 轴的平行线，这样
26、就把 分成 条小柱面。现在小弧段 上任取一点zniiM1，用 作为相应小柱面的底边各点的高，从而得到该小柱面面积的近似值),(i),(ihiis其中 表示弧 的长度。于是柱面 的面积 ，),21(niiiiM1ni iishA1),(记 ，取上式 时的极限，就得所求柱面面积的精确值，max1inis0即 。iihA),(l0引例 2 曲线形构件的质量 为了合理使用材料，有时在设计曲线形构件时，应根据构件各部分受力情况，把构件各点处粗细程度设计的不完全一样，这样得到的曲线形构件的线密度是一个变量，如果把构件看成是 面上的曲线弧 ，并设 的线密度为xOyL),(yx，如图所示：则可按如下方法来计算
27、构件 的质量 。),(LyxLM如果构件的线密度是常量，那么它的质量就等于线密度与构件长度的乘积。然而当线密度是变量时，这方法就不适用了。于是与上例相类似，我们用 上的点 ，0， ， ， 把 划分成 个小弧段，在线密度 连续变化的条件1M1iinML),(yx下，可在小弧段 上任取一点 ，如图所示：并以 代替这小弧段上ii ),(i,i其他点处的线密度，得到该小弧度质量的近似值为 。其中iis),()21(n表示弧 的长度，由此得到整个构件的质量的近似值，即 。isii1 i iisM1,(记 ，取上式 时的极限，就得到整个构件质量的精确值，即max1inis0。iiM),(l02.对弧长的曲
28、线积分的定义及其性质以上两个问题虽然涉及的学科领域不同，但都可归结为同一类和式的极限，我们有定义 1 设 是 面内以 ， 为端点的光滑曲线弧，函数 在 上有界，LxOyAB),(yxfL在 上任意插入一个点列 = ， ， = ，把 分成 个小弧段，设第 个小0M1nLni弧段 的长度为 ，在 上任取一点 作和iiM1isii ),(i),21，记 ，如果当 时，这和式的极限存在，则称此极限ni iif1),(max1ini0为函数 在 上的对弧长的曲线积分，记作 ，即,yxfLLdsyxf),(。其中 称为被积函数， 称为积分曲线弧，ni iiL sfdsf10),(l),( ),(f L称为
29、弧长元素。此时也称 在曲线弧 上是可积的，否则，称 在曲线弧,yxfL),(yxf上是不可积的。对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分。如果 是闭曲线，即 的两个端点重合，则 在 上的第一类曲线积分记为LL),(yxf。dsyxf),(如果 是分段光滑曲线，即 是由有限条光滑曲线连接而成，则规定 在 上),(yxfL的一类曲线积分等于 在各段光滑曲线弧上一类曲线积分的和。),(yxf与定积分存在条件相类似，当 在光滑曲线 上连续，或者 在 上有界),(yxfL),(yxfL且只有有限个间断点时，第一类曲线积分 一定存在。即 在 上可积。Ldsf,根据第一类曲线积分的定义，前述柱面的面积可以表示为
30、 。LdsyxhA),(曲线形构件的质量可以表示为 。LsyxM),(3.对弧长的曲线积分的性质由对弧长的曲线积分的定义，可推得该积分有如下性质（设所涉及的曲线积分都存在）：（1）若 ，则 ， （ 表示 的长度） 。1),(yxfLsdL（2）线性性质：对任意的 ，则R,。 LLL dsyxgsyxfsyxgf ),(),(),(),( （3）对弧长的可加性：设 由 与 连接而成，则12。21 ),(),(),(LLL dsyxfdsyxfdsyxf另外，对弧长的曲线积分的概念，可推广到三元函数 在空间曲线弧 上的),(zyxf形式，即 。其中 为空间曲线弧长元素。 ni iisfdszyxf
31、10),(lm),( ds4.对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分可按下述定理将其转化成定积分来计算。定理 1 设函数 在曲线弧 上连续，曲线弧 的参数方程为),(yxfLL)(tx其中 ， 在 上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分)(t,0)()(22tt存在，且 。Ldsyxf, dttfdsyxfL ),()(证明略。由上述公式表明，计算第一类曲线积分 时，只要把 ， ， 依次换为Ldsyxf),(xys， ， ，然后从 到 计算定积分就可以了，这里必须注)(tdtt22)()( 意，定积分的下限 一定要小于上限 ，这是因为在上述公式的推导中，小弧段的长度总是正的，从而 ，所以必须
