1、数理方程与特殊函数复习课 课程内容概述 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 第二章 分离变量法 第三章 行波法 与积分法 第四章 拉普拉斯方程的 格林函数法 第五章 贝塞尔函数 第六章 勒让德多项式 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 数学物理方程的导出 步骤 数学物理方程的 类型 定解条件 适定问题及叠加原理 数学物理方程的导出步骤 确定所研究的物理量 用数学中的 “ 微元法 ” 从所研究的系统中分割出一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理，得到数学物理方程。 三
2、种类型的数理方程 波动方程（双曲型） 描述 振动过程 ，关于连续介质（ 弦、杆、膜、气体 等）的振动问题，以及关于 电磁振荡 等问题。 一维 二维 三维 222uuatx2 2 2 222 2 2 2()u u u uat x y z 2 2 222 2 2()u u uat x y 三种类型的数理方程 热传导方程（抛物型） 描述 输运过程 ，研究 热传导、扩散、电介质内电磁场 的传播， 粘性液体流动 等问题。 一维 二维 三维 222uuatx22222 2 2()u u u uat x y z 22222()u u uat x y 三种类型的数理方程 稳定场方程（椭圆型方程） 描述 稳恒过
3、程 ，即不随时间变化的过程，如 固定的电场、磁场、稳定的热场 等问题。 二维 三维 2222 2 2 0uuux y z 2222 0uuxy定解条件 初始条件 对于不同类型的方程初始条件的不同 边界条件 第一类 第二类 热传导问题 波动问题 边界条件的分类 以 S 表示物体的边界，则有： 第一类边界条件 第二类边界条件 如果边界条件中的 f=0，则称其为齐次边界条件，否则 称为非齐次边界条件。 考试要求 振动、扩散物理问题的方程及定解条件，能够写出定解问题。方程推导过程不考。 重点：振动、扩散问题的边界条件如何确定 振动问题的边界条件 固定端 自由端 热传导问题的边界条件 边界温度已知 边界
4、有热流流入（或绝热） 第一类问题 ：根据物理现象写出定解问题 弦的横振动问题：两个端点 x 0和 x a固定，初始时处于静止，初始位移如下图所示，写出相应的定解问题。 X 0 X a X1 H H X2 x u 长为 l 的杆，侧面绝缘，两端均有热流流出， x 0端热流强度为 ， x l 端热流强度为 杆的初始温度分布为 ，写出相应的定解问题 。 1()qt 2()qt()x l xdQqdSdtud Q k d S d tn01 ()xuk q tx 2 ()xluk q tx 流入或流出 0端流出， 温 度梯度方向 为 正 l端流出， 温 度梯度方向 为负 0端 l端 长为 l的弦两端固定
5、，开始时在 x=c受到冲量 k的作用，求此问题的定解问题。 0 设有一长为 l的棒，表面绝热，包括它的两个端点（ x 0和 x l），初始温度为 f（ x），写出此问题的定解问题。 解此类题目的思路 1、对给定的物理、力学问题，识别此问题的方程属于哪一类（波动，热传导，拉普拉斯），写出方程，注意，方程中有没有自由项（外力作用）。 2、根据问题所给的条件写出初始条件（波动问题：初位移和初速度；热传导问题：初始温度；拉普拉斯问题：无初始条件）和边界条件（一类边界：固定端，固定温度；二类边界：自由端，热流流入或绝热） 重点练习 习题一 1 2 4 第二章 分离变量法（在有界域内求解定解问题） 分离变
6、量法的基本思想 分离变量法的基本步骤 基本思想 将定解问题的解表示成单变量函数之积（变量分离），代入偏微分方程，将方程降阶或化为带有参数的常微分方程，使问题简化，达到求解目的。 基本步骤 把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积的形式 把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的边值问题 求特征值问题，得到原来方程无穷多个满足边界条件且变量分离的特解 把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其中的系数。 ( , ) ( ) ( )u x t X x T t分离变量法步骤图 定解问题 偏微分方程 齐 次 边 界 条 件 初始 条 件 变 量 分离 常微分方程 1 常微分方程 2 条 件 特征 值
7、问题 特征 值 解 1 解 2 解 1 解 2 所求解 用 Fourier级数 确定 叠 加系 数 必须会 一、一（ 0， l）， 一、二， 二、一， 二、二类边界条件的特征值和特征函数 上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问题 (矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式 (注意：二二类解里多一个 u0， 0） 圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解 解题时可以直接使用，不过要写出 “ 根据。的边界条件及分离变量法，可得： ” 应用分离变量法求解 一维波动 一维热传导 二维矩形域拉普拉斯 二维扇形域拉普拉斯 二维环扇域拉普拉斯 二维圆环域拉普拉斯 二维圆域拉普拉斯 利用齐次边界条件，确定特征值问
