1、第十三章 函数及其图像【例题精选】：（一），图像及其性质例 1 如图 1-9-1 所示等腰梯形 ABCD， ABCD C = D =60，AD =AB =2 求：（1）梯形各顶点坐标。（2） B 点关于 x 轴、 y 轴、原点对称的点的坐标。解：（1）在 Rt AOD 中， AOD =90D =60AD =2，OADOA3013点 D 坐标（0，1），点 A 坐标（ ，0） AB=2,AB x 轴，点 B 坐标（ ，2），根据等腰梯形的对称性，点 C 坐标为（0，3）（2）点 B 关于 x 轴的对称点 坐标为（ ，2），关于 y 轴对称的点3坐标为（- ，2），关于原点对称的点 的坐标为（-
2、，-2）。 3例 2：求下列各函数中自变量的取值范围。 .2103)6(431)5(;1)4( ;023122 xxyxyxy 分析：用解析式表示的函数关系，要使解析式有意义的自变量的取值范围可分为整式，自变量可以取任意实数；解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零；解析式如果是二次根式，自变量的取值应使被开方式的值大于等于零；如果是三次根式，自变量可以取任意实数，如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量的取值要同时满足这些条件。解：（1）是整式函数 取值范围是任意实数。（2） x 应满足 即0132x25x且 x 的取值范围是 x 0 且 x5 的任意实数。应 满 足)3( 即x 的取值
3、范围是 的 任 意 实 数且 12（4） x 应满足 010xx即x 的取值范围是 的 任 意 实 数且 01x( 5 ) x 应满足 4343即x 的取值范围是 的 任 意 实 数x( 6 ) x 应满足 5021即x 的取值范围是 的 任 意 实 数3例 3：等腰三角形 ABC 的周长为 10cm，底边 BC 为 ycm ， 腰 AB 的长为 x cm ，（1）写出 y 关于 x 的函数的解析式；（2）求 x 的取值范围；（3）求 y的取值范围。解：依题意 10所求函数解析式为 。xy2（2）x 、y 均为线段， ,xyxy210,0且即： 5,5104 x即由x 的取值范围为 的任意实数
4、，.52x（3）y 的取值范围为 y小结：求自变量取值范围应使实际问题才有意义，要把所有有影响的条件都考虑到，如例 3 就要考虑成为三角形两边之和大于第三边。例 4：离山脚 30 米处向上铺台阶，每上 4 级台阶升高 1 米，（1）求离山脚高度 h 与台阶数 n 之间的函数关系式；（2）已知山脚至山顶高为 217 米，求自变量 n 的取值范围。解：（1）依题意： （n 是非负整数）h4130（2） 748271米 n 的取值范围是 的非负整数。8注意：这里 n 是台阶数，取值范围应为非负整数。例 5：已知一次函数 满足下列条件，分别求出字母)2()3(qxpyp、 q 的取值范围。（1）y 随
5、 x 值的增大而增大。 （2）函数图像与 y 轴交点在 x 轴上方。（3）函数图像不经过第一象限分析：根据一次函数性质或图像在平面直角坐标系中的位置，决定中 k、 b 的符号，借助不等式的知识，使问题得以解决。xy解：（1） ，2302Pp得由当 时，y 随 x 值的增大而增大。3（2）函数图像与 y 轴交点在 x 轴上方。 2303pqpq即当 ，图像与 y 轴交点在 x 轴上方。时且2q（3）图像不经过第一象限 230qp当 ，图像不经过第一象限。时且 例 6 ：已知二次函数 3241xy（1）用配方法化为 的形式kha)(（2）求它的顶点坐标和对称轴方程。（3）根据图像指出，当 x 取何
6、值时，y 随 x 值的增大而减小。 （4）当 x 取何值时， y 有最大（小）值，值是多少？（5）求抛物线和 x 轴的交点坐标、和 y 轴的交点坐标。（6）根据图像指出，当 x 取何值时 。0解：（1） 。1)4(3242xy（2）顶点坐标为（4，1），对称轴方程 x= 4。（3）抛物线如图 1-9-2 所示，当 x4 时，y 随 x 值的增大而减小。（4）当 x=4 时，y 有最大值，最大值是 1。（5）令 y=0， 6,2,0321得令 x=0，得 y= 3，抛物线与 x 轴的交点坐标为（2，0），（6，0），与y 轴交点坐标为（ 0，3 ）。（6）观察图像可知， .,y时或小结：考察函数