32、在 时才能保证 。is0it0it如果曲线 的方程为 ，则可将其写成参数式L)(xy)batxy)()(bta代入公式中便可求积分值。如果曲线的方程为 ， 则可将其写成参数式)(yx)dctyx)()dtc代入公式中便可求积分值。在具体解题时，曲线 选择什么样的方程形式是解题的关键，选择不当可能会给求值L带来不必要的麻烦。例 1 计算 ，其中 是抛物线 介于点 与点 之间的一段，Ldsy2xy)0,(O)1,(A如图所示：解 现在积分曲线 的参数方程可表示成 由公式得2ty。1541)2(1020 dttdttdsyL该积分值恰表示图中阴影部分柱面的面积。例 2 计算 ，其中 为圆周 闭曲线。
33、LsyxR22LRxy2)0(解 如图所示的 ，以极角 为参数得到 的参数方程为，代入公式得sinco2yx2。22 2222 )cos()sin(si RdRRdyRL 本题若用 的直角坐标方程来计算将相当繁杂。如果空间光滑曲线弧 由参数方程 ， ， 给出，)(tx)(ty)(tz)t函数 在 上连续，则有),(zyxf。 dtztytxtzytxfds 222)()()(),(例 3 计算 ，其中 为螺线 ， ， 上相应ds(22cosintz于 从 到 的一段弧。t02解 将螺线参数方程得 )43(21cos)sin()sin(co)( 220 2222 dttttdszyxf二、对坐标
34、的曲线积分1.对坐标的曲线积分之产生背景是物理学中变力沿曲线所作的功的计算，因此先来研究如何计算变力沿曲线所作的功。设一个质子在 面内从点 沿光滑曲线弧 移动到点 ，在移动过程中，这质点xOyALB受到力 的作用，其中 ， 在 上连续，现计jyxQiPF),(),(),(),(yxP),(QL算在上述移动过程中变力 所作的功。如图所示如果力 是常力，且质点从 沿直线移动到 ，那么常力 所作的功 等于两个向ABFW量 与 的数量积，即 。现在力 是变力，且质点沿曲线 移动，故FABFW),(yxL功 不能直接按上述公式来计算，解决此问题的关键是如何将变力化为常力，将曲线化为直线，我们用前面处理构
35、件质量的方法来解决这个问题。在有向线段弧 上依次选取若干个点，将 分成 个小弧段，取其中一个有向小弧段LLn来分析。如图所示。iiM1由于 光滑而且很短，可以用有向线段 来近似代替ii1 jyixMiii )(1该弧段，其中 ， ，又由于 ， 在 上连续，1iiix1iiiy),(P,QL现任取一点 ，用 点的力 来近iii),(),(i jiFiii ),(, 似代替 上每一点的力。这样，变力 沿 所作的功 可以近似地iiM1 ,(yxii1iW等于常力 沿 所作的功： ，),(iFii1 iiii MW)即 ，则iiiii yQxPW),(ni iiiini11 ),(,用 表示 个弧段的
36、最大长度，令 取上述和的极限，所得到的极限自然为变力0沿有向曲线弧 所作的功，即 。),(yxFLni iiii yQxPW1 ),(),(lm这种和式的极限在研究其他问题时也会时常遇到。我们抛开这类问题的实际背景来研究这种和式的极限，从而引出下面关于对坐标的曲线积分的定义。定义 2 设 为 面内起点为 ，终点为 的一条有向光滑曲线弧，函数ABLxOyAB， 在 上有界。在 上沿 的方向任意插入一点列),(yxP),(QL将 分成ByxMyxyxMyxMA niiiii ),(,),(),(,), 1110 L个有向小弧段： 。设 ， ，任取nii ,2(n1iii 1iii。如果当各小弧段长
37、度的最大值 时，和式 的极iii1),( 0ni iixP1),(限总存在且其值不变，则称此极限值为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积),(yxPL分，记为 。类似地，如果 总存在且其值不变，则称此极LdxyP),( ni iiQ10,lm限值为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分，记为 。即,QLyLdyxQ),(， ，其中 ，ni iiL xdxy10),(lm),( ni iiLd10,l),( ),(P称为被积函数， 称为积分弧段， 及 称为被积表达式。, xyP,dy),(以上两个对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。与第一类曲线积分相类似，若 ， 在有向光滑曲线弧 上连续，
38、则对坐),(x),(QL标的曲线积分 及 都存在。为了叙述问题方便，以后总假设LdxyP),(Ldy， 在 上连续。),(yxQ应用上经常出现的是 ，这种合并起来的形式，为简便起见，LLyxQyx),(),(常把它写成 。dyxPL),(有了对坐标的曲线积分定义，变力沿曲线所作的功可表示成： QdWL),(),(如果有向曲线弧 为分段光滑有向曲线连接而成，我们规定函数沿着有向曲线弧 的L对坐标的曲线积分等于在各段光滑有向曲线上对坐标的曲线积分之和。对坐标的曲线积分有时用向量式表示比较简单。记 ，jyxQiPyxF),(),(),(，则式中所表示的对坐标的曲线积分可表示成： ，其中jdyixr)