8、题，确定特征值和特征函数 利用周期条件，确定特征值问题，特征值和特征函数 一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值，特征函数系 方程 边界条件 特征值 问题 特征值 特征 函数系 一维振动 一维传导 (0, ) 0( , ) 0utu l t(0, ) 0( , ) 0xutu l t(0, ) 0( , ) 0xutu l t(0, ) 0( , ) 0xxutu l t( ) ( ) 0( 0 ) ( ) 0X x X xX X l ( ) ( ) 0( 0 ) ( ) 0X x X xX X l ( ) ( ) 0( 0 ) ( ) 0X x X xX X l ( ) ( ) 0(
9、0 ) ( ) 0X x X xX X l 2( ) 01, 2,nnln 221( ) 020 ,1, 2 , nnln2( ) 00,1, 2,nnln 221( ) 020 ,1, 2 , nnln( ) sin1, 2 nnX x xln21( ) sin20 ,1, 2 nnX x xln21( ) c o s20 ,1, 2 nnX x xln( ) c o s0 ,1, 2 nnX x xln矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题，特征值，特征函数系 方程 边界条件 特征值 问题 特征值 特征 函数系 空间两维拉氏问题（矩形域） (0 , ) ( , ) 0( , 0 ) ( )(
10、, ) ( )u y u a yu x xu x b x(0 , ) ( , ) 0( , 0 ) ( )( , ) ( )xu y u a yu x xu x b x(0 , ) ( , ) 0( , 0 ) ( )( , ) ( )xu y u a yu x xu x b x( ) ( ) 0( 0 ) ( ) 0X x X xX X a ( ) ( ) 0( 0 ) ( ) 0X x X xX X a ( ) ( ) 0( 0 ) ( ) 0X x X xX X a ( ) ( ) 0( 0 ) ( ) 0X x X xX X a 2( ) 01, 2,nnan 221( ) 020 ,
11、1, 2 , nnan2( ) 00,1, 2,nnan 221( ) 020 ,1, 2 , nnan( ) sin1, 2 nnX x xan21( ) sin20 ,1, 2 nnX x xan21( ) c o s20 ,1, 2 nnX x xan( ) c o s0 ,1, 2 nnX x xan00xayb(0 , ) ( , ) 0( , 0 ) ( )( , ) ( )xxu y u a yu x xu x b x两组边 界 条 件可 对调 圆 /扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系 区域 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系 0200 0210 0 00 0
12、10 0 ()uf ( , ) ( , 2 )uu 0 0 ()uf 11()uf ( , ) ( , 2 )uu 0 ()uf 0 0 ()uf 11()uf 0 0uu 0 0uu ( ) 1, c o s , sin ,1, 2 .n nnn ( ) 1, c o s , s in ,1, 2 .n nnn ( ) sin ,1, 2.nnn ( ) sin ,1, 2.nnn22000, ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 )1 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2 1 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2()( ) , ( )tt x x t x xtt t tu a u x
13、 l t u a u x l tuxu x u x 边 界 条 件 边 界 条 件 1 ( 1 1 ; 2 2 )0 ( 1 2 ; 2 1 )2 , 20( , ) ( ) ( )n n n nnu x t u T a t X x 一 维 波 动 、 热传导 方程 Tn由方程的性质而定，对于振动方程 2200 , n atnnu c T C e 对于热传导方程 2,20 0 0 , c o s s i nn n n n nu c d t T C a t D a t 1 ( 1 1 ; 2 2 )0 ( 1 2 ; 2 1 )0 0 2 2( ) ( ) ( )nnxxn n n nnu c d x c e d e Y y 矩形域上的二 维 拉普拉斯方程 c h s hn n n na x b x若 X提供 齐 次 边 界 条 件 1 ( 1 1 ; 2 2 )0 ( 1 2 ; 2 1 )0 0 2 2( ) ( ) ( )nnyyn n n nnu c d y c e d e X x