7、性质，很重要的方法是通过图像观察，因此，认真、准确地画好图像，对解题有很大的帮助，有的时候，还可以通过图像讨论系数的各种不同的取值，使字母系数图像特征，函数性质不断地互相转化，给解题带来便利，例 7：已知函数 问：（1）抛物线的对称轴,0,2 cbacbxay其 中在 y 轴的左侧还是右侧；（2）抛物线和 x 轴有无交点，如果有，写出交点坐标；（3）抛物线和 y 轴的交点在 x 轴的上方还是下方 ?解：（1） ,0,2ax抛物线的对称轴在 y 轴的左侧。（2） 抛物线与 x 轴有两个不同的交点，坐标为42cb。)0,4)(0,( 2acba（3）c 0,抛物线与 x 轴有两个交点，即 有两个不
8、02cba等的实根，得出 。042ac（2） 抛物线的顶点在 x 轴下方 当 时， 。1xby（3）当 x1 时，y 随 x 值的增大而减小。例 15：已知 y 是 x 的二次函数，且其图像在 x 轴上截得线段 AB 长 4 个单位，当 时，y 取得最小值 ，（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果此函数图像上有一点 P，使得PAB 的面积等于 12 个平方单位，求 P 点作标。分析：如何使用在 x 轴上截得线段长 4 个单位这个条件，因为当 时，3xy 有最小值 ，说明直线 是抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得知23它与 x 轴交点为 ，这是由图形分析解析式中的数量关系，有时也需)0,5(
9、,1和由解析式的特征判断图形的位置，“数”和“形”相互转化促进问题的解决。解：（1） 当 时，y 取得最小值-2，即顶点为（ 3, ), 设所求二x 2次函数的解析式为 。2)3(a又 图像在 x 轴上截得线段 AB 长 4 个单位， 图像与 x 轴交于（1,0）点和（5,0）点。 .2102)31(a 所求二次函数的解析式为 。2532xy6,1242,)( yyy PPAB个 平 方 单 位的 面 积 为但抛物线的开口向上，顶点的函数值最小为 ， , P y=62舍 去6yp又点 P 在抛物线上， ,53162x7,07612 xx即点 P 的坐标为（ ,6）,（7,6）为所求。例 16
10、已知二次函数的图像交 x 轴于 A（左）、B（右）两个点，且交 y 轴于 C（0, ）点，如果2是直角，且 ， 求这个二次函数的解AC52B析式。分析：先画出草图 1-9-6，由 C（0,-2）得 Rt ACB 中， ,2,OCAB且则依据几何知识这样二次函数)0,1(,),04(,522 OBAOB 则得得的图像经过 又与 y 轴交于 C（0,-2）,列方程组即可求得二次函)1(BA数的解析式为 2312xy解：（略）例 17 二次函数在同一坐cbxaybcxay 2221 )()(和标系中的图像如图 1-9-7 所示，若 ， ，EDA经过 B、 D 、 E 三点的抛物线的对称轴 与 x 轴
11、交于点1C，与抛物线交于点 P，求经过 B、 D 、 E 三点的抛物线的函数解析式及四边形 DPEF 的面积。分析：弄清题意以后会发现，要求经过 B、 D 、 E 三点的抛物线的函数解析式，首先要判断 y1 y2两个函数哪一经过 B、 D 、 E 三点，然后再去找确定函数的三个条件，因此抓住图形利用几何和代数知识一步步的去推理，才能最后得到解答，认真观察图形，利用图形性质，启发思维，确定解题方案在这里都起到了极为重要的作用，数形结合既是解题思想，也是方法，要特别给予重视。解： 开口向上，而 开口向下， 是经过 B、 D 、 E 三1,2ya2y2y点的抛物线。又 y1 与 y 轴为对称轴， .