39、( Ldr被积表达式为二向量的数量积。根据对坐标的曲线积分定义，可得出对坐标的曲线积分有如下性质：（1）如果 可分成 和 两段曲线弧的和，则L12。 21 ),(),(),( LL dryxFdryxdryxF（2） （ 为常数） 。Rk, k（3）设 为有向曲线弧。 为与 方向相反但曲线相同的有向曲线弧，ABBA则 。LL dryxFdryxF),(),(上述对坐标的曲线积分定义可类似地推广到积分弧段为空间有向光滑曲线弧 的情形：， ni iiixPdxzyP10),(lm),( ，ni iiiyQQ10),(l),(。 ni iiizRdxzyR10),(l),( 若记 ， ，kyxjzy
40、PF, kdzjyidxr)()(则 为空间有向曲线弧 上的对坐标走曲线积分的向量式。drFQdyx 当 或 为闭曲线时，对坐标的曲线积分记为： 或 。LLryxf),(rzyxf),(2.对坐标的曲线积分的计算方法定理 2 设 ， 在有向曲线弧 上连续， 的参数方程为 当参),(yxP),( )(ty数 单调地由 变到 时，点 从 的起点 沿 移动到终点 ， ， 在t,yxMLAB以 和 为端点的区间上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分0)()(22tt存在，dyxQyxPL),(),(且 . dttQttP)(),()(,公式表明，计算对坐标的曲线积分时，只要把 ， ， ， 依次换为 ，x
41、yd， ， ，然后从 的起点所对应的参数值 到 的终点所对应的参数)(tdtt)(LL值 求定积分即可。如果 的方程是以直角坐标形式 或 给出，则其参数方程可表示成：L)(xfy)(yg或 再确定 的起终点对应的参数值 和 ，代入公式即可。txfy)(tyg)(L公式可推广到空间曲线 由参数方程 ， ， 给出的情形，这)(tx)(ty)(tz样便得到 dzyRdzyxQdzyxP),(),(),( dtttRtttt )(),()(,例 1 计算 ，其中曲线 是上半椭圆 ， 由yxL2Laxcosbysin到 。)0,(aA),(B解 如图所示，当 时对应起点 ，当 时对应终点 ，于是，由公式
42、得0tAtB。2222 34cos)sin(si abdtbatbdyxL 例 2 计算 ，其中 为（1）圆心在原点 ，半径为 的上半圆周由 到L O)0,(A（2）从点 沿 轴到点 的直线段。)0,(aB)0,(aAx)0,(B解 如图所示（1） 的参数方程为 ， ， 时对应起点 ， 时对应LtcostaysinAt终点 。于是，由公式得：B 2022 34)i(abtddxL （2） 的参数方程为： ， ， 由 沿 轴到 ，于是，由公式得：ytx。02aLtdxy由例 2 的结果可以看出，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但所走的路径不同，得出的值并不相等。例 3 计算 ，
43、其中dyxL2（1）抛物线 上从 到 的一段弧；)0,(O1,(B（2）抛物线 上从 到 的一段弧；2yx（3）有向折线 ，这里 ， ， 分别是点 ， ， 。A)0,(O),1(A,(B解 如图所示L（1） 的参数方程为： ， ， 从 变到 ，所以得 。2tytx01122dyxL（2） 的参数方程为： ， ， 从 变到 ，所以得 。（3） ，dyxdyxdyxABOAL 222 的参数方程为： ， ， 从 变到 ，于是得 。OA0t0102OA的参数方程为： ， ， 从 变到 ，于是得 。B1xy 1dyx故 。22dxyL由例 3 的结果可以看出，同一被积函数， 的起、终点相同，虽然沿不同
44、的路径，但L曲线积分的值都相等。例 4 计算 ，其中 是从点 到点 的直线段ydzxzx23 )1,23(A)0,(B。AB解 直线 的方程为： ，故其参数方程为： ， ， ，1txty2tz从 变到 ，由公式得t10。487)3(2)(3)(302 dttttydzxzdx三、两种曲线积分的关系设有向曲线弧 的参数方程为 ，起点 ，终点 分别对应参数 ，ABL)(tyxAB不妨设 ，即 沿 增加的方向，函数 ， 在以 和 为端点的区间上具t 有一阶连续导数，且 ，又设 ， 在 上连续，于是，0)()(22t),(yxP),(QL由对坐标的曲线积分计算公式有：。 dttttPdyxQyxPL )(),()(,),(),(又因为曲线 的切向量为 ，它的方向余弦为， 。由对弧长的曲线积分的计算22)()(costt22)()(costt dttQttP dtttttttdsyxyxL )(),()(, )()()()(,)(,co,cos),( 2