12、0b即又 抛物线 的对称轴是 ， 2x 1:1)2( aba代 入 得而 是等腰直角三角形，AEDEA得, )0(,)0(mm而点 D、点 E 均在抛物线 上，2y ,3)(:2cc或舍解 得 3即经过 B、 D 、 E 三点的抛物线的函数解析式为 .9,2212 xyxy四边形 DPEF 由两个直角三角形和一个梯形组成点 F,DOPCEODPFSS为 的顶点 的顶点，1y2),0(y为 ),41(,)(22Pxy9314143则所求抛物线的解析式为 四边形 DPEFI 的面积为 21 个平,2方单位。【专项训练】：（一）选择题：（在题目所给的四个备选答案中，只有一个是正确的）1、已知k0，则
13、函数 的 图 像 大 致 是xky21,（ ）2、函数 ，与 在同一坐标系中的图像)0,(1bkxy )0(2kxy大致是（ ）。3、二次函数 的图像如图 1-9-10 所示，则cbxay2（A） （B）0,0,ca（C ） （D） 都小于 0cbb4、下列函数中，y 随值 x 的增大而减小的函数是（A） （B）x213xy（C ） （D）325、函数 的图像经过点 P（ ,3）,那么函数 的图像不经过xky 2kxy的象限是（ ）（A）第一象限 （B）第二象限（C ）第三象限 （D）第四象限6、二次函数 的图像向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，cbxy2得到函数解析式 则 b 与
14、 c 分别等于（ ）12xy（A）2， （B） ，14 （C） ，6 （D ） ，18887、抛物线 的顶点在 x 轴上方的条件是（ ）)0(a（A） （B）04acb 042ac（C ） （D）2b（二）填空题：1、点 到 x 轴的距离是_；到 y 轴的距离是_；到原)5,3(点的距离是_；2、在函数 中，自变量 x 的取值范围是_。1y3、直线 与直线 平行，且通过点（2, ），则 k=_,bkxy213在 y 轴上的截距为 _。4、抛物线 的开口_,顶点坐标是_；对称轴是21y_；当 x_时， y 随 x 值的增大而增大，当 x=_时; y 有最_值，其值为_,抛物线与 x 轴的交点是_
15、,与 y 轴的交点是_。5、一次函数的图像经过（1, ）点且与 y 轴交于（0， ）点，则一次函51数的解析式为_。6、已知二次函数 在 y 轴上的截距等于 ，则二次函数12my 3的解析式为_；顶点坐标_；对称轴_。7、已知抛物线的顶点为 M（4，8）且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为_。（三）解答题：1、点 A 是正比例函数 和反比例函数 在第一象限的交点，求xy2xy8点 A 的坐标；如果直线 经过点 A，且与 x 轴交于点 C, 求 b 及点 Cb34的坐标；如果已知点 B（8, ）,求过 A、 B、 C 三点的二次函数的解析式。12、抛物线经过直线 与 x 轴、y 轴
16、的交点，并经过（ 1,1 )点，求2y此抛物线的解析式，用配方法将其化为 的形式，写出顶点坐标kha2)(和对称轴方程。3、已知：如图 1-9-11，直线 与直线01nxy相交于 P，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交)(2nmxy于 Q，直线 与 x 轴交于 B，若四边形 PQOB 的面积是y.,65AB（1）求点 P 的坐标；（2）求 的解析式，21y和4、抛物线顶点坐标为（ ,3）与 x 轴交于（ 求此2 ,6)0(,21,21xx且二次函数的解析式。5、二次函数 的图像过点（2,3）且其顶点在直线nmxy上，求此函数的解析式。23xy6、已知一次函数的图像，交 x 轴于 A（ ,0），
17、交正比例函数的图像于点6B,且点 在第三象限，它的横坐标为 ， 的面积为 6 平方单位，求正 2OB比例函数和一次函数的解析式，7、已知一次函数 的图像与 x 轴交于点 A，与正比例函数 交y kxy于点 B，若 求 AB 的长及 k 值。,30O8、在直角坐标系中，抛物线 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，12nmy抛物线上一点 C 的横坐标为 1，且 AC= ，求此抛物线的函数解析式。039、在平面直角坐标系内，一次函数 的图像分别与 x)0,(bkx轴、y 轴和直线 x=4 交于点 A、 B、 C，直线 x=4 与 x 轴交于点 D，四边形OBCD（O 是坐标原点）的面积为 10，点 A
18、的横坐标为 ，过点 D 的直线 l21与线段 AC 交于点 P，与直线 交于点 Q，且 ，又二次函数21xAPC3的图像经过 B、 C、 Q 三点；cbxay2（1）求这个一次函数的解析式；（2）求点 B、 C、 Q 的坐标；（3）求这个二次函数的解析式；10、已知两直线 相交于点 D，它们分别交 x 轴的mxyxy4323与负半轴于 A、 B 两点，且 A（1）求两直线的解析式；（2）求图像过 A、 B、 D 三点的二次函数的解析式，并在所给坐标系中画出图像，标出顶点坐标；（3）若M 为 的外接圆，那么M 与抛物线有没有除 A、 B、 D 以外的第四个公共点，如果有，求此公共点的坐标；如果没有，请说明理由。【答案】：一、选择题：1C 2D 3C4B 5C 6C 7A二、填空题：1 2 37,3x,214 )2,0(),(0,)02( 大下5 614xy 1),41(,32xxy7 2三、1（1）A（2,4） (2 ) （3）31B)0,(C92016942xy2 258258)25(xxy顶 点 坐 标3 1(4,) yxyP4 312xy5 7624xy或67 3,KAB8 42xy9 1)()23,1()29,(),0QC10（1） 3xyxy（2） （图略）642（3）存在点 ),0(D
